（浙江专版）2019版高考数学大一轮复习 第七章 数列与数学归纳法 第2节 等差数列及其前n项和学案 理

第2节等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系知 识 梳 理1等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*，d为常数)，或anan1d(n2，d为常数)(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d通项公式的推广：anam(nm)d(m，nN*)(2)等差数列的前n项和公式Snna1d(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)3等差数列的有关性质已知数列an是等差数列，Sn是an的前n项和(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq.(2)等差数列an的单调性：当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列4等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)5等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值常用结论与微点提醒1用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an1and(n2)时，应注意验证a2a1是否等于d，若a2a1d，则数列an不为等差数列2利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()解析(4)若公差d0，则通项公式不是n的一次函数(5)若公差d0，则前n项和不是二次函数答案(1)(2)(3)(4)(5)2在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A1 B0 C1 D6解析由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.答案B3(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8解析设an的公差为d，由得解得d4.答案C4(2018宁波十校适应性考试)等差数列an的公差d0，且aa，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()A8或9 B9或10C10或11 D11或12解析由题意知，a1a17，又因为d0，所以a1a17，故a18d，a90，ana1(n1)d(n9)d，当an0时，n9，所以当n8或9时，Sn取最大值答案A5(必修5P68A8改编)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.答案1806(2018湖州调研)设等差数列an的公差是d，前n项和是Sn.若a11，a59，则公差d_，Sn_解析公差d2，前n项和Snna1dnn(n1)n2.答案2n2考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97(2)(2017全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3 C3 D8解析(1)设等差数列an的公差为d，由已知，得所以所以a100a199d19998.(2)等差数列中a11，根据题意得aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，解得d2，d0(舍去)所以数列an的前6项和为S66a1d16(2)24.答案(1)C(2)A规律方法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【训练1】 (1)(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，S36，S412，则S6_(2)(2015浙江卷)已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_解析(1)法一设数列an的首项为a1，公差为d，由S36，S412，可得解得即S66a115d30.法二由an为等差数列，故可设前n项和SnAn2Bn，由S36，S412，可得解得即Snn2n，则S636630.(2)因为a2，a3，a7成等比数列，所以aa2a7，即(a12d)2(a1d)(a16d)，由于d0，a1d，2a1a21，2a1a1d1，即3a1d1，a1，d1.答案(1)30(2)1考点二等差数列的判定与证明(变式迁移)【例2】 (经典母题)若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)解由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an【变式迁移1】 将本例条件“an2SnSn10(n2)，a1”改为“Sn(Snan)2an0(n2)，a12”，问题不变，试求解(1)证明当n2时，anSnSn1且Sn(Snan)2an0.SnSn(SnSn1)2(SnSn1)0，即SnSn12(SnSn1)0.即.又.故数列是以首项为，公差为的等差数列(2)解由(1)知，Sn，当n2时，anSnSn1当n1时，a12不适合上式，故an【变式迁移2】 已知数列an满足2an1anan11(n2)，a12，证明数列是等差数列，并求数列an的通项公式解当n2时，an2，1(常数)又1.数列是以首项为1，公差为1的等差数列1(n1)1n，an.规律方法等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成立(3)通项公式法：验证anpnq.(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断【训练2】 (2017江苏卷)对于给定的正整数k，若数列an满足：ankank1an1an1ank1ank2kan，对任意正整数n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”(1)证明：等差数列an是“P(3)数列”；(2)若数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：an是等差数列证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1，2，3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”(2)数列an既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以数列an是等差数列考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7 C9 D11(2)(2018浙江名校三联)已知等差数列an的前n项和为Sn，且，则()A. B.C. D.(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 014，6，则S2 017_解析(1)an为等差数列，a1a52a3，得3a33，所以a31，S55a35，故选A.(2)因为Sn为等差数列an的前n项和，所以S4，S8S4，S12S8，S16S12也成等差数列，而，所以S83S4，则(S8S4)S4S4，则得S1610S4，所以.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2 016d2 0142 0162，S2 01722 0174 034.答案(1)A(2)A(3)4 034规律方法等差数列的性质是解题的重要工具(1)在等差数列an中，数列 Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列(2)在等差数列an中，数列也成等差数列【训练3】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10(2)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_解析(1)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以Sn390，即n13.