电磁感应电磁场理论习题课

会计学1电磁感应电磁场理论习题课电磁感应电磁场理论习题课二、涡旋电场（感生电场）：源于变化的磁场： SdtBl dE涡涡性质：0 SdE涡涡三、自感和互感：LI 112MI dtdILL dtdIM112 四、磁场的能量：磁能储存于磁场中，凡有磁场的地方就有磁能第1页/共29页 载流线圈的磁能：221LIW 自自 磁能密度：HBwm 21 任意磁场空间的磁能： VmmdVwW五、麦氏方程组：位移电流密度tDjd 位移电流 SDdSdtDdtdIBHHBwm21212122 各向同性均匀介质：第2页/共29页电磁场的普遍规律，预言了电磁波的存在.被认为是牛顿以来物理学上经历的最深刻和最有成果的一次变革积分形式： VSdVsdD SSdB0 SLsdtBl dE SLsdtDjl dH)(物性方程：EDr 0 HBr 0 Ej 第3页/共29页一、电动势：例1：长为 l 的金属棒 aob ，水平放在均匀磁场 中，可绕平行 磁场的轴以 o 为心在水平面内以角速度 旋转。 oa = l/k 。 求：a、b 两点的电势差，并指出那一端电势高。( k 2)BBabo kl /l解：前已求得ao或bo的动生电动势均有：221lBi 则：221)/(klBao 方向：aoaoUU ：即即221)/(kllBbo 方向：boboUU ：即即第4页/共29页221)/(klBao 方向：aoaoUU ：即即221)/(kllBbo 方向：boboUU ：即即设：o 点为电势零点，则：221)/(klBUa 221)/(kllBUb a、b 两点的电势差：baabUUU )1(2221klB 2k0 a 点电势高第5页/共29页例2：边长为 l 的等边三角形金属框，电阻均匀分布，总电阻为R， 在匀强磁场 中以恒定的角速度 绕 oo 转动，且 。 当金属框转至图示位置时，求金属框中的总感应电动势及 Uab 、Uad 。BBoo Babco o d解：图示位置：框上任一点有BV VV/)(ooBV bc：l dBV )(0 动动bc 根据对称性：ab与ac上产生的动生电动势大小相等。在ab上取图示方向的线元 dl ，l drBV =30 线元 dl 上的动生电动势为：l dBVd )( dlVB30cos 第6页/共29页Babco o d VVl drBV l dBVd )( dlVB30cos rV dr30sindldr drrBd30cot 线框中总感应电动势为：ab 2 bad 2 2030cot2lrdrB 243lB 0 方向：abca线框中的感应电流：RI RBl432 ab段的电阻为R/3，等效电路为：abIab 3/R由欧姆定律有：3RabbaabIUUU 2243lB 0 baUU 第7页/共29页Babco o d VVl drBV 同理，ad 段有：abIab 3/Rd6/R)(63RRabdaadIUUU 0 a、d电势相同。设：闭合回路任意时刻法线方向与磁场夹角为 ，则该时刻穿过回路的磁通为： cosBSSBm S 为此回路面积大小。第8页/共29页Babco o d VVl drBV cosBSSBm 线框中总感应电动势大小：dtdm dtdBS sin sinBS 243sinlB 当线框处于图示位置时，=90243lB 电动势方向：根据楞次定律可判断设：闭合回路任意时刻法线方向与磁场夹角为:第9页/共29页例3：有一质量为 m 的金属导线，可在两根相距为 l 的轨道上无摩 擦地滑动，且其运动平面处于一个与之垂直的匀强磁场 中。 恒定电流 I 从发电机 G 流出，沿导轨及导线 ab 流回。求:金 属导线的速率随时间变化的函数关系（设：t =0 时，V=0 ）； 用恒定电动势为 的电池来代替 G ,导线的速率将趋于一个 恒定的值，这个收尾速率是多少?此时回路中的电流是多少?BIG l Bab解：ab通电后，在磁场中受磁力：IBlF 方向如图F由牛二律得：dtdVmIBlF IBldtmdV tVIBldtmdV00IBltmV tmIBlV 方向：FV第10页/共29页 用恒定电动势为 的电池来代替 G , 导线的速率将趋于一个恒 定的值， 这个收尾速率是多少?