2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性教学案 理 北师大版

第2讲导数的应用一、知识梳理1函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，则点a叫作函数yf(x)的极小值点，f(a)叫作函数yf(x)的极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0(f(x)0恒成立，所以f(x)是增函数2设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D.f(x)(x0)，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以x2为f(x)的极小值点3函数yx2cos x在区间上的最大值是_解析：因为y12sin x，所以当x时，y0；当x时，y0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)原函数与导函数的关系不清致误；(2)极值点存在的条件不清致误；(3)忽视函数的定义域1函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点解析：选C.导函数的图象与x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点2设aR，若函数yexax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是_解析：因为yexax，所以yexa.因为函数yexax有大于零的极值点，所以方程yexa0有大于零的解，因为当x0时，ex1，所以aex1.答案：(，1)3函数f(x)xln x的减区间为_解析：由f(x)11，即x0，所以函数f(x)的减区间为(0，1)答案：(0，1)第1课时导数与函数的单调性不含参数函数的单调性(自主练透)1函数y4x2的增区间为()A(0，)BC(，1) D解析：选B.由y4x2，得y8x，令y0，即8x0，解得x，所以函数y4x2的增区间为.故选B.2已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上是增加的 B在(0，)上是减少的C在上是增加的 D在上是减少的解析：选D.因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的增区间为；当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的增区间为和.答案：和求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)在定义域内解不等式f(x)0，得增区间(4)在定义域内解不等式f(x)0，得减区间提醒求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错 含参数函数的单调性(师生共研) 已知f(x)a(xln x)，a0.讨论f(x)的单调性【解】f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.(1)当0a1，当x(0，1)或x时，f(x)0，f(x)是增加的，当x时，f(x)2时，00，f(x)是增加的，当x时，f(x)0，f(x)是减少的综上所述，当0a2时，f(x)在内是增加的，在内是减少的，在(1，)内是增加的解决含参数函数的单调性问题应注意的2点(1)研究含参数函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点 已知函数f(x)ln(ex1)ax(a0)，讨论函数yf(x)的单调区间解：f(x)a1a.当a1时，f(x)0恒成立，所以当a1，)时，函数yf(x)在R上是减少的当0a0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln ，由f(x)0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln .所以当a(0，1)时，函数yf(x)在上是增加的，在上是减少的综上，当a1，)时，f(x)在R上是减少的；当a(0，1)时，f(x)在上是增加的，在上是减少的函数单调性的应用(多维探究)角度一比较大小或解不等式 (1)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1，1) B(1，)C(，1) D(，)(2)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f(x)，且对于任意的x，都有f(x)sin xf Bff(1)C.ff Dff【解析】(1)由f(x)2x4，得f(x)2x40，设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2，因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上是增加的，而F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，故选B.(2)令g(x)，则g(x)，由已知得g(x)g，即，所以ff.【答案】(1)B(2)A角度二已知函数的单调性求参数 已知函数f(x)ln xax22x(a0)(1)若函数f(x)存在减区间，求a的取值范围；(2)若函数f(x)在1，4上是减少的，求a的取值范围【解】(1)f(x)ln xax22x，x(0，)，所以f(x)ax2，由于f(x)在(0，)上存在减区间，所以当x(0，)时，ax20有解即a有解，设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1.(2)由f(x)在1，4上是减少的，当x1，4时，f(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)1，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是.【迁移探究1】(变问法)若函数f(x)在1，4上是增加的，求a的取值范围解：由f(x)在1，4上是增加的，当x1，4时，f(x)0恒成立，所以当x1，4时，a恒成立，又当x1，4时，1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1【迁移探究2】(变问法)若函数f(x)在1，4上存在减区间，求a的取值范围解：f(x)在1，4上存在减区间，则f(x)0在1，4上有解，所以当x1，4时，a有解，又当x1，4时，1，所以a1，即a的取值范围是(1，)【迁移探究3】(变条件)若函数f(x)在1，4上不单调，求a的取值范围解：因为f(x)在1，4上不单调，所以f(x)0在(1，4)上有解，即a有解，令m(x)，x(1，4)，则1m(x)，所以实数a的取值范围为. (1)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式(2)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路由函数在区间a，b上是增加(减少)的可知f(x)0(f(x)0)在区间a，b上恒成立列出不等式；利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f(x)0，则参数可取这个值提醒f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任意一个非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解 1设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f(x)，g(x)为其导函数，当x0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3，0)(3，)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，)D(，3)(0，3)解析：选D.