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14.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数ytan(x)的周期.2.掌握正切函数ytan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法知识点一正切函数的性质思考1正切函数的定义域是什么？答案.思考2诱导公式tan(x)tan x，xR且xk，kZ说明了正切函数的什么性质？答案 周期性思考3诱导公式tan(x)tan x，xR且xk，kZ说明了正切函数的什么性质？答案 奇偶性思考4从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？答案是梳理函数ytan x的图象与性质见下表：解析式ytan x图象定义域值域R最小正周期奇偶性奇单调性在开区间(kZ)内都是增函数知识点二正切函数的图象思考1利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间上的图象作法如下：(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)(4)连线，得到如图所示的图象(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数ytan x，xR且xk(kZ)的图象，把它称为正切曲线(如图所示)可以看出，正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的思考2我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数ytan x，x的简图吗？怎样画？答案能，三个关键点：，(0,0)，两条平行线：x，x.梳理(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ所隔开的无穷多支曲线组成的1函数ytan x在其定义域上是增函数()提示ytan x在开区间(kZ)上是增函数，但在其定义域上不是增函数2函数ytan x的图象的对称中心是(k，0)(kZ)()提示ytan x图象的对称中心是(kZ)3正切函数ytan x无单调递减区间()4正切函数在区间上单调递增()提示正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x时，ytan x无意义.类型一正切函数的定义域、值域问题例1(1)函数y3tan的定义域为_考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域答案解析由k，kZ，得x4k，kZ，即函数的定义域为.(2)求函数ytan2tan1的定义域和值域考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的值域解由3xk，kZ，得x，kZ，所以函数的定义域为.设ttan，则tR，yt2t12，所以原函数的值域是.反思与感悟(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解跟踪训练1求函数ylg(1tan x)的定义域考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域解由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又ytan x的周期为，所以函数的定义域是(kZ)类型二正切函数的单调性问题命题角度1求正切函数的单调区间例2求函数ytan的单调区间及最小正周期考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性解ytantan，由kxk(kZ)，得2kx0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解kxk，kZ即可当0时，先用诱导公式把化为正值再求单调区间跟踪训练2(2017太原高一检测)求函数y3tan的单调区间考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性解y3tan3tan，由k2xk，kZ，得x(kZ)，所以y3tan的单调递减区间为(kZ)命题角度2利用正切函数的单调性比较大小例3比较大小：(1)tan 32_tan 215；(2)tan_tan.考点正切函数的单调性题点正切函数的单调性的应用答案(1)(2)解析(1)tan 215tan(18035)tan 35，ytan x在(0，90)上单调递增，3235，tan 32tan 35tan 215.(2)tantantan，tantantan，ytan x在上单调递增，且，tantan，即tan解析tantantan ，tantantan .又0，ytan x在内单调递增，tan tan ，tantan.类型三正切函数综合问题例4设函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用解(1)，最小正周期T2.令(kZ)，得xk(kZ)，f(x)的对称中心是(kZ)(2)令0，则x；令，则x；令，则x；令，则x；令，则x.函数ytan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x，x，从而得到函数yf(x)在一个周期内的简图(如图)反思与感悟熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线xk，kZ隔开的无穷多支曲线组成，ytan x的对称中心为，kZ.跟踪训练4画出f(x)tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用解f(x)tan |x|化为f(x)根据ytan x的图象，作出f(x)tan |x|的图象，如图所示，由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(kN)；单调减区间为，(k0，1，2，).1函数f(x)tan的单调递增区间为()A.，kZB(k，(k1)，kZC.，kZD.，kZ考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性答案C2函数ytan x是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的奇偶性答案A解析函数的定义域是，且tan(x)tan x，所以函数ytan x是奇函数3(2017绍兴柯桥区期末)函数y3tan的最小正周期是()A. B.C. D5考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案A4将tan 1，tan 2，tan 3按大小顺序排列为_(用“”连接)考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的周期性答案tan 2tan 3tan 15函数ytan x的值域是_考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的值域答案(，11，)解析函数ytan x在上单调递增，在上也单调递增，所以函数的值域是(，11，)1正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为xk，kZ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增2正切函数的性质(1)正切函数ytan x的定义域是，值域是R.(2)正切函数ytan x的最小正周期是，函数yAtan(x)(A0)的最小正周期为T.(3)正切函数在(kZ)上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.一、选择题1函数ytan，xR且xk，kZ的一个对称中心是()A(0,0) B. C. D(，0)考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的对称性答案C2函数f(x)2tan(x)是()A奇函数B偶函数C奇函数，也是偶函数D非奇非偶函数考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的奇偶性答案A解析因为f(x)2tan x2tan(x)f(x)，且f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)2tan(x)是奇函数3已知函数ytan x在内是减函数，则()A01 B10C1 D1考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案B解析ytan x在内是减函数，0且T，10)的图象的相邻两支截直线y所得的线段长为，则f的值是()A0 B1 C1 D.考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的周期性答案A解析由题意，得T，4.f(x)tan 4x，ftan 0.6函数ytan xsin x|tan xsin x|在区间内的图象是()考点正切函数的图象题点正切函数的图象答案D解析当x时，tan xsin x，y2tan x0；当x时，y0；当xsin x，y2sin x0.故选D.7(2017舟山模拟)已知函数f(x)，则下列说法正确的是()Af(x)的周期是Bf(x)的值域是y|yR，且y0C直线x是函数f(x)图象的一条对称轴Df(x)的单调递减区间是，kZ考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用答案D解析函数f(x)的周期为2，A错；f(x)的值域为0，)，B错；当x时，x，kZ，x不是f(x)的对称轴，C错；令kxk，kZ，可得2k0)的最小正周期为2，则f_.考点正切函数的周期性、对称性题点正切函数的周期性答案1解析由已知2，所以，所以f(x)tan，所以ftantan 1.9比较大小：tan_tan .考点正切函数的单调性题点正切函数单调性的应用答案解析tantan ，tantan ，又ytan x在内单调递增，所以tan tan ，即tan 0；f.当f(x)tan x时，正确结论的序号为_考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用答案解析由于f(x)tan x的周期为，故正确；函数f(x)tan x为奇函数，故不正确；f(0)tan 00，故不正确；表明函数为增函数，而f(x)tan x为区间上的增函数，故正确；由函数f(x)tan x的图象可知，函数在区间上有f，在区间上有f0，得tan x1或tan xxsin x，所以当x时，ysin x与ytan x没有公共点，因此函数ysin x与ytan x在区间0,2内的图象如图所示，观察图象可知，函数ytan x与ysin x在区间0,2上有3个交点15设函数f(x)tan(x)，已知函数yf(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间；(3)求不等式1f(x)的解集考点正切函数的综合应用题点正切函数的综合应用解(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T，即.因为0，所以2，从而f(x)tan(2x)因为函数yf(x)的图象关于点M对称，所以2，kZ，即，kZ.因为0，所以，故f(x)tan.(2)令k2xk，kZ，得k2xk，kZ，即x，kZ.所以函数的单调递增区间为，kZ，无单调递减区间(3)由(1)知，f(x)tan.由1tan，得k2xk，kZ，即x，kZ.所以不等式1f(x)的解集为.17
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