2022高考数学二轮复习 专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列教案 理

2022高考数学二轮复习 专题三 数列 第一讲 等差数列、等比数列教案 理年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷等差数列的基本运算T4命题分析(1)高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用(2)若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注学科素养主要是通过等差数列、等比数列的判定与证明及基本运算考查逻辑推理与数学运算两大核心素养.卷等比数列的基本运算及应用T172017卷等差数列的基本运算T4卷数学文化中的等比数列应用T3等差数列与裂项求和T15卷等差数列与等比数列的运算T9等比数列的基本运算T142016卷等差数列的基本运算T3等比数列的运算及二次函数最值问题T15悟通方法结论两组求和公式(1)等差数列：Snna1d；(2)等比数列：Sn(q1)全练快速解答1(2018高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10D12解析：设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.答案：B2(2017高考全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24B3C3D8解析：设等差数列an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，则d2，所以a6a15d9，所以an前6项的和S6624，故选A.答案：A3(2018天津模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且8a2a4a3a6，则_.解析：由8a2a4a3a6可得8aa3a6，故a68a3，设公比为q，则q38，q2，故.答案：4(2018高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解析：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(或q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量等差数列、等比数列的性质授课提示：对应学生用书第29页悟通方法结论1等差数列、等比数列常用性质：等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sm0)2.等差数列中利用中项求和(1)若n为奇数，则Snna.(2)若n为偶数，则Sn(aa1)3在等差数列中，当项数为偶数2n时，有S偶S奇nd，；当项数为奇数2n1时，有S奇S偶an，.4在等比数列中，当项数为偶数2n时，q.全练快速解答1(2018南宁模拟)等差数列an中，a3a76，则an的前9项和等于()A18B27C18D27解析：由等差数列的性质，得a1a9a3a76，所以数列an的前9项和S927，故选B.答案：B2(2016高考全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99C98D97解析：法一：an是等差数列，设其公差为d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.法二：an是等差数列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100成等差数列，且公差da10a5835.故a1003(201)598.故选C.答案：C3(2018长沙模拟)等比数列an中，a56，则数列log6an的前9项和的值为()A6B9C12D16解析：因为a56，所以log6a1log6a2log6a9log6(a1a2a9)log6a9log669.答案：B4(2018河北三市联考)已知Sn是等差数列an的前n项和，若S55a410，则数列an的公差为_解析：由S55a410，得5a35a410，则公差d2.答案：2等差(比)数列性质应用策略解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.等差数列、等比数列的判定与证明授课提示：对应学生用书第29页悟通方法结论1证明数列an是等差数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；(2)利用等差中项性质，即证明2anan1an1(n2)2证明an是等比数列的两种基本方法：(1)利用定义，证明(nN*)为一常数；(2)利用等比中项性质，即证明aan1an1(n2，an0)(2018高考全国卷)(12分)已知数列an满足a11，设bn.(1)求；(2) ，并说明理由；(3) 学审题条件信息想到方法注意什么由信息nan12(n1)an递推关系变形an1an判断bn为等比数列时要紧扣定义去推断由信息求b1、b2、b3想到先求a1、a2、a3，再求b1、b2、b3由信息判断bn是否为等比数列由等比数列的定义推断常数由信息求an先求bn，再求an规范解答(1)由条件可得an1an. (2分)将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312. (4分)从而b11，b22，b34. (6分)(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn， (8分)又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列 (10分)(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1. (12分)1判定一个数列是等差(比)数列，可以利用通项公式或前n项和公式，但不能将其作为证明方法2(1)q和aan1an1(n2)都是数列an为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零(2)学科素养：利用定义判定或证明数列问题重要体现了数学抽象逻辑推理与数学运算学科素养能力练通即学即用(2018贵州适应性考试)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解析：(1)由已知得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212得2a3123a2，所以a315.(2)证明：由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.授课提示：对应学生用书第129页一、选择题1(2018开封模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1a510，S416，则数列an的公差为()A1B2C3D4解析：设等差数列an的公差为d，因为S42(a1a5d)2(10d)16，所以d2，故选B.答案：B2(2018重庆模拟)在数列an中，an1an2，a25，则an的前4项和为()A9B22C24D32解析：依题意得，数列an是公差为2的等差数列，a1a223，因此数列an的前4项和等于43224，选C.