◇23讲 圆的有关概念及性质√

Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date23讲 圆的有关概念及性质23讲 圆的有关概念及性质第二十三讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义： 形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类3、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】考点一：垂径定理例1如图，AD为O的直径，作O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交O于B，C两点，2、连接AB，AC，ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交O于B，C两点2、连接AB，BC，CAABC即为所求的三角形对于甲、乙两人的作法，可判断（A）A甲、乙均正确B甲、乙均错误C甲正确、乙错误D甲错误，乙正确对应训练1如图，O是ABC的外接圆，B=60，OPAC于点P，OP=2，则O的半径为（）A4 B6 C8 D12考点二：圆周角定理例2如图，AB是O的直径，弦CDAB于点N，点M在O上，1=C（1）求证：CBMD；（2）若BC=4，sinM= ，求O的直径对应训练37如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB=30时，求证：BC=OD考点三：圆内接四边形的性质例3 如图，C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，BMO=120，则C的半径长为（）A6 B5 C3 D3 对应训练3、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若BAD=105，则DCE的大小是（）A115 Bl05 C100 D95【聚焦中考】1如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是（）ACM=DM B CACD=ADC DOM=MD2某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm3如图，在半径为5的O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 4如图，点A、B、C在O上，AOC=60，则ABC的度数是 【备考真题过关】一、选择题1如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的N与x轴交于E、F，则EF的长（）A等于4 B等于4 C等于6 D随P点位置的变化而变化2如图，在半径为5的O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）3如图，AB为O的直径，弦CDAB于E，已知CD=12，BE=2，则O的直径为（）A8B10C16D204如图，CD是O的直径，AB是弦（不是直径），ABCD于点E，则下列结论正确的是（）AAEBEB CD=AECDADECBE5已知：如图，OA，OB是O的两条半径，且OAOB，点C在O上，则ACB的度数为（）A45 B35 C25 D206如图，AB、CD是O的两条弦，连接AD、BC若BAD=60，则BCD的度数为（）A40 B50 C60 D707ABC为O的内接三角形，若AOC=160，则ABC的度数是（）A80 B160 C100 D80或1008如图，在ABC中，AB为O的直径，B=60，BOD=100，则C的度数为（）A50 B60 C70 D80二、填空题9如图，AB为O的直径，CD为O的一条弦，CDAB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则0的半径为 10如图，AB是O的弦，OCAB于C若AB=2，0C=1，则半径OB的长为 211如图，在O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为 2412已知：如图，在O中，C在圆周上，ACB=45，则AOB= 13如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，NMB的度数是 14如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边APQ，连接PB、BA若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 15如图，ABC内接于O，AB、CD为O直径，DEAB于点E，sinA=，则D的度数是 三、解答题16如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图已知图中ABCD为等腰梯形（ABDC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m设油罐横截面圆心为O，半径为5m，D=56，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积（参考数据：sin530.8，tan561.5，3，结果保留整数）17如图，O的半径为17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离18在O中，直径ABCD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD求D的度数19如图，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BAC=APC=60，（1）求证：ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD20如图ABC中，BC=3，以BC为直径的O交AC于点D，若D是AC中点，ABC=120（1）求ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离21如图，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD、DB（1）当ADC=18时，求DOB的度数；（2）若AC=2，求证：ACDOCB第二十三讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】三、 圆的定义及性质：3、 圆的定义： 形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类3、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】四、 垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】六、 圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 4、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】七、 圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】考点一：垂径定理例1如图，AD为O的直径，作O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD的中垂线，交O于B，C两点，2、连接AB，AC，ABC即为所求的三角形乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交O于B，C两点2、连接AB，BC，CAABC即为所求的三角形对于甲、乙两人的作法，可判断（A）A甲、乙均正确B甲、乙均错误C甲正确、乙错误D甲错误，乙正确对应训练1如图，O是ABC的外接圆，B=60，OPAC于点P，OP=2，则O的半径为（A）A4 B6 C8 D12考点二：圆周角定理例2如图，AB是O的直径，弦CDAB于点N，点M在O上，1=C（1）求证：CBMD；（2）若BC=4，sinM= ，求O的直径证明：C与M是所对的圆周角，C=M，又1=C，1=M，CBMD；（2）解：连接AC，AB为O的直径，ACB=90，又CDAB，= ，A=M，sinA=sinM，在RtACB中，sinA=，sinM=，BC=4，AB=6，即O的直径为6对应训练37如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分ABC；（2）当ODB=30时，求证：BC=OD证明：（1）ODAC