2022年人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-5 椭圆《教案》

2022年人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-5 椭圆教案【教学目标】1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2.了解椭圆的简单应用3.理解数形结合思想.【重点难点】 1.教学重点：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节二：考纲传真:1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2.了解椭圆的简单应用3.理解数形结合思想.真题再现;1.(xx全国，11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.解析设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.答案A2.(xx大纲全国，6)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，AF1B的周长|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，椭圆的方程为1，故选A.答案A3.(xx全国，10)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在椭圆上，得0，即，AB的中点为(1，1)，y1y22，x1x22，而kAB，.又a2b29，a218，b29.椭圆E的方程为1，故选D.答案D知识梳理：知识点1椭圆的定义1平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则M点的轨迹为椭圆；(2)若ac，则M点的轨迹为线段F1F2；(3)若ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2ca，b，c的关系a2b2c21必会结论;(1)点P(x0，y0)与椭圆1的关系点P(x0，y0)在椭圆内1.(2)若P为椭圆1上任一点，F为其一个焦点，O是椭圆的中心(坐标原点)，则有ac|PF|ac，b|PO|a.2必清误区;在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则有|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因考点分项突破考点一：椭圆的定义与标准方程1.(xx大纲全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1【解析】由e得.又AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a4，得a，代入得c1，b2a2c22，故C的方程为1.【答案】A2已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1，故选D.【答案】D3已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，a3，则b1.从而椭圆方程为y21，当椭圆的焦点在y轴上时，b3，则a9，从而椭圆方程为1.【答案】y21或1归纳；1求椭圆方程的方法(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式2焦点三角形中的常用结论椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等，常用到的结论有：(1)|PF1|PF2|2a；(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos ；(3)当P为短轴端点时，最大考点二: 椭圆的几何性质1.(xx江西高考)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_【解析】由题意，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.不妨设点B在第一象限，由ABx轴，B，A.由于ABy轴，|F1O|OF2|，点D为线段BF1的中点，则D，由于ADF1B，知0，则2c20，即2acb2，2ac(a2c2)，又e，且e(0,1)，e22e0，解得e(e舍去)【答案】跟踪训练：1设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1F230，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【解析】如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为PF1F2的中位线所以OMPF2，所以PF2F1MOF190.因为PF1F230，所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF2|，由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|a，2c|F1F2|PF2|c，则e.故选A.【答案】A2(xx福建高考)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B. C. D.【解析】根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，所以e.因为1b2，所以0e，故选A.【答案】A归纳：求椭圆离心率的方法1直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解2列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解考点三: 直线与圆锥曲线的位置关系(1). (xx安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.求椭圆E的离心率；如图851，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程(文)(2) (xx陕西高考)如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.求椭圆E的方程；经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.【解析】(1)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，则F1(c,0)，F2(c,0)AF2x轴，则A(c，b2)(其中c21b2,0bb0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.【解】(1)根据c及题设知M，由kMN，得，则2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4.于是b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1.将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.归纳：1解决直线与椭圆有关问题的求解策略解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|(k为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2.了解椭圆的简单应用3.理解数形结合思想.学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。