2022年高三数学第一学期“零诊”试卷 文（含解析）

2022年高三数学第一学期“零诊”试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=2，1，0，1，2，3，M1，0，1，3，N2，0，2，3，则（UM）N为（） A 1，1 B 2 C 2，2 D 2，0，22复数的共轭复数为（） A B C D 3设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件4某地区高中分三类，A类学校共有学生xx人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（） A B C D 5已知向量=（3，1），=（1，2），=（2，1）若=x+y（x，yR），则x+y=（） A 2 B 1 C 0 D 6在ABC中，若=3，b2a2=ac，则cosB的值为（） A B C D 7函数f（x）=log2，等比数列an中，a2a5a8=8，f（a1）+f（a2）+f（a9）=（） A 9 B 8 C 7 D 108某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A B C D 9已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（） A （0，1） B （1，1） C （0，1） D （l，1）10对任意实数a，b定义运算“”：，设f（x）=（x21）（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（） A （2，1） B 0，1 C 2，0） D 2，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是12从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率是13执行如图所示的程序框图，输出b的结果是14已知定义在（0，+）上的函数f（x）=3x，若f（a+b）=9，则f（ab）的最大值为15已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0时，f（cos+msin）+f（2m2）0恒成立，则实数m的取值范围是三、解答题：本大题共六小题，共75分解答应写出说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=sin（2x）+cos（2x）+2cos2x1（）求函数f（x）的最小正周期；（）若，且f（）=，求cos217某中学高一年级举办了一次科普知识竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段预赛为笔试，决赛为面试，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为正数，满分100分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段） 频数（人数） 频率60，70） 9 x70，80） y 0.3880，90） 16 0.3290，100） z s合计 p 1（）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（）按规定，预赛成绩不低于90分的选手将参加决赛，若高一班有甲、乙两名同学取得决赛资格，现从中选出2人担任组长，求至少有一人来自高一班的概率18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，且Q为AD的中点PA=PD=AD=2（）求证：平面PQB平面PAD；（）点M在线段PC上，PM=PC，若平面PAD平面ABCD，求三棱锥MPQB的体积19设等差数列an的前n项和为Sn，且S3=2S2+4，a5=36（）求an，Sn；（）设bn=Sn1（nN*），Tn=+，求Tn20已知椭圆C1：+=1（ab0）和椭圆C2：=1，离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上（）求椭圆C1的方程；（）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点求证：无论点P怎样变化，AOC的面积为常数，并求出此常数21已知函数f（x）=ax2+xxlnx（aR）（）若a=0，讨论函数的单调性；（）若函数f（x）满足f（1）=2且在定义域内f（x）bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（）当xy1时，试比较与的大小xx学年四川省南充市高三（上）“零诊”数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=2，1，0，1，2，3，M1，0，1，3，N2，0，2，3，则（UM）N为（） A 1，1 B 2 C 2，2 D 2，0，2考点： 交、并、补集的混合运算专题： 计算题分析： 依题意，可求得UM=2，2，从而可求得（UM）N解答： 解：U=2，1，0，1，2，3，M1，0，1，3，UM=2，2，又N=2，0，2，3，（UM）N=2，2，故选C点评： 本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题2复数的共轭复数为（） A B C D 考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 计算题分析： 将复数的分母实数化，结合共轭复数的概念即可得到答案即可解答： 解：=，复数的共轭复数为i，故选B点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，分母实数化是关键，属于基础题3设a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论解答： 解：若ab，ab0，不等式a|a|b|b|等价为aabb，此时成立0ab，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立a0b，不等式a|a|b|b|等价为aabb，即a2b2，此时成立，即充分性成立若a|a|b|b|，当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab当a0，b0时，ab当a0，b0时，a|a|b|b|去掉绝对值得，（ab）（a+b）0，因为a+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，综上“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件，故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键4某地区高中分三类，A类学校共有学生xx人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（） A B C D 考点： 分层抽样方法专题： 计算题；概率与统计分析： 先计算抽样比f，再求出A类学校应该抽取多少人，由此能求出A类学校中的学生甲被抽到的概率解答： 解：抽样比f=A类学校应该抽取xx=200，A类学校中的学生甲被抽到的概率为P=故选：A点评： 本题考查分层抽样的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5已知向量=（3，1），=（1，2），=（2，1）若=x+y（x，yR），则x+y=（） A 2 B 1 C 0 D 考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 根据已知条件已经平面向量坐标的运算可得解方程组即可得到x，y的值，从而求出x+y=0解答： 解：=（3，1），=（1，2），=（2，1）且=x+y（x，yR），（3，1）=x（1，2）+y（2，1）解得x+y=0故选：C点评： 本题考查平面向量的坐标运算，解方程组等知识，属于基础题6在ABC中，若=3，b2a2=ac，则cosB的值为（） A B C D 考点： 余弦定理专题： 三角函数的求值分析： 