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第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为()，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称几何条件方程适用范围斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线4线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式小题体验1若过点M(1，m)，N(m1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B.C2 D.解析：选A由1，得m1.故选A.2直线3xy10的倾斜角为()A30 B60C120 D135解析：选B直线方程可变形为yx，tan ，00，kPA0，故k0时，为锐角又kPA1，kPB1，1k1.又当0k1时，0；当1k0时，.故倾斜角的取值范围为.答案：1,13若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)三点共线，求的值解：kAB，kAC，且A，B，C三点共线，kABkAC，即，整理得ab2(ab)，将该等式两边同除以2ab得.谨记通法1倾斜角与斜率的关系当且由0增大到时，k的值由0增大到.当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k的值由趋近于0(k0)2斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率(3)方程法：若已知直线的方程为AxByC0(B0)，则l的斜率k.典例引领求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；(3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解：(1)设直线方程在x，y轴上的截距均为a，若a0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)，直线方程为yx，即x4y0；若a0，则设直线方程为1，直线方程过点(4,1)，1，解得a5，直线方程为xy50.综上可知，所求直线的方程为x4y0或xy50.(2)由已知，设直线y3x的倾斜角为 ，则所求直线的倾斜角为2.tan 3，tan 2.又直线经过点(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)即所求直线的方程为xy10或xy70.由题悟法求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)即时应用求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(，1)；(2)在y轴上的截距是5.解：直线yx1的倾斜角120.所求直线的倾斜角为30，即斜率k.(1)所求直线方程为y1(x)，即x3y60.(2)所求直线方程为yx5，即x3y150.锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)由直线方程解决参数问题 题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题1过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求：(1)AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；(3)|PA|PB|的最小值及此时直线l的方程解：(1)设直线l的方程为y1k(x2)，则可得A，B(0,12k)直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，得k0.SAOB|OA|OB|(12k)4，当且仅当4k，即k时，AOB的面积有最小值4，此时直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.(2)A，B(0,12k)(k0)，截距之和为212k32k3232，当且仅当2k，即k时等号成立故截距之和的最小值为32，此时直线l的方程为y1(x2)，即xy20.(3)A，B(0,12k)(k0)，|PA|PB|24，当且仅当k，即k1时上式等号成立故|PA|PB|的最小值为4，此时直线l的方程为y1(x2)，即xy30.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为()A.B.C0,1 D.解析：选A由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0k1，即02x021，故1x0.角度三：由直线方程解决参数问题3已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S(2a)2(a22)2a2a42，当a时，四边形的面积最小，故a.通法在握处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值演练冲关1设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直线垂直，则PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.答案：52已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为yk(x2)1，故无论k取何值，直线l总过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k0，故k的取值范围为.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，A，B(0,12k)又0，k0.故S|OA|OB|(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时取等号故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线l：xsin 30ycos 15010的斜率是()A.B.C D解析：选A设直线l的斜率为k，则k.2倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：选D直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.3(2018湖州质检)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.解析：选B依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可得直线l的斜率为.4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：选D直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.5(2018豫西五校联考)曲线yx3x5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0，)，因为y3x211，所以tan 1，结合正切函数的图象可知，的取值范围为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由直线方程可得该直线的斜率为，又10，b0时，a0，b0，a1)的图象恒过定点A，若点A在mxny10(mn0)上，则的最小值为()A2 B4C8 D1解析：选B函数ya1x(a0，a1)的图象恒过定点A(1,1)把A(1,1)代入直线方程得mn1(mn0)(mn)222 4(当且仅当mn时取等号)，的最小值为4.6(2018温州调研)已知三角形的三个顶点为A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_解析：BC的中点坐标为，BC边上中线所在直线方程为，即x13y50.答案：x13y507直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_解析：直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)答案：(2，2)8已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2xy8(2x3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_解析：如图所示，设直线l与线段2xy8(2x3)的公共点为P(x，y)则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2,4)，B(3,2)，设直线l的斜率为k.又kOA2，kOB.可知k2.故直线l的斜率的取值范围是.答案：9已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1.直线l的方程为x6y60或x6y60.10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线y，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为_解析：y，因为ex0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，所以ex24，故y(当且仅当x0时取等号)所以当x0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S2.