此时回路中的 电流是多少?IG l BabFV导线开始运动后，其上产生动生电动势： l dBVi)( VBl 方向：abi 根据欧姆定律：Ri Ri RBVl (设为原电流方向)ab 受磁力：BilFi 由牛二律得：mFdtdVi )(RBVlmBl tVdtmRBlBVldV00 )1(22tmRlBeBlV BlVt ,时时此时：RBVli BlRBlR 0 第11页/共29页I例4 . 一长直导线载有交变电流I=I0sint，旁边有一矩形线圈ABCD（与长直导线共面），长为l1、宽l2 ，长边与长直导线平行，AD边与导线相距为a，线圈共N匝，全线圈以速度v垂直于长直导线方向向右运动，求此时线圈中的感应电动势大小.解: 由于电流改变的同时，线圈也在向右运动,故线圈中既有感生电动势，又有动生电动势.在ABCD内取一dS=l1dx的面元，传过该面元的磁通量为：ABCD2l1lavxdxSdBdm SdBdmm 第12页/共29页故dtdmi dtdaalaIldtdIalal112ln2210210 dxlxI102 2210laaxdxIl alaIl210ln2 tIdtdI cos0 vdtda talavIltalaIli sin112cosln220102010 SdBdmm 第13页/共29页例5 OM、ON及MN为金属导线，MN以速度v 运动，并保持与上述两导线接触。磁场是不均匀的，且：导体MN在时，0t=0,x=tkxB cos求：)(t Bdxx xyodxxdS tg SdBd dxxtkx tgcos tdxxk cos)tg(2 SSdB txktg cos)(313 xdxtxktg02cos)( 解： 取回路L的绕向为顺时针，在x处取面元dS，则：MNv第14页/共29页)sincos3(3132txtdtdxxktgdtdi ttvktgttvktg cossin312333动生感生ttvktgBlv cos23 动动ttvktgt sin3133 感感二、涡旋电场：源于变化的磁场： SdtBl dE涡涡第15页/共29页例1：一无限长螺线管内部的磁场以“dB/dt=恒量”的变化率在减小， 即：dB/dt =k 0 。在与轴线垂直的截面上有一边长为 L 的正 方形回路。其中ab 边中点位于轴心。 求： 回路感应电动势i ； a 点感应电场的大小，并画出 a、b、c、d 各点的感应电场方向。 B abcd oL解：设回路绕向顺时针，则法向n方向为： dtdi sdBdtd Bdsdtd dsdtdBdtdBL2 0 故：感应电动势方向 顺时针(符合楞次定律)第16页/共29页 B abcd oL a 点感应电场的大小，并画出 a、b、c、d 各点的感应电场方向磁场变化率轴对称，所激发涡旋电场也轴对称即：涡旋电场的电场线是以o为心的一系 列同心圆，且同一电场线上各点的场强大小相等，方向垂直半径(沿切线)作图示环路，有：r SdtBl dE涡涡dtdBr2 dtdBrrE22 涡涡dtdBrEa2 dtdBL4 abcd oaEbEcEdE第17页/共29页例2： 在截面半径为R的圆柱形空间充满磁感应强度为B的均匀磁场，B的方向沿圆柱形轴线，B的大小随时间按dB/dt=k的规律均匀增加，有一长L=2R的金属棒abc位于图示位置，求金属棒中的感生电动势。ROBdcbaRR解: 作辅助线oa、oc构成闭合回路oabco。由于涡旋电场的电力线是以O为圆心的半径不等的同心圆，E涡的方向沿圆周切线方向，从而与半径垂直。因此，oa、oc段上感生电动势为零，则闭合回路的感生电动势就等于金属棒ac上的感生电动势。穿过oac的磁通量实际上只是oabdo的面积部分，所以第18页/共29页BSoabdom BSSobdooabo BR21243 dtdmi dtdBR 33412 3342 Rk负号表示i 的方向与B构成左旋关系，即感生电动势的指向为ab c。第19页/共29页例1. 通有电流 的矩形导线与长直导线共面， sin0tIi 求：长直导线中的感应电动势。 sin0tIi lab1Irrd解： d dtiM 12 由 ， 应先求 M 。 （1）设长直导线中通电流 I1 ，方向： 其磁场在矩形导线框中的磁通量为： d121SBS d 2 10 SrlrI ln 2 10 abalI 由互感定义： 121IM ln 2 0 abal d 2 1 0 baarrlI 三、自感、互感与磁场能量等第20页/共29页 sin0tIi lab ln 2 0 abalM (2) 当矩形导线通电流 时， sin0tIi 在长直导线中产生的感应电动势为： ddtiM 12 ) sin( dd ) ln 2 ( 00 tItabal abatIl ln cos 2 00 是交变感应电动势。 第21页/共29页例2. 一无限长直导线通有电流 ，I0为常量，一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如图所示。求：（1）矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的流向；（2）导线与线圈的互感系数。teIi30 解： d121SBS d 2 0 Srlri ln 2 0 abl i d 2 0 barrli t dd2121 e I t dd ) a b l -t 3 )(ln2(00 abeIlt ln 2 3 300 顺时针。 的流向： iI 3-0teIi labrrd(1)取回路L的绕向为顺时针，如图所示。则穿过矩形线圈的磁通量为： L方方向向为为顺顺时时针针，则则表表明明2121, 0 第22页/共29页(2)互感： dd tiM 21 ln 2 0 abl 或 21iM ln 2 0 abl 例3. 计算无限长载流导线单位长度的 磁场能量。导体内沿磁力线作半径为 r 的环路，解：IRrrH222 Il dH22 RIrH lRI第23页/共29页lRr取长为 l 厚度为dr 的同轴圆柱面，22 RIrH drHB 22 RIr ,22 Bwm ,2 rldrdV 体体 RrldrB0222 VmmdVwW体体 162lI RdrrRlI03424 )1(162 lI 第24页/共29页例4. 横截面为矩形的均匀密绕的环形螺线管，其内、外半径分别为R1和R2，导线总匝数为N，b为已知(如图所示)，求它的自感。解：由安培环路定理，管腔中的磁场： rNIB 2 SSmBdSSdB cosdrr m 12ln2RRNIh 122ln2RRhNINLm 212RRhdrrNI 第25页/共29页例5. 平行板电容器充电时， 11ll dH 22ll dH（）Ic-Q+Ql1l2例6. 在没有自由电荷和传导电流的变化电磁场中 l dH l dE SdDdtd SdBdtd例7. 用线圈的自感系数 L 来表示载流线圈磁场能量的公式( A )只适用于无限长密绕线管；( B ) 只适用于单匝圆线圈；( C ) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环；( D ) 适用于自感系数L 一定的任意线圈。,212LIWm D 第26页/共29页例8. 在一自感线圈中通过的电流 I 随时间 t 的变化规律如图 (a) 所示，若以 I 的正流向作为 e 的正方向，则代表线圈内自感电动势 e 随时间 t 变化规律的曲线应为图 (b) 中 (A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？)(aoItot)(b)A(ot)B(ot)C(ot)D( D 例9. 对于单匝线圈取自感系数的定义式为L= m/I , 当线圈的几何形状、大小及周围介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数 L第27页/共29页（A）变大，与电流成反比关系;（B）变小;（C）不变;（D）变大，但与电流不成反比关系。 C 例10. 如图，线框下落 H 高度后瞬 间，线框中的感应电流为多少？Ii=0abcd60lIH例9. 对于单匝线圈取自感系数的定义式为L= m/I , 当线圈的几何形状、大小及周围介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数 L第28页/共29页