已知第一个等式利用正弦定理化简，得到c=3a，代入第二个等式变形出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b与c代入即可求出值解答： 解：将=3利用正弦定理化简得：=3，即c=3a，把c=3a代入b2a2=ac，得：b2a2=ac=a2，即b2=a2，则cosB=故选：D点评： 此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键7函数f（x）=log2，等比数列an中，a2a5a8=8，f（a1）+f（a2）+f（a9）=（） A 9 B 8 C 7 D 10考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 根据等比数列的性质求出a5=2，然后根据对数的运算法则进行化简计算即可得到结论解答： 解：等比数列an中，a2a5a8=8，（a5）3=8，即a5=2，函数f（x）=log2=log2x2，f（a1）+f（a2）+f（a9）=（log2a1+log2a9）29=log2（a1a9）29=918=9，故选：A点评： 本题主要考查等比数列的性质以及对数的运算法则，要求熟练掌握相应的运算公式和性质8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A B C D 考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 由题意，几何体为共底面的两个圆锥，两个圆锥的底面半径为1，高为1，可得几何体的体积解答： 解：由题意，几何体为共底面的两个圆锥，两个圆锥的底面半径为1，高为1，故几何体的体积为2=，故选：D点评： 本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，圆锥的体积计算公式，空间想象能力，比较基础9已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率e的取值范围是（） A （0，1） B （1，1） C （0，1） D （l，1）考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由题设知F1（c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），由ABF2是锐角三角形，知tanAF2F11，所以，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围解答： 解：点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，F1（c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），ABF2是锐角三角形，AF2F145，tanAF2F11，整理，得b22ac，a2c22ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e10，解得e，或e，（舍），0e1，椭圆的离心率e的取值范围是（）故选B点评： 本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化10对任意实数a，b定义运算“”：，设f（x）=（x21）（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（） A （2，1） B 0，1 C 2，0） D 2，1）考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=k的图象有3个交点，结合图象求得结果解答： 解：当（x21）（x+4）1时，f（x）=x21，（2x3），当（x21）（x+4）1时，f（x）=x+4，（x3或x2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：2k1，函数y=f（x）与y=k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：D点评： 本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是0考点： 简单线性规划专题： 计算题分析： 由实数x，y满足，作出可行域，利用角点法能求出z=x=2y的最小值解答： 解：由实数x，y满足，作出可行域如图：z=x+2y，解方程组，得A（，），zA=+2=，B（0，1），zB=0+21=2；O（0，0），zO=0z=x=2y的最小值是0故答案为：0点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解12从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率是考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： 试验包含的所有事件是从4个人安排两人，共12种，其中事件“星期六安排一名男生、星期日安排一名女生”包含4种，再由概率公式得到结果解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，其中至少有1名女生的概率P=，故答案为：点评： 古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体13执行如图所示的程序框图，输出b的结果是22考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=5时不满足条件a4，退出循环，输出b的值为22解答： 解：模拟执行程序框图，可得a=2，b=4满足条件a4，b=8，a=3满足条件a4，b=14，a=4满足条件a4，b=22，a=5不满足条件a4，退出循环，输出b的值为22故答案为：22点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基础题14已知定义在（0，+）上的函数f（x）=3x，若f（a+b）=9，则f（ab）的最大值为3考点： 基本不等式在最值问题中的应用专题： 函数的性质及应用分析： 根据指数函数的图象和性质，得到a+b=2，然后根据基本不等式即可得到结论解答： 解：定义在（0，+）上的函数f（x）=3x，若f（a+b）=9，即3a+b=9，a+b=2，则由基本不等式可知2=a+b，即ab1，f（ab）=3ab3，即f（ab）的最大值为3故答案为：3点评： 本题主要考查函数最值的计算，利用指数函数的图象和性质，结合基本不等式的性质是解决本题的关键15已知定义在R上的单调递增奇函数f（x），若当0时，f（cos+msin）+f（2m2）0恒成立，则实数m的取值范围是（，+）考点： 奇偶性与单调性的综合专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数的单调性和奇偶性将不等式进行转化，分离参数，确定其范围，即可得到结论解答： 解：当0时，f（cos+msin）+f（2m2）0恒成立，函数是奇函数，当0时，f（cos+msin）f（2m+2）恒成立，函数是定义在R上的单调递增函数，cos+msin2m+2，当0时恒成立，m令t=，其几何意义是（sin，cos）（0）与（2，2）连线的斜率m故答案为：（，+）点评： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共六小题，共75分解答应写出说明，证明过程或演算步骤16已知函数f（x）=sin（2x）+cos（2x）+2cos2x1（）求函数f（x）的最小正周期；（）若，且f（）=，求cos2考点： 三角函数中的恒等变换应用专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： （）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=sin（x+）利用周期公式即可求得函数f（x）的最小正周期（）由f（）=，可得sin（2）=，由a，可得，可求cos（2），利用两角差的余弦函数公式即可求得cos2=cos（2）的值解答： 解：（）f（x）=sin2xcos2x+cos2x+=sin2x+cos2x=sin（x+）（4分）函数f（x）的最小正周期T=（6分）（）f（）=，sin（2）=，（7分），cos（2）=，（9分）cos2=cos（2）=cos（2）cos+sin（2）sin=（12分）点评： 