2022年高中数学选修2-1教案：2-2 空间向量及运算

2022年高中数学选修2-1教案：2-2 空间向量及运算1了解空间向量的有关概念，会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律(重点) 2理解直线的方向向量和平面的法向量会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题(难点)3会求简单空间向量的夹角，能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积(易混点)知识点一 空间向量的概念定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法用有向线段表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模与平面向量一样，空间向量或a的大小也叫作向量的长度或模，用|或|a|表示夹角定义如图，两非零向量a，b，过空间中任意一点O，作向量a，b的相等向量和，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b范围规定0a，b向量垂直当a，b时，向量a与b垂直，记作ab向量平行当a，b0或时，向量a与b平行，记作ab知识点二 空间向量的运算运算定义(或法则)运算律空间向量的加减法加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作ab，如图所示结合律：(ab)ca(bc)；交换律：abba减法与平面向量类似，a与b的差定义为a(b)，记作ab，其中b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作a，满足：|a|a|当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a0aa(R)(ab)ab()aaa(R，R)()a(a)(R，R)空间向量的数量积空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|b|cosa，b，记作ab交换律：abba分配律：a(bc)abac(ab)(a)b(R)与数量积有关的结论|a|abab0cosa，b(a0，b0)考点一 空间向量的有关概念例1(1)在如图211所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量有_个(不含)(2)下列说法中，正确的是()A两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B若非零向量和是共线向量，则A，B，C，D四点共线C若ab，bc，则acD零向量与任意向量平行 (3)在长方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点为起止点的向量中，与向量平行的向量为_，与相反的向量为_【名师指津】1在空间中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样2注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念考点二直线的方向向量与平面的法向量例2如图 ，正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有哪些？(2)在所有棱所在的向量中，写出平面ABCD的所有法向量【名师指津】1直线的方向向量就是与直线平行的非零向量对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的2找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是成面面垂直关系练习1根据本例的条件，写出平面BCC1B1的所有法向量考点三 空间的线性运算例3(1)(xx合肥高二检测)已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则等于()Aabc Babc Cabc Dabc (2)化简()()_. (3)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有()()；( )；()；().A1个 B2个 C3个 D4个【名师指津】1在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算2对向量式的化简，要结合图形，充分利用图形的性质考点四 空间向量的共线定理的应用例4如图223四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？【名师指津】1判定向量a与b共线就是要找到实数，使得ab成立要充分运用空间向量的运算法则，同时结合空间图形，化简得ab，从而判定a与b共线2向量共线定理是证明三点共线，线线平行问题的重要依据，有关空间和平面几何中的线线平行问题均可转化为向量的共线问题练习1如图224，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形思考问题1空间向量与平面向量有什么关系？问题2直线的方向向量与平面的法向量只有一个吗？问题3如何求两个空间向量的夹角？向量角与平面角有什么区别？问题1如何正确地理解空间向量的数量积？问题2在应用空间向量数量积的运算律时要注意什么？问题3如何灵活地应用空间向量的数量积公式？例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，求：(1)，；(2)，【名师指津】1求空间向量夹角的关键是平移向量，使它们的起点相同在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)通过平移找角，(2)在三角形中求角2在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是，而向量夹角的范围是0，比如a，b与a，b两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的练习2在正四面体ABCD中，(1)向量与的夹角为_；(2)向量与的夹角为_课堂练习1下列有关空间向量的说法中，正确的是()A如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等B如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等C如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等D同向且等长的有向线段表示同一向量2已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是()Aa0b0 Ba01 Ca0，b0共线 D|a0|b0|3下列说法中不正确的是()A平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量4设a，b，c满足abc0，且ab，|a|1，|b|2，则|c|_.5在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，2.设a，b，c，试用a，b，c表示.