山东省德州市2022年中考数学同步复习 重点题型训练 大题加练（一）

山东省德州市2022年中考数学同步复习 重点题型训练 大题加练（一）1数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若ACBACDABDADB60，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BECD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故ACCE，所以ACBCCD.小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC绕着点A逆时针旋转60，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边三角形，故ACCF，所以ACBCCD.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图4，如果把“ACBACDABDADB60”改为ACBACDABDADB45”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明；(2)小华提出：如图5，如果把“ACBACDABDADB60”改为“ACBACDABDADB30”，其他条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，并给出证明2【问题情境】 在ABC中，BABC，ABC(0180)，点P为直线BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ，旋转角为)，连接CQ.【特例分析】 (1)当90，点P在线段BC上时，过P作PFAC交直线AB于点F，如图1，易得图中与APF全等的一个三角形是_，ACQ_；【拓展探究】 (2)当点P在BC延长线上，ABACmn时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；【问题解决】 (3)当点P在直线BC上，60，APB30，CP4时，请直接写出线段CQ的长参考答案1解：(1)BCCDAC.证明如下：如图，延长CD至E，使DEBC，连接AE.ABDADB45，ABAD，BAD180ABDADB90.ACBACD45，ACBACD90，BADBCD180，ABCADC180.ADCADE180，ABCADE.在ABC和ADE中，ABCADE(SAS)，ACBAED45，ACAE，ACE是等腰直角三角形，CEAC.CECDDECDBC，BCCDAC.(2)BCCDAC.证明如下：如图，延长CD至E，使DEBC.ABDADB30，ABAD，BAD180ABDADB120.ACBACD30，ACBACD60，BADBCD180，ABCADC180.ADCADE180，ABCADE.在ABC和ADE中，ABCADE(SAS)，ACBAED30，ACAE，AEC30.如图，过点A作AFCE于F，CE2CF.在RtACF中，ACD30，CFACcosACDAC，CE2CFAC.CECDDECDBC，BCCDAC.2解：(1)PQC90(2)如图，过P作PFAC，交BA的延长线于F，则.又ABBC，AFCP.FAPABCAPBAPB，CPQAPQAPBAPB，FAPCPQ.由旋转可得PAPQ，AFPPCQ，FPCQ.PFAC，ABCFBP，.(3)线段CQ的长为2或8.理由如下：如图，当P在CB的延长线上时，CPQAPQAPB603030，APCQPC.又APQP，PCPC，APCQPC，CQAC.又BABC，ABC60，ABC是等边三角形，ABC60，BAPABCAPB30，BPABBCPC2，QCACBC2.如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ.由旋转可得APQP，APQABC60，APQ是等边三角形，AQPQ，APQ60AQP.又APB30，ACB60，CAP30，CPQ90，CAPCPA，ACPC，ACQPCQ，AQCPQCAQP30，RtPCQ中，CQ2CP8.综上所述，线段CQ的长为2或8.