答案：2.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当ABO的面积取最小值时，求直线l的方程解：法一：设A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)，则直线l的方程为1.因为l过点P(3,2)，所以1.因为12 ，整理得ab24，所以SABOab12，当且仅当，即a6，b4时取等号此时直线l的方程是1，即2x3y120.法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k0，可设直线l的方程为y2k(x3)(k0)，则A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212)12，当且仅当9k，即k时，等号成立所以所求直线l的方程为2x3y120.第二节两条直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间距离d小题体验1(2018金华四校联考)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A2B3C2或3 D2或3解析：选C直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，解得m2或3.2过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为()A19x9y0 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0解析：选D由得则所求直线方程为yxx，即3x19y0.3(2018浙江五校联考)已知动点P的坐标为(x,1x)，xR，则动点P的轨迹方程为_，它到原点距离的最小值为_解析：设点P的坐标为(x，y)，则y1x，即动点P的轨迹方程为xy10.原点到直线xy10的距离为d，即为所求原点到动点P的轨迹的最小值答案：xy101在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑2运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错小题纠偏1已知P：直线l1：xy10与直线l2：xay20平行，Q：a1，则P是Q的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由于直线l1：xy10与直线l2：xay20平行的充要条件是1a(1)10，即a1.所以P是Q的充要条件2(2018安庆模拟)若直线l1：x3ym0(m0)与直线l2：2x6y30的距离为，则m()A7 BC14 D17解析：选B直线l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因为它与直线l2：2x6y30的距离为，所以，解得m.(基础送分型考点自主练透)题组练透1(2018诸暨模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为_解析：由两直线平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)13132 25，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.答案：252已知直线l1：x3y7与直线l2：kxy2，以及与x轴，y轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k的值解：如图所示，由直线l1，l2及x轴，y轴所围成四边形为OABC，其有外接圆的充要条件是对角互补COA90，CBA90，即l1l2.k1，解得k3.3已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解：(1)由题意得解得m1，n7.即m1，n7时，l1与l2相交于点P(m，1)(2)l1l2， 解得或即m4，n2或m4，n2时，l1l2.(3)当且仅当2m8m0，即m0时，l1l2.又1，n8.即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.谨记通法1已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法(1)两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直两直线的斜率之积等于1.提醒当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况2由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1与l2垂直的充要条件A1A2B1B20l1与l2平行的充分条件(A2B2C20)l1与l2相交的充分条件(A2B20)l1与l2重合的充分条件(A2B2C20)提醒在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答典例引领1(2018衢州模拟)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为()A.B.C. D.解析：选B因为l1l2，所以，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2之间的距离d.2直线3x4y30上一点P与点Q(2，2)的连线的最小值是_解析：点Q到直线的距离即为P，Q两点连线的最小值，|PQ|min1.答案：13若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_解析：法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意故所求直线l的方程为x3y50或x1.法二：当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案：x3y50或x1由题悟法处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便即时应用1已知P是直线2x3y60上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(1,1)，若|PO|PA|，则P点的坐标为_解析：法一：设P(a，b)，则解得a3，b4.P点的坐标为(3,4)法二：线段OA的中垂线方程为xy10，则由解得则P点的坐标为(3,4)答案：(3,4)2已知直线l：axy10和点A(1,2)，B(3,6)若点A，B到直线l的距离相等，则实数a的值为_解析：法一：要使点A，B到直线l的距离相等，则ABl，或A，B的中点(2,4)在直线l上所以a2或2a410，解得a2或.法二：要使点A，B到直线l的距离相等，则，解得a2或.答案：2或锁定考向对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称 题点全练角度一：点关于点对称1过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x4y40.答案：x4y402已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程为_解析：法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4，3)，则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设P(x，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.答案：2x3y90角度二：点关于线对称3已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解：(1)设A(x，y)，则解得A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.角度三：线关于线对称4直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30Bx2y30Cx2y10 Dx2y10解析：选A设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.通法在握1中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程2轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行演练冲关1与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为_解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A(x，y)在直线3x4y50上，即3x4(y)50，故所求直线方程为3x4y50.答案：3x4y502已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.答案：6xy603已知ABC中，顶点A(4,5)，点B在直线l：2xy20上，点C在x轴上，求ABC周长的最小值解：设点A关于直线l：2xy20的对称点为A1(x1，y1)，点A关于x轴的对称点为A2(x2，y2)，连接A1A2交l于点B，交x轴于点C，则此时ABC的周长取最小值，且最小值为.A1与A关于直线l：2xy20对称，解得A1(0,7)易求得A2(4，5)，ABC周长的最小值为4.