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第三节函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性1奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数；图像关于y轴对称的函数叫作偶函数2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称；(2)考察表达式f(x)是否与f(x)或f(x)相等若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数3函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期1函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性2周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)；(2)若f(xa)，则T2a(a0)；(3)f(xa)，则T2a(a0)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1下列函数中为偶函数的是()Ayx2sin xByx2cos xCy|ln x|Dy2xBA为奇函数，C，D为非奇非偶函数，B为偶函数，故选B.2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.2f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.1f f 4221.4设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集为_(2,0)(2,5由图像可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x2时，f(x)0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5考点1判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图像法：函数是奇(偶)函数函数图像关于原点(y轴)对称(1)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断下列函数的奇偶性：f(x)；f(x)；f(x)(1)C令F1(x)f(x)g(x)，则F1(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F1(x)，f(x)g(x)为奇函数，故A错误令F2(x)|f(x)|g(x)，则F2(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)F2(x)，F2(x)为偶函数，故B错误令F3(x)f(x)|g(x)|，则F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x)，F3(x)为奇函数，故C正确令F4(x)|f(x)g(x)|，则F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x)，F4(x)为偶函数，故D错误(2)解由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数判断函数的奇偶性，其中包括2个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立1.(2019福州模拟)下列函数为偶函数的是()AytanByx2e|x|Cyxcos xDyln|x|sin xB对于选项A，易知ytan为非奇非偶函数；对于选项B，设f(x)x2e|x|，则f(x)(x)2e|x|x2e|x|f(x)，所以yx2e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)xcos x，则f(x)xcos(x)xcos xf(x)，所以yxcos x为奇函数；对于选项D，设f(x)ln|x|sin x，则f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以yln|x|sin x为非奇非偶函数，故选B.2设函数f(x)，则下列结论错误的是()A|f(x)|是偶函数Bf(x)是奇函数Cf(x)|f(x)|是奇函数Df(|x|)f(x)是偶函数Df(x)，则f(x)f(x)f(x)是奇函数f(|x|)f(|x|)，f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数考点2函数奇偶性的应用利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图像：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图像(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值利用奇偶性求参数的值一题多解若函数f(x)x3为偶函数，则a的值为_法一：(定义法)因为函数f(x)x3为偶函数，所以f(x)f(x)，即(x)3x3，所以2a，所以2a1，解得a.法二：(特值法)因为函数f(x)x3为偶函数，所以f(1)f(1)，所以(1)313，解得a，经检验，当a时，函数f(x)为偶函数已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个：一是利用f(x)f(x)(奇函数)或f(x)f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函数一般利用f(0)0求解，偶函数一般利用f(1)f(1)求解用特殊值法求得参数后，一定要注意验证利用函数的奇偶性求值(1)设函数f(x)为偶函数，当x(0，)时，f(x)log2x，则f()()ABC2D2(2)已知函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A0B2C4D8(3)(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_.(1)B(2)C(3)3(1)因为f(x)为偶函数，所以f()f()，又当x0时，f(x)log2x，所以f()log2，即f().(2)f(x)2，设g(x)，因为g(x)定义域为R，关于原点对称，且g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)maxg(x)min0.因为Mf(x)max2g(x)max，mf(x)min2g(x)min，所以Mm2g(x)max2g(x)min4.(3)法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，x0时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3.法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(e)8，aln ln 83ln 2，a3.利用奇偶性将所求值转化为已知区间上的函数值求函数解析式函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2x，则函数f(x)的解析式为_f(x)当x0时，x0，x0时，f(x)2x，当x0时，f(x)2x.f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)2x.又yf(x)的定义域为R且为奇函数，f(0)0.函数f(x)的解析式为f(x)不要忽视x0时的解析式1.若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.1若函数f(x)在定义域上为奇函数，则f(x)f(x)，即，化简得(k21)(22x1)0，即k210，解得k1.2已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于_3f(1)g(1)2，即f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，即f(1)g(1)4，由得，2g(1)6，即g(1)3.3(2019湖南永州质检)已知函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)_.0设F(x)f(x)1x3sin x，显然F(x)为奇函数又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.考点3函数的周期性及其应用函数周期性的判定与应用判定判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期(1)(2019贵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x(0,2时，f(x)2xlog2x，则f(2 019)()A5BC2D2(2)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)则f(f(15)的值为_(1)D(2)(1)由f(x)f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 019)f(50443)f(3)f(12)f(1)(20)2.(2)由函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)f(1)，所以f(f(15)fcos .利用周期性将所求值转化到已知区间上的函数值设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)则f_.由题意可得f f f 422，f .8
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