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，两角差的余弦函数公式，周期公式，特殊角的三角函数值等知识的应用，属于基本知识的考查17某中学高一年级举办了一次科普知识竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段预赛为笔试，决赛为面试，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为正数，满分100分）进行统计，制成如下频率分布表分数（分数段） 频数（人数） 频率60，70） 9 x70，80） y 0.3880，90） 16 0.3290，100） z s合计 p 1（）求出上表中的x，y，z，s，p的值；（）按规定，预赛成绩不低于90分的选手将参加决赛，若高一班有甲、乙两名同学取得决赛资格，现从中选出2人担任组长，求至少有一人来自高一班的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表专题： 概率与统计分析： （）根据样本容量，频率和频数之间的关系得到要求的几个数据，注意80，90）小组数据得出样本容量，从而进一步得出表中的x，y，z，s，p的值（）参加决赛的选手有6人，记为甲、乙、A、B、C、D一一列举出所有的基本事件，再找到至少有一人来自高一班的基本事件，利用古典概型概率公式计算即可解答： 解：（）由=0.32得p=50，x=0.18，y=500.38=19，z=5091916=6，s=0.12，p=50故x=0.18，y=19，z=6，s=0.12，p=50，（）由题意知，参加决赛的选手有6人，记为甲、乙、A、B、C、D，从中选出2人担任组长的全部可能的结果有：（甲、乙），（甲、A），（甲、B），（甲、C），（甲、D），（乙、A），（乙、B），（乙、C），（乙、D），（A、B），（A、C），（A、D），（B、C），（B、D），（C、D），共15个，至少有一人来自高一班的有9种，所以，所求概率为=点评： 本小题考查频率、频数和样本容量之间的关系，考查古典概型以及概率计算公式，属于基础题18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，且Q为AD的中点PA=PD=AD=2（）求证：平面PQB平面PAD；（）点M在线段PC上，PM=PC，若平面PAD平面ABCD，求三棱锥MPQB的体积考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： （1）由PA=PD，得到PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60，得BQAD，利用线面垂直的判定定理得到AD平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB平面PAD；（2）由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQAD，得PQ平面ABCD，BC平面ABCD，得PQBC，得BC平面PQB，即得到高，利用锥体体积公式求出解答： （I）证明：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD，又底面ABCD为菱形，BAD=60，BQAD，又PQBQ=Q，AD平面PQB，又AD平面PAD，平面PQB平面PAD；（）解：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PQADPQ平面ABCD，BC平面ABCD，PQBC，又BCBQ，QBQP=Q，BC平面PQB，PM=PC，点M到平面PQB的距离d=，三棱锥MPQB的体积V=点评： 本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求锥体体积，着重考查了平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题19设等差数列an的前n项和为Sn，且S3=2S2+4，a5=36（）求an，Sn；（）设bn=Sn1（nN*），Tn=+，求Tn考点： 数列的求和；等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： （）依题意，布列首项a1与公差d的方程组，解之即可求得an，Sn；（）bn=4n21=（2n1）（2n+1）=（），于是可求得Tn=+解答： 解：（）因为S3=2S2+4，所以a1d=4，又因为a5=36，所以a1+4d=362分解得d=8，a1=4，3分所以an=4+8（n1）=8n44分Sn=4n26分（）bn=4n21=（2n1）（2n+1）7分=（）9分Tn=+=（1+）10分=（1）=12分点评： 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出列项法的考查，属于中档题20已知椭圆C1：+=1（ab0）和椭圆C2：=1，离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上（）求椭圆C1的方程；（）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点求证：无论点P怎样变化，AOC的面积为常数，并求出此常数考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）利用离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C1的方程；（）分类讨论，AC：yy0=k（xx0）与椭圆C1联立，再表示出AOC的面积，代入化简，即可得出结论解答： 解：（）由题知，且即a2=4，b2=2，椭圆C1的方程为；（4分）（）当直线AC的斜率不存在时，必有，此时|AC|=2，（5分）当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：yy0=k（xx0）与椭圆C1联立，得，设A（x1，y1），C（x2，y2），则，即x0=2ky0（8分）又，（9分）=综上，无论P怎样变化，AOC的面积为常数（12分）点评： 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定AOC的面积，正确代入计算是难点21已知函数f（x）=ax2+xxlnx（aR）（）若a=0，讨论函数的单调性；（）若函数f（x）满足f（1）=2且在定义域内f（x）bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（）当xy1时，试比较与的大小考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： （）将a=0代入，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（）问题转化为b1（x0）恒成立，设g（x）=1（x0），则bg（x）min，通过求导得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的最小值即可；（）根据函数g（x）的单调性，得到，从而得到答案解答： 解：（）a=0，f（x）=xxlnx（x0），f（x）=1（lnx+1）=lnx，当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+）；（）f（1）=2，a+1=2，a=1，f（x）=x2+xxlnx（x0），在定义域内f（x）bx2+2x恒成立，b1（x0）恒成立，设g（x）=1（x0），则bg（x）min，g（x）=，当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，g（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，g（x）min=g（1）=0，实数b的取值范围为：（，0；（）由（）知，g（x）=1=1在（，1）上为减函数，xy1，g（x）g（y），即11，又1+lnx0，y0，点评： 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，本题属于中档题