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第二节基本不等式最新考纲1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号3利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)12(a，b同号)，当且仅当ab时取等号2ab2.3(a0，b0)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(2)若a0，则a3的最小值为2.()(3)函数f(x)sin x，x(0，)的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82Cxy281，当且仅当xy9时，等号成立故选C.2若x0，则x()A有最小值，且最小值为2B有最大值，且最大值为2C有最小值，且最小值为2D有最大值，且最大值为2D因为x0，x22，当且仅当x1时，等号成立，所以x2.3函数f(x)x(x2)的最小值为_4当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号4若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为(202x)(10x)m，则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.考点1利用基本不等式求最值配凑法求最值配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x(a0)，的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法. (1)(2019大连模拟)已知a，b是正数，且4a3b6，则a(a3b)的最大值是()ABC3D9(2)函数y(x1)的最小值为_(3)已知x，则y4x的最小值为_，此时x_.(1)C(2)22(3)7(1)a0，b0,4a3b6，a(a3b)3a(a3b)223，当且仅当3aa3b，即a1，b时，a(a3b)的最大值是3.(2)x1，x10，y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立(3)x，4x50.y4x4x55257.当且仅当4x5，即x时上式“”成立即x时，ymin7.母题探究把本例(3)中的条件“x”，改为“x”，则y4x的最大值为_，此时x_.31因为x0，则y4x525253.当且仅当54x，即x1时，等号成立故y4x的最大值为3.此时x1.(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a3b)2，当且仅当aa3b，且4a3b6，即a，b0时，a(a3b)的最大值为，从而错选B.(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2)常数代换法求最值常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(4)利用基本不等式求解最值已知a0，b0，ab1，则的最小值为_4因为ab1，所以(ab)222224.当且仅当ab时，等号成立母题探究1若本例条件不变，求的最小值解52549.当且仅当ab时，等号成立2若将本例条件改为a2b3，如何求解的最小值解因为a2b3，所以ab1.所以121.当且仅当ab时，等号成立常数代换法主要解决形如“已知xyt(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值教师备选例题设ab2，b0，则取最小值时，a的值为_2ab2，b0，21，当且仅当时等号成立又ab2，b0，当b2a，a2时，取得最小值(2019深圳福田区模拟)已知a1，b0，ab2，则的最小值为()A.B.C.32D.A已知a1，b0，ab2，可得(a1)b1，又a10，则(a1)b12.当且仅当，ab2时取等号则的最小值为.故选A.消元法求最值对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)(2019嘉兴模拟)已知a0，b0，且2abab1，则a2b的最小值为()A52B8C5D9Aa0，b0，且2abab1，a0，b2，a2b2b2(b2)55252.当且仅当2(b2)，即b2时取等号a2b的最小值为52.故选A.求解本题的关键是将等式“2abab1”变形为“a”，然后借助配凑法求最值(2019新余模拟)已知正实数a，b，c满足a22ab9b2c0，则当取得最大值时，的最大值为()A3BC1D0C由正实数a，b，c满足a22ab9b2c，得，当且仅当，即a3b时，取最大值.又因为a22ab9b2c0，所以此时c12b2，所以1，故最大值为1.利用两次基本不等式求最值当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性已知ab0，那么a2的最小值为_4由题意ab0，则ab0，所以b(ab)2，所以a2a224，当且仅当bab且a2，即a，b时取等号，所以a2的最小值为4.由于b(ab)为定值，故可求出b(ab)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值若a，bR，ab0，则的最小值为_4因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.考点2利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，所以当x65时，y取得最小值，最小值为6759.当x80,120时，函数y12单调递减，故当x120时，y取得最小值，最小值为1210.因为910，所以当x65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少(2)设总耗油量为l L，由题意可知ly，当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值，最小值为16.当x80,120时，ly2为减函数，所以当x120时，l取得最小值，最小值为10.因为1016，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解(2019上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？解(1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费由题意可得：A6 000，B120，C2 500，所以年存储成本费T(x)60x，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为T(300)6030068 000.(2)因为年存储成本费T(x)60x，x0，所以T(x)60x260 000，当且仅当60x，即x500时，取等号所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元考点3基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用的2类问题(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围(1)(2019台州模拟)若两个正实数x，y满足1，且存在这样的x，y使不等式xm23m有解，则实数m的取值范围是()A(1,4)B(4,1)C(，4)(1，)D(，3)(0，)(2)(2019衡阳一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号函数yx(xR)称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数，例如：2.13，3.13.已知函数f(x)，则函数yf(x)的值域是()A0,1B(0,1C(0,1)D1,0,1(3)(2019定远模拟)已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos Cccos B，则的最小值为()A.B.C.D.2(1)C(2)A(3)A(1)正实数x，y满足1，x2224，当且仅当且1，即x2，y8时取等号，存在x，y使不等式xm23m有解，4m23m，解得m1或m4，故选C.(2)f(x)，2x2，0f(x)1，则函数yf(x)的值域为0,1，故选A.(3)2bcos Cccos B，2sin Bcos Csin Ccos B，tan C2tan B又ABC，tan Atan(BC)tan(BC)，tan B.又在锐角ABC中，tan B0，tan B2，当且仅当tan B时取等号，min，故选A.条件不等式的最值问题，常通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解在转化过程中相应知识起到穿针连线的作用1.已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值为()A9B12C18D24B由，得m(a3b)6.又62612(当且仅当，即a3b时等号成立)，m12，m的最大值为12.2两圆x2y22mym210和x2y24nx4n290恰有一条公切线，若mR，nR，且mn0，则的最小值为()A1B2C3D4D由题意可知两圆内切，x2y22mym210化为x2(ym)21，x2y24nx4n290化为(x2n)2y29，故312，即4n2m24，(4n2m2)2224.3设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn(nN)，若a1d1，则的最小值是_ana1(n1)dn，Sn，当且仅当n4时取等号的最小值是.12
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