OD为半径，CBD=ABD，BD平分ABC；（2）OB=OD，OBD=0DB=30，AOD=OBD+ODB=30+30=60，又ODAC于E，OEA=90，A=180-OEA-AOD=180-90-60=30，又AB为O的直径，ACB=90，在RtACB中，BC=AB，OD=AB，BC=OD考点三：圆内接四边形的性质例3 如图，C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，BMO=120，则C的半径长为（）A6 B5 C3 D3 解：四边形ABMO是圆内接四边形，BMO=120，BAO=60，AB是O的直径，AOB=90，ABO=90-BAO=90-60=30，点A的坐标为（0，3），OA=3，AB=2OA=6，C的半径长=3故选C对应训练3、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若BAD=105，则DCE的大小是（）A115 Bl05 C100 D95解：四边形ABCD是圆内接四边形，BAD+BCD=180，而BCD+DCE=180，DCE=BAD，而BAD=105，DCE=105故选B【聚焦中考】1如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，下列结论不成立的是（D）ACM=DM B CACD=ADC DOM=MD2某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 30 cm3如图，在半径为5的O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 4如图，点A、B、C在O上，AOC=60，则ABC的度数是 .150 【备考真题过关】一、选择题1如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的N与x轴交于E、F，则EF的长（C）A等于4 B等于4 C等于6 D随P点位置的变化而变化2如图，在半径为5的O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（C）3如图，AB为O的直径，弦CDAB于E，已知CD=12，BE=2，则O的直径为（D）A8B10C16D204如图，CD是O的直径，AB是弦（不是直径），ABCD于点E，则下列结论正确的是（D）AAEBEB CD=AECDADECBE5已知：如图，OA，OB是O的两条半径，且OAOB，点C在O上，则ACB的度数为（A）A45 B35 C25 D206如图，AB、CD是O的两条弦，连接AD、BC若BAD=60，则BCD的度数为（C）A40 B50 C60 D707ABC为O的内接三角形，若AOC=160，则ABC的度数是（D）A80 B160 C100 D80或1008（2012泸州）如图，在ABC中，AB为O的直径，B=60，BOD=100，则C的度数为（）A50 B60 C70 D80二、填空题9如图，AB为O的直径，CD为O的一条弦，CDAB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则0的半径为 5 510如图，AB是O的弦，OCAB于C若AB=2，0C=1，则半径OB的长为 2 211如图，在O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为 24 2412已知：如图，在O中，C在圆周上，ACB=45，则AOB= 90 13如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，NMB的度数是 30 14如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边APQ，连接PB、BA若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 0或 15如图，ABC内接于O，AB、CD为O直径，DEAB于点E，sinA=，则D的度数是 30 三、解答题16如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图已知图中ABCD为等腰梯形（ABDC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m设油罐横截面圆心为O，半径为5m，D=56，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积（参考数据：sin530.8，tan561.5，3，结果保留整数）解：如图，连接AO、BO过点A作AEDC于点E，过点O作ONDC于点N，ON交O于点M，交AB于点F则OFABOA=OB=5m，AB=8m，AF=BF=AB=4（m），AOB=2AOF，在RtAOF中，sinAOF=0.8=sin53，AOF=53，则AOB=106，OF=3（m），由题意得：MN=1m，FN=OM-OF+MN=3（m），四边形ABCD是等腰梯形，AEDC，FNAB，AE=FN=3m，DC=AB+2DE在RtADE中，tan56=，DE=2m，DC=12mS阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-SOAB）=（8+12）3-（52-83）=20（m2）答：U型槽的横截面积约为20m217如图，O的半径为17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC，ABCD，OFCD，AB=30cm，CD=16cm，AE=AB=30=15cm，CF=CD=16=8cm，在RtAOE中，OE=8cm，在RtOCF中，OF=15cm，EF=OF-OE=15-8=7cm答：AB和CD的距离为7cm18在O中，直径ABCD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD求D的度数解：方法一：连接BDABO是直径，BDAD又CFAD，BDCF，BDC=C又BDC=BOC，C=BOCABCD，C=30，ADC=60方法二：设D=x，CFAD，ABCD，A=A，AFOAED，D=AOF=x，ADC=2ADC=2x，x+2x=180，x=60，ADC=6019如图，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BAC=APC=60，（1）求证：ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD解：（1）在ABC中，BAC=APC=60，又APC=ABC，ABC=60，ACB=180-BAC-ABC=180-60-60=60，ABC是等边三角形；（2）ABC为等边三角形，O为其外接圆，O为ABC的外心，BO平分ABC，OBD=30，OD=8=420如图ABC中，BC=3，以BC为直径的O交AC于点D，若D是AC中点，ABC=120（1）求ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离解：（1）连接BD，以BC为直径的O交AC于点D，BDC=90，D是AC中点，BD是AC的垂直平分线，AB=BC，A=C，ABC=120，A=C=30，即ACB=30；（2）过点A作AEBC于点E，BC=3，ACB=30，BDC=90，cos30=，CD=，AD=CD，AC=3，在RtAEC中，ACE=30，AE=21如图，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交O于点D，连接AD、DB（1）当ADC=18时，求DOB的度数；（2）若AC=2，求证：ACDOCB1）解：连接OA，OA=OB=OD，OAB=OBC=30，OAD=ADC=18，DAB=DAO+BAO=48，由圆周角定理得：DOB=2DAB=96（2）证明：过O作OEAB于E，由垂径定理得：AE=BE，在RtOEB中，OB=4，OBC=30，OE=OB=2，由勾股定理得：BE=2=AE，即AB=2AE=4，AC=2， BC=2，即C、E两点重合，DCAB，DCA=OCB=90，DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2，=，ACDOCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）-