答案：C3(2018益阳、湘潭联考)已知等比数列an中，a53，a4a745，则的值为()A3B5C9D25解析：设等比数列an的公比为q，则a4a7a5q29q45，所以q5，q225.故选D.答案：D4(2018洛阳模拟)在等差数列an中，若Sn为前n项和，2a7a85，则S11的值是()A55B11C50D60解析：设等差数列an的公差为d，由2a7a85，得2(a6d)a62d5，得a65，所以S1111a655，故选A.答案：A5(2018昆明模拟)已知等差数列an的公差为2，且a4是a2与a8的等比中项，则an的通项公式an()A2nB2nC2n1D2n1解析：由题意，得a2a8a，又ana12(n1)，所以(a12)(a114)(a16)2，解得a12，所以an2n.故选B.答案：B6(2018长沙中学模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4a12a88，a10a64，则S23()A23B96C224D276解析：设等差数列an的公差为d，依题意得a4a12a82a8a8a88，a10a64d4，d1，a8a17da178，a11，S232311276，选D.答案：D7(2018长春模拟)等差数列an中，已知|a6|a11|，且公差d0，则其前n项和取最小值时n的值为()A6B7C8D9解析：由d0可得等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，则a80，a90，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.答案：C8(2018惠州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a9a126，a24，则数列的前10项和为()A.B.C.D.解析：设等差数列an的公差为d，由a9a126及等差数列的通项公式得a15d12，又a24，a12，d2，Snn2n，(1)()()1.选B.答案：B9一个等差数列的前20项的和为354，前20项中偶数项的和与奇数项的和之比为3227，则该数列的公差d()A1B3C5D7解析：法一：设等差数列的首项为a1，由题意可得法二：由已知条件，得，解得，又S偶S奇10d，所以d3.答案：B10(2018惠州模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若a62a3，则()A.B.C.D.解析：.故选D.答案：D11已知数列an的前n项和Snan2bn(a，bR)，且S25100，则a12a14()A16B8C4D不确定解析：由数列an的前n项和Snan2bn(a，bR)，可得数列an是等差数列，S25100，解得a1a258，所以a12a14a1a258.答案：B12等差数列an的前n项和为Sn，且a10，若存在自然数m3，使得amSm，则当nm时，Sn与an的大小关系是()ASnanBSnanCSnanD大小不能确定解析：若a10，存在自然数m3，使得amSm，则d0.因为d0时，数列是递减数列，则Smam，不存在amSm.由于a10，d0，当m3时，有amSm，因此am0，Sm0，又SnSmam1an，显然Snan.答案：C二、填空题13(2018南宁模拟)在等比数列an中，a2a616，a4a88，则_.解析：法一：设等比数列an的公比为q，由a2a616得aq616，a1q34.由a4a88，得a1q3(1q4)8，即1q42，q21.于是q101.法二：由等比数列的性质，得aa2a616，a44，又a4a88，或.aa4a80，则公比q满足q41，q21，q101.答案：114(2018合肥模拟)已知数列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，则其前9项和S9_.解析：由已知，得a4anan14a，即a4anan14a(an12an)20，所以an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故S921021 022.答案：1 02215若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.解析：因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案：5016(2017高考北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，则_.解析：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则由a4a13d，得d3，由b4b1q3得q38，q2.1.答案：1三、解答题17(2018南京模拟)已知数列an的前n项和Sn2n12，记bnanSn(nN*)(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)Sn2n12，当n1时，a1S121122；当n2时，anSnSn12n12n2n.又a1221，an2n.(2)由(1)知，bnanSn24n2n1，Tnb1b2b3bn2(4142434n)(22232n1)24n12n2.18(2018贵阳模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，公比q0，a1a24，a3a26.(1)求数列an的通项公式；(2)若对任意的nN*，kan，Sn，1都成等差数列，求实数k的值解析：(1)a1a24，a3a26，q0，q3，a11.an13n13n1，故数列an的通项公式为an3n1.(2)由(1)知an3n1，Sn，kan，Sn，1成等差数列，2Snkan1，即2k3n11，解得k3.19(2018成都模拟)已知数列an满足a12，an12an4.(1)证明：数列an4是等比数列；(2)求数列|an|的前n项和Sn.解析：(1)证明：a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，2，an4是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1) ，可知an42n，an2n4.当n1时，a120，S1|a1|2；当n2时，an0.Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)4(n1)2n14n2.又当n1时，上式也满足当nN*时，Sn2n14n2.20(2018南宁柳州联考)已知a12，a24，数列bn满足：bn12bn2且an1anbn.(1)求证：数列bn2是等比数列；(2)求数列an的通项公式解析：(1)证明：由题知，2，b1a2a1422，b124，数列bn2是以4为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)可得，bn242n1，故bn2n12.an1anbn，a2a1b1，a3a2b2，a4a3b3，anan1bn1.累加得，ana1b1b2b3bn1(n2)，an2(222)(232)(242)(2n2)22(n1)2n12n，故an2n12n(n2)a1221121，数列an的通项公式为an2n12n(nN*)