高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时分层作业五十八 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系 理

高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时分层作业五十八 8.9 直线与圆锥曲线的位置关系 理一、选择题(每小题5分,共25分)1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1),且与抛物线相切的直线(非直线x=0).2.(xx济南模拟)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.由题知,M在椭圆的短轴上.设椭圆C的左焦点为F1,连接AF1.因为|OA|=|OF2|,所以|OA|=|F1F2|,即AF1AF2,因为=,所以|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF1|+|AF2|=c,则椭圆C的离心率为e=.3.(xx开封模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1: 2x2-y2=1,过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为()A.B.C.D.【解析】选C.不妨设直线的斜率为,则直线方程为y=,另一条渐近线方程为y=-x,联立可得交点坐标为M,故三角形的面积为S=.【变式备选】已知抛物线y2=8x的准线与双曲线-=1(a0)相交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,ABF为直角三角形,则双曲线的离心率为()A.3B.+1C.2D.【解析】选A.由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=-2,代入双曲线方程可得y=,不妨设A,因为FAB 是直角三角形,所以可得=p=4a=, 因此双曲线的离心率e=3.4.已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若=0,则m=()A.B.C.D.0【解析】选B.不妨设A在B上方.由得A(2,2),B,又因为M(-1,m)且=0,所以2m2-2m+1=0,解得m=.【变式备选】已知双曲线-=1(b0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.B.4C.3D.5【解析】选A.由题易得抛物线的焦点为(3,0),所以双曲线的右焦点为(3,0),所以b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,即x-2y=0,所以所求距离为d=.5.直线3x+4y-7=0与椭圆+=1(ab0)相交于两点A,B ,线段AB的中点为M(1,1),则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,作差得+=0即+=0,两边同时除以(x1-x2)即得+=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,=,代入得+=0,所以=,e=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知抛物线C:y2=2x,过焦点F且斜率为1的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N两点,则SMFN=_.【解析】设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以SMFN=p|y1-y2|=1|y1-y2|=|y1-y2|,直线方程是y=x-,与抛物线方程联立整理得y2-2y-1=0, y1+y2=2,y1y2=-1,所以|y1-y2|=2.所以SMFN=|y1-y2|=.答案:7.(xx汾阳模拟)斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是_.【解析】由题意可知,双曲线的其中一条(k0)渐近线斜率大于,e=.答案:【变式备选】过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线有且只有_条.【解析】设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|= xA+xB+=xA+xB+1=32p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.答案:两8.已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为_.【解析】由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x-1).由方程组消去y,整理得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=0.则|AB|=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆E:+=1(ab0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程.(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解析】(1)由已知,得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.=(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外.【一题多解】本题(2)还可以采用以下方法:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+=0,所以cos0.又,不共线,所以AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.10.(xx承德模拟)如图,椭圆E:+=1(ab0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1.(1)求椭圆E的方程.(2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数,使得+为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).又点P的坐标为(0,1),且=-1,于是解得a=2,b=.所以椭圆E的方程为+=1.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).联立得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判别式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以x1+x2=-,x1x2=-.从而,+=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=-2.所以,当=1时,-2=-3.此时,+=-3为定值.当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.当=1时,+=+=-2-1=-3.故存在常数=1,使得+为定值-3.1.(5分)已知椭圆C的方程为+=1(m0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则m的值为()A.2B.2C.8D.2【解析】选B.根据已知条件得c=,则点在椭圆+=1(m0)上,所以+=1,可得m=2(m=-2舍去).【变式备选】已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),|=1,且=0则|的最小值是()A.B.C.2D.3【解析】选B.由|=1可知点M的轨迹为以点A为圆心,1为半径的圆,过点P作该圆的切线PM,则|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1,所以要使得|的值最小,则要的值最小,而的最小值为a-c=2, 此时|的值最小为.2.(5分)(xx武汉模拟)已知椭圆+=1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是()A.B.C.D.【解析】选C.设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程得由点差法及x1+x2=-8,y1+y2=2可得yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,所以e=.3.(5分)(xx 衡水模拟)已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,在抛物线AOB这段曲线上有一点P,则APB的面积的最大值为_.【解析】由弦长公式知|AB|=3,只需点P到直线AB距离最大就可保证APB的面积最大.设与l平行的直线y=2x+b与抛物线相切,解得b=.所以d=,所以(SAPB)max =3=.答案:4.(12分)(xx贵阳模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(ab0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|=4.(1)求椭圆的方程.(2)若|AB|+|CD|=,求直线AB的方程.【解析】(1)由题意知e=,2a=4.又a2=b2+c2,解得a=2,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB|+|CD|=7,不满足条件.当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线CD的方程为y=-(x-1).将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=.同理,|CD|=.所以|AB|+|CD|=+=,解得k=1,所以直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.5.(13分)已知曲线C的方程为+=4,经过点(-1,0)作斜率为k的直线l,l与曲线C交于A,B两点,l与直线x=-4交于点D,O是坐标原点.(1)若+=2,求k的值.(2)是否存在实数k,使AOB为锐角三角形?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由+=4得+=42.所以曲线C是以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点,4为长轴长的椭圆.所以曲线C的方程为+=1,即3x2+4y2=12.因为直线l经过点(-1,0),斜率为k,所以直线l的方程为y=k(x+1).因为直线l与直线x=-4交于点D,所以D(-4,-3k).设A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k).由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=.由+=2得2x2-x1=-4.由2x2-x1=-4和x1+x2=,得x1=,x2=-.因为x1x2=,所以=,化简得4k4-k2-5=0,解得k2=或k2=-10(舍去).解得k=.(2)由(1)知,A(x1,kx1+k),B(x2,kx2+k),x1+x2=,x1x2=.因为=(x1,kx1+k),=(x2,kx2+k),=x1x2+(kx1+k)(kx2+k)=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=.所以不存在实数k,使AOB为锐角三角形.