数学5 立体几何 第3讲 用空间向量的方法解立体几何问题 理

第一部分专题强化突破专题强化突破专题五立体几何专题五立体几何第三讲第三讲用空间向量的方法解立体几何问题用空间向量的方法解立体几何问题(理理)1 1高 考 考 点 聚 焦高 考 考 点 聚 焦2 2核 心 知 识 整 合核 心 知 识 整 合3 3高 考 真 题 体 验高 考 真 题 体 验4 4命 题 热 点 突 破命 题 热 点 突 破5 5课 后 强 化 训 练课 后 强 化 训 练高考考点聚焦高考考点聚焦高考考点考点解读利用空间向量证明平行与垂直关系1.建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直2考查向量的数量积与向量垂直的关系以及建立空间直角坐标系的方法利用空间向量求线线角、线面角、面面角以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量利用空间向量解决探索性问题或其他问题1.常借助空间直角坐标系，设点的坐标探求点的存在问题2常利用空间向量的关系，设某一个参数，利用向量运算探究平行、垂直问题 备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法，数乘、数量积运算等 (2)掌握各种角与向量之间的关系，并会应用 (3)掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法 预测2018年命题热点为： (1)二面角的求法 (2)已知二面角的大小，证明线线、线面平行或垂直 (3)给出线面的位置关系，探究满足条件的某点是否存在核心知识整合核心知识整合 (3)二面角 如图()，AB，CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_ 如图()()，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos _cosn1，n2或cosn1，n2 2利用向量方法证明平行与垂直 设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4) (1)线线平行 lmabakb_ (2)线线垂直 lmabab_a1ka2，b1kb2，c1kc20a1a2b1b2c1c20 (3)线面平行 laa_ (4)线面垂直 laak_ (5)面面平行 vkv_ (6)面面垂直 vv_0a1a3b1b3c1c30a1ka3，b1kb3，ckc3a3ka4，b3kb4，c3kc40a3a4b3b4c3c40 1在建立空间直角坐标系时，易忽略说明或证明建系的条件 2忽略异面直线的夹角与方向向量夹角的区别：两条异面直线所成的角是锐角或直角，与它们的方向向量的夹角不一定相等 3不能区分二面角与两法向量的夹角：求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析高考真题体验高考真题体验 解析(1)证明：设AC，BD交于点E，连接ME， 因为PD平面MAC，平面MAC平面PDBME， 所以PDME 因为四边形ABCD是正方形， 所以E为BD的中点， 所以M为PB的中点 解析(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA， 所以BE平面ABP 又BP平面ABP，所以BEBP 又EBC120，所以CBP30 解析(1)由已知可得AFDF，AFFE， 所以AF平面EFDC 又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC命题热点突破命题热点突破命题方向1利用空间向量证明平行与垂直关系 规律总结 利用空间向量证明平行与垂直的方法与步骤 (1)坐标运算法：一般步骤：建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； 建立空间图形与空间向量之间的关系，用向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； 通过空间向量的运算研究平行、垂直关系； 根据运算结果解释相关问题 (2)基向量运算法：一般步骤：选基向量，要尽量选用三个不共面的且夹角最好为90(其次为60或120)、模长或其关系已知的向理为基向量； 将相关向量用基向量表示； 将证明问题转化为向量的运算； 根据运算结果得结论命题方向2利用空间求量求空间中的角 规律总结 1利用空间向量求空间角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系 (2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标 (3)结合公式进行论证、计算 (4)转化为几何结论 2利用空间向量求线线角、线面角的思路 (1)异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即cos |cos | (2)直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin |cos | 解析(1)因为BCBD，E为CD中点， 所以BECD 因为ABCD，CD2AB， 所以ABDE，且ABDE，所以四边形ABED是矩形 所以BEAD，BEAD，ABAD， 因为ABPA，又PAADA， 所以AB平面PAD，所以CD平面PAD， 所以CDPD，且CDAD， 又因为在平面PCD中，EFPD， 所以CDEF 因为EFBEE，EF平面BEF，BE平面BEF， 又CDBE，所以CD平面BEF， 因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD命题方向3利用向量解决探索性问题 解法二：依题意，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为AB2AD2，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)， 规律总结 利用空间向量巧解探索性问题 (1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推，只需通过坐标运算进行判断 (2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题 解析(1)因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，AB平面ABCD，ABAD， 所以AB平面PAD 因为PD平面PAD，所以ABPD 又因为PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB， 所以PD平面PAB (2)取AD中点O，连接OP，OC 因为PAPD，所以OPAD 又因为平面PAD平面ABCD，交线为AD，OP平面PAD， 所以OP平面ABCD 又因为ACCD，所以OCAD 因为ABAD，所以OCAB且OC2AB