令h(x)f(x)g(x)，当x0时，h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，则h(x)在(，0)上是增加的，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，)上是增加的又由g(3)0，可得h(3)h(3)0，所以x3或0x3时h(x)0，故选D.2已知函数f(x)2x2ln x在区间1，2上为单调函数，求a的取值范围解：f(x)4x，若函数f(x)在区间1，2上为单调函数，即f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1，2上恒成立，即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1，2上是增加的，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或01，则不等式f(x)x0的解集为_【解析】令g(x)f(x)x，所以g(x)f(x)1.由题意知g(x)0，所以g(x)为增函数因为g(2)f(2)20，所以g(x)0的解集为(2，)【答案】(2，)二、ex与f(x)的组合函数 已知f(x)(xR)有导函数，且对任意的xR，f(x)f(x)，nN，则有()Aenf(n)enf(0)Benf(n)f(0)，f(n)f(0)，f(n)enf(0)Denf(n)f(0)，f(n)0，g(x)为R上的增函数，故g(n)g(0)g(n)，即，即enf(n)enf(0)故选A.【答案】A 设a0，b0，e是自然对数的底数，则()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则a0，b0，所以ea2aeb3beb2bbeb2b.对于函数yex2x(x0)，因为yex20，所以yex2x在(0，)上是增加的，因而ab成立故选A.【答案】A 基础题组练1.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)解析：选C.由题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，故选C.2(2020江西红色七校第一次联考)若函数f(x)2x33mx26x在区间(1，)上为增函数，则实数m的取值范围是()A(，1B(，1)C(，2 D(，2)解析：选C.f(x)6x26mx6，由已知条件知x(1，)时，f(x)0恒成立设g(x)6x26mx6，则g(x)0在(1，)上恒成立当36(m24)0，即2m2时，满足g(x)0在(1，)上恒成立；当36(m24)0，即m2时，则需解得m2，所以mf(e)f(3) Bf(3)f(e)f(2)Cf(3)f(2)f(e) Df(e)f(3)f(2)解析：选D.f(x)的定义域是(0，)，f(x)，令f(x)0，得xe.所以当x(0，e)时，f(x)0，f(x)是增加的，当x(e，)时，f(x)f(3)f(2)，故选D.4设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上是减少的，则实数a的取值范围是()A(1，2 B(4，)C(，2) D(0，3解析：选A.因为f(x)x29ln x，所以f(x)x(x0)，由x0，得00且a13，解得10恒成立，且a0，则下列说法正确的是()Af(a)f(0)Ceaf(a)f(0)解析：选D.设g(x)exf(x)，则g(x)exf(x)f(x)0，所以g(x)为R上的增函数，因为a0，所以g(a)g(0)，即eaf(a)f(0)，故选D.6函数f(x)ln x的减区间是_解析：因为f(x)ln x，所以函数的定义域为(0，)，且f(x)，令f(x)0，解得0x5，所以函数f(x)的减区间为(0，5)答案：(0，5)7若函数f(x)ax33x2x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是_解析：由题意知f(x)3ax26x1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f(x)有两个不相等的零点，所以3ax26x10需满足a0，且3612a0，解得a3，所以实数a的取值范围是(3，0)(0，)答案：(3，0)(0，)8已知函数f(x)ln x2x，若f(x22)0，函数是增函数，所以由f(x22)f(3x)得x223x，所以1x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的增区间是(0，1)，减区间是(1，)10已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在(1，1)上为减函数，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)的减区间为(1，1)，求实数a的值；(4)若函数f(x)在区间(1，1)上不单调，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)在(，)上是增函数，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0(2)由题意知f(x)3x2a0在(1，1)上恒成立，所以a3x2在(1，1)上恒成立，因为当1x1时，3x20.令f(x)0，解得x.因为f(x)在区间(1，1)上不单调，所以f(x)0在(1，1)上有解，需01，得0a3，所以实数a的取值范围为(0，3)综合题组练1设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x)g(x)f(a)g(a)解析：选C.令F(x)，则F(x)0，所以F(x)在R上是减少的又ax.又f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)2(2020西安模拟)定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)f(x)x2，且x0时，f(x)x恒成立，则不等式f(x)f(1x)x的解集为()A. B.C. D(，0)解析：选A.令g(x)f(x)x2，则g(x)g(x)0g(x)为奇函数，又x0时，g(x)f(x)x0g(x)在(，0)上单调递减，则g(x)在(，)上是减少的，由f(x)f(1x)x知f(x)x2f(1x)(1x)2，即g(x)g(1x)，从而x1xx，所以所求不等式的解集为.故选A.3已知函数f(x)x24x3ln x在区间t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：由题意知f(x)x4，由f(x)0，得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t0，函数f(x)在(0，)上是增加的；当a0时，令g(x)ax2(2a2)xa，(2a2)24a24(2a1)当a时，0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的当a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的当a0，设x1，x2(x10，所以当x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，函数f(x)是增加的，当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)是减少的综上可得：当a0时，函数f(x)在(0，)上是增加的；当a时，函数f(x)在(0，)上是减少的；当a0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)；当a0时，f(x)为常函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，所以f(x)2ln x2x3，f(x).所以g(x)x3x22x，所以g(x)3x2(m4)x2.因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g(x)在区间(t，3)上有变号零点由于g(0)2，所以当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.所以m9.即实数m的取值范围是.19