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直 D不能确定解析：选C由可得3x2mn0，由于3x2mn0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为2，斜率之积不等于1，故不垂直2(2018浙江名校协作体联考)“a1”是“直线ax3y30和直线x(a2)y10平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C因为直线ax3y30和直线x(a2)y10平行的充要条件是解得a1，故选C.3(2018丽水调研)已知直线l1过点(2,0)且倾斜角为30，直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析：选C直线l1的斜率为k1tan 30，因为直线l2与直线l1垂直，所以k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)两式联立，解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)4(2018诸暨期初)已知点A(7，4)关于直线l的对称点为B(5,6)，则该对称直线l的方程为()A6x5y10 B5x6y10 C5x6y10 D6x5y10 解析：选D由题可得，直线l是线段AB的垂直平分线因为A(7，4)，B(5,6)，所以kAB，所以kl.又因为A(7，4)，B(5,6)的中点坐标为(1,1)所以直线l的方程为y1(x1)，即6x5y10.5若直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为_解析：由得即直线2xy10与yx1相交于点(9，8)又因为直线2xy10，yx1，yax2交于一点，所以89a2，解得a.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2的值为()A. BC5 D10解析：选D由题意知P(0,1)，Q(3,0)，过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay30垂直，M位于以PQ为直径的圆上，|PQ|，|MP|2|MQ|2|PQ|210.2(2018慈溪模拟)曲线y2xx3在x1处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()A. B.C. D.解析：选A由题可得，切点坐标为(1，1)y23x2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k231，所以切线的方程为xy20.所以点P(3,2)到直线l的距离为d.3(2018绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.解析：选C因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.4(2018厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn等于()A. B.C. D.解析：选A由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，则解得故mn.5从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80解析：选A由直线与向量a(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式可得反射光线所在的直线方程为x2y40.6(2018余姚检测)已知直线l过点P(3,4)且与点A(2,2)，B(4，2)等距离，则直线l的方程为_解析：显然直线l的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.答案：2xy20或2x3y1807.如图所示，已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程为_解析：易得AB所在的直线方程为xy4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(2,0)，则光线所经过的路程即A1与A2两点间的距离于是|A1A2|2.答案：28(2018绍兴一中检测)两平行直线l1，l2分别过点P(1,3)，Q(2，1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是_解析：l1l2，且Pl1，Ql2，l1，l2间的最大距离为|PQ|5，又l1与l2不重合，l1，l2之间距离的取值范围是(0,5答案：(0,59已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)l1l2，a(a1)b0.又直线l1过点(3，1)，3ab40.联立解得a2，b2.(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.10已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解：依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC的方程为2xy110，联立得C(4,3)设B(x0，y0)，则AB的中点M，代入2xy50，得2x0y010，联立得B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知线段AB的两个端点A(0，3)，B(3,0)，且直线y2x2与线段AB总相交，则实数的取值范围为_解析：如图所示，因为y2x2恒过定点C，连接AC，CB，所以直线AC的斜率kAC10，直线BC的斜率kBC. 又直线y2x2与线段AB总相交，所以kAC2kBC，所以的取值范围为.答案：2已知直线l：(2ab)x(ab)yab0及点P(3,4)(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2xy1)b(xy1)0，由得所以直线l恒过定点(2,3)(2)由(1)知直线l恒过定点A(2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大又直线PA的斜率kPA，所以直线l的斜率kl5.故直线l的方程为y35(x2)，即5xy70.第三节圆的方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心：，半径：2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.小题体验1若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1B1C3 D3解析：选B圆的方程可化为(x1)2(y2)25，直线经过圆的圆心(1,2)，3(1)2a0，得a1.2(2018浙江五校联考)若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(0,1)C. D.解析：选A因为点在圆内，所以(2a)2(a11)25，解得1a1”是“方程x22axy210的曲线是圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为方程是圆，所以可转化为(xa)2y2a21，即a210，解得a1或a1”时，有a210，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a1或a1.所以是充分不必要条件3(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d，解得a2，所以圆C的半径r|CM|3，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案：(x2)2y294(2018湖北八校联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C的标准方程为_解析：圆C关于y轴对称，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2(yb)2r2，依题意，得解得圆C的标准方程为x22.答案：x22谨记通法1求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线提醒解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质锁定考向与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题 题点全练角度一：斜率型最值问题1已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求的最大值和最小值解：可视为点(x，y)与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k2或k2.的最大值为2，最小值为2.角度二：截距型最值问题2已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解：设txy，则yxt，t可视为直线yxt的在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.角度三：距离型最值问题3已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求的最大值和最小值解：，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1，2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点(
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