2022年高考数学二轮复习 专题能力训练26 解答题专项训练 立体几何 文

2022年高考数学二轮复习 专题能力训练26 解答题专项训练 立体几何 文1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:平面PQB平面PAD;(2)点M在线段上,PM=tPC,试确定实数t的值,使PA平面MQB.2.在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1ACC1平面ABC,ACBC,A1BC1C,AC=BC.(1)求证:A1AA1C;(2)若A1A=A1C=2,求三棱锥B1-A1BC的体积.3.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,SAAB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB平面SCD;(2)求证:SN平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD平面ABCD?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,O为AC与BD的交点,AB平面PAD,PAD是正三角形,DCAB,DA=DC=2AB.(1)若点E为棱PA上一点,且OE平面PBC,求的值;(2)求证:平面PBC平面PDC.5.(xx江苏高考,16)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA平面DEF;(2)平面BDE平面ABC.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABAC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.(1)求证:平面A1AC平面AA1B;(2)若点P为B1C1的中点,求三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA1B1B的体积之比.7.如图,已知在SCD中,SD=3,CD=,cosSDC=-,SA=2AD,ABSD交SC于点B,M为SB上一点,且SM=2MB.将SAB沿AB折起,使平面SAB平面ABCD.(1)求证:AM平面SCD;(2)求三棱锥S-CDM的体积.答案与解析专题能力训练26解答题专项训练(立体几何)1.证明:(1)连接BD,因为四边形ABCD为菱形,且BAD=60,所以ABD为正三角形,又Q为AD的中点,所以ADBQ.又因为PA=PD,所以ADPQ.又BQPQ=Q,所以AD平面PQB.又AD平面PAD,所以平面PQB平面PAD.(2)因为PA平面MQB,连接AC交BQ于点N,连接MN.由AQBC可得,ANQCNB,所以.因为PA平面MQB,PA平面PAC,平面PAC平面MQB=MN,所以PAMN.因此,即t的值为.2.解:(1)因为平面A1ACC1平面ABC,ACBC,所以BC平面A1ACC1,所以A1ABC.因为A1BC1C,A1AC1C,所以A1AA1B.又BCA1B=B,所以A1A平面A1BC.又A1C平面A1BC,所以A1AA1C.(2)由已知及(1),A1AC是等腰直角三角形,AA1=A1C=2,AC=2.因为平面A1ACC1平面ABC,所以RtA1AC斜边上的高等于斜三棱柱ABC-A1B1C1的高,且等于.在RtABC中,AC=BC=2,SABC=ACBC=4,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABC=4.又三棱锥A1-ABC与三棱锥C-A1B1C1的体积相等,都等于V,所以三棱锥B1-A1BC的体积V1=V-2V=.3.解:(1)因为底面ABCD是矩形,所以ABCD.又因为AB平面SCD,CD平面SCD,所以AB平面SCD.(2)因为ABSA,ABAD,SAAD=A,所以AB平面SAD,又因为SN平面SAD,所以ABSN.因为SA=SD,且N为AD的中点,所以SNAD.又因为ABAD=A,所以SN平面ABCD.(3)存在点P,使得平面PBD平面ABCD.理由如下:如图,连接BD交NC于点F,在平面SNC中过点F作FPSN交SC于点P,连接PD,PB.因为SN平面ABCD,所以FP平面ABCD.又因为FP平面PBD,所以平面PBD平面ABCD.在矩形ABCD中,因为NDBC,所以.在SNC中,因为FPSN,所以.则在棱SC上存在点P,使得平面PBD平面ABCD,此时.4.(1)解:因为OE平面PBC,OE平面PAC,平面PAC平面PBC=PC,所以OEPC,AOOC=AEEP.因为DCAB,DC=2AB,所以AOOC=ABDC=12.所以.(2)证明:(方法一)取PC的中点F,连接FB,FD.因为PAD是正三角形,DA=DC,所以DP=DC.因为F为PC的中点,所以DFPC.因为AB平面PAD,所以ABPA,ABAD,ABPD.因为DCAB,所以DCDP,DCDA.设AB=a,在等腰直角三角形PCD中,DF=PF=a.在RtPAB中,PB=a.在直角梯形ABCD中,BD=BC=a.因为BC=PB=a,点F为PC的中点,所以PCFB.在RtPFB中,FB=a.在FDB中,由DF=a,FB=a,BD=a,可知DF2+FB2=BD2,所以FBDF.由DFPC,DFFB,PCFB=F,PC,FB平面PBC,所以DF平面PBC.又DF平面PCD,所以平面PBC平面PDC.(方法二)取PD,PC的中点,分别为M,F,连接AM,FB,MF,则MFDC,MF=DC.因为DCAB,AB=DC,所以MFAB,MF=AB,即四边形ABFM为平行四边形,所以AMBF.在正三角形PAD中,M为PD的中点,所以AMPD.因为AB平面PAD,所以ABAM.又因为DCAB,所以DCAM.因为BFAM,所以BFPD,BFCD.又因为PDDC=D,PD,DC平面PCD,所以BF平面PCD.因为BF平面PBC,所以平面PBC平面PDC.5.证明:(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DEPA.又因为PA平面DEF,DE平面DEF,所以直线PA平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DEPA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以DEF=90,即DEEF.又PAAC,DEPA,所以DEAC.因为ACEF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.6.(1)证明:由题意得A1B平面ABC,故A1BAC.又ABAC,ABA1B=B,AC平面AA1B.AC平面A1AC,平面A1AC平面AA1B.(2)解:在三棱锥P-ABC中,因为ABAC,所以底面ABC是等腰直角三角形.又因为点P到底面的距离h=A1B=2,所以VP-ABC=SABCh=ACABh=.由(1)可知AC平面AA1B.因为点P在B1C1的中点,所以点P到平面AA1B1B距离h2等于点C1到平面AA1B1B的距离的一半,即h2=1.h2=ABA1Bh2=221=,所以三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA1B1B的体积之比为11.7.(1)证明:如图,过点C作COSD交SD的延长线于点O,在BC上取点N使BNNC=12,连接AN.图在SCD中,由CD=,cosSDC=-,得DO=1,CO=2,即SA=AO.由ABSD,得SB=BC.又BNNC=12,SNNC=21.又SA=2AD,ANCD.如图,连接MN,AN,由于SMMB=21MNSC.又ANCD,ANMN=N,SCDC=C,平面AMN平面SCD,AM平面SCD.图(2)解:由AM平面SCD,知点M到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离.平面SAB平面ABCD,SAAB,SA平面ABCD.所以VS-CDM=VM-SCD=VA-SCD=VS-ACD=122=.