2022年高中数学 初高中衔接教程 第四讲 三角形的“五心”练习 新人教版

2022年高中数学 初高中衔接教程 第四讲 三角形的“五心”练习 新人教版一、知识归纳1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部。2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。二、例题解析例1：在锐角ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为。AFBDCEH例2：如图，锐角ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是DEF的；A、垂心B、重心C、内心D、外心例3：如图，D是ABC的边BC上任一点，点E、ABCEGFMDNF分别是ABD和ACD的重心连结EF交AD于G点，则DG：GA；例4：设ABC的重心为G，GA，则；例5：若H为ABC的重心，AHBC，则BAC的度数是；A、45B、30C、30或150D、45或135AEBCDOG例6：已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB10，AC9，DE12，求平行四边形ABCD的面积。三、课堂练习1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为；2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径；3、在ABC中，A是钝角，O是垂心，AOBC，则cos（OBC+OCB）= ; 4、设G为ABC的重心，且AG6，BG8，CG10，则ABC的面积为；5、若，那么以、为三边的ABC的内切圆，外接圆的半径之和为；A、B、C、D、6、ABC的重心为G，M在ABC的平面内，求证：第四讲三角形的“五心”例题解析答案例1：解：答案依次为：1：1：1；例2：解：内心例3：解： 例4：解：例5：解：D例6：分析：设AC交DE于G，可推出G为ABD的重心，EGA90，故可求出及SABCD。解：设AC、BD交于G，连BD交AC于O（如图）由ABCD知BODO，OAOC而BEAE故G为ABD的重心有，而EA5，故,EGA90，6SABCD272课堂练习答案：1、6.5，2、23、4、725、A6、略