(2)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.答案(1)A(2)10考点四等差数列前n项和及其最值【例4】 (1)(一题多解)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5 B6 C7 D8(2)设数列an的通项公式为an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_解析(1)法一由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a85时，an0，|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.答案(1)C(2)130规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值【训练4】 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，a10且，则当Sn取最大值时，n的值为()A9 B10 C11 D12(2)(2018金丽衢十二校二联)已知公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若有确定正整数n0，对任意正整数m，Sn0Sn0m0恒成立，则下列说法错误的是()Aa1d0 B|Sn|有最小值Can0an010 Dan01an020解析(1)由，得S11S9，即a10a110，根据首项a10可推知这个数列递减，从而a100，a110，故n10时，Sn最大(2)由Sn0Sn0 m0，知数列an一定存在正项与负项，则要么a10，d0，要么a10，d0，即a1d0，所以A正确；由等差数列各项特征知，|Sn|一定能取得最小值，所以B正确；若数列an为1，2，5，8，当n2时，an0，取n01，对任意正整数m，Sn0Sn0m0均成立，但an0an010，所以C错误，故选C.答案(1)B(2)C基础巩固题组一、选择题1(一题多解)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的公差d等于()A1 B2 C3 D4解析法一由题意可得解得a15，d3.法二a1a72a48，a44，a4a2422d，d3.答案C2(2018嘉兴测试)设Sn为等差数列an的前n项和，若，则()A. B.C. D.解析设等差数列an的公差为d，则由题意得，解得a1d，则，故选A.答案A3已知等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，如果当nm时，Sn最小，那么m的值为()A10 B9 C5 D4解析设等差数列an的公差为d，则S1111a155d22，a4a13d12，解得a133，d7，由an7n400，dS40 Ba1d0，dS40，dS40 Da1d0解析a3，a4，a8成等比数列，(a13d)2(a12d)(a17d)，整理得a1d，a1dd20(d0)，又S44a1d，dS40，a8a90的最大n是_；数列(1n0，a8a90，而S168(a8a9)0的最大n为15.a80，a90，S8最大，且a8为an的最小正数项，a9，a10，均小于零，所以当9n15时，均小于零，当n8时，最大，即数列(1n15)的最大值是第8项答案15810(一题多解)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m_解析法一由已知得，amSmSm12，am1Sm1Sm3，因为数列an为等差数列，所以dam1am1，又因为Sm0，所以m(a12)0，因为m0，所以a12，又ama1(m1)d2，解得m5.法二因为Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，所以公差dam1am1，由Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5.法三因为数列an为等差数列，且前n项和为Sn，所以数列也为等差数列所以，即0，解得m5，经检验为原方程的解答案5三、解答题11(2017全国卷)已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解(1)设an公差为d，bn公比为q，由等差数列、等比数列的通项公式可得解得或(舍去)，故bn的通项公式为bn2n1.(2)由已知得解得或当q4，d1时，S36；当q5，d8时，S321.12已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由(1)证明由题设知，anan1Sn1，an1an2Sn11.两式相减得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)解由题设知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.由2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列能力提升题组13(2018杭州模拟)设an是等差数列，Sn为其前n项和若正整数i，j，k，l满足iljk(ijkl)，则()Aaialajak BaialajakCSiSlSjSk DSiSlSjSk解析不妨取i，j，k，l分别为1，2，3，4，则a1a4a2a32d20，a1a4a2a3，又S1S4S2S32(a1d)2d20，S1S4S2S3，即A正确答案A14(2016浙江卷)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()ASn是等差数列 BS是等差数列Cdn是等差数列 Dd是等差数列解析Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn1|长度一半，即Snhn|BnBn1|，由题目中条件可知|BnBn1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，An和两个垂足构成等腰梯形，则hnh1|A1An|tan (其中为两条线所成的锐角，为定值)，从而Sn(h1|A1An|tan )|BnBn1|，Sn1(h1|A1An1|)|BnBn1|，则Sn1Sn|AnAn1|BnBn1|tan ，都为定值，所以Sn1Sn为定值，故选A.答案A15(2018丽水测试)已知是等差数列，f(1)2，f(2)6，则f(n)_，数列an满足an1f(an)，a11，数列的前n项和为Sn，则S2 015_解析设公差为d，由题意得d321，2(n1)1f(n)n2n，an1f(an)aanan(1an)，SnSn1，S2 0151.答案n2n116在数列an中，a15，a22，记A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2(nN*)，若对于任意nN*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列|an|的前n项和解(1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列A(n)C(n)2B(n)，整理得an2an1a2a1253，数列an是首项为5，公差为3的等差数列，an53(n1)3n8.(2)|an|记数列|an|的前n项和为Sn.当n2时，Snn；当n3时，Sn7n14，综上，Sn17在公差不为0的等差数列an中，a3a1015，且a2，a5，a11成等比数列(1)求an的通项公式；(2)设bn，证明：bn1.(1)解设等差数列an的公差为d.由已知得注意到d0，解得a12，d1.所以ann1.(2)证明由(1)可知bn，bn1.因为bn1bn0，所以数列bn单调递增所以bnb1.又bn1，因此bn1.15