九年级数学下册 第二章 二次函数试题 （新版）北师大版

九年级数学下册 第二章 二次函数试题 （新版）北师大版1.二次函数y=ax2+bx+c的配方步骤(1)提:提取二次项系数,把二次项系数化为1.(2)配:把括号内配成完全平方公式.(3)化:把函数关系式化成顶点式.【例】配方:y=4x2-8x.【标准解答】y=4x2-8x =4(x2-2x)=4(x2-2x+1-1)=4(x-1)2-4.1.二次函数y=-x2+2x+4的最大值为()A.3B.4C.5D.62.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,则y=.3.二次函数y=x2+2x的顶点坐标为,对称轴是直线.2.确定二次函数解析式的方法(1)一般式:若已知条件是图象上的三点,则用y=ax2+bx+c,将已知三个点的坐标代入,求出a,b,c的值.【例1】已知二次函数的图象经过(0,1),(2,1)和(3,4),求该二次函数的解析式.【标准解答】设函数解析式为y=ax2+bx+c,则解得y=x2-2x+1.(2)顶点式:若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函数为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数.【例2】根据函数图象写出二次函数的解析式.【标准解答】由图象知抛物线对称轴x=-1,顶点坐标为(-1,2),过原点(0,0),点(-2,0).设解析式为y=a(x+1)2+2,过原点(0,0),a+2=0,a=-2.故解析式为y=-2(x+1)2+2,即y=-2x2-4x.(3)交点式:若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1,0),(x2,0),设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2),将第三点(m,n)的坐标(其中m,n为已知数)或其他已知条件代入,求出待定系数a.【例3】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图,那么函数解析式为()A.y=-x2+2x+3B.y=x2-2x-3C.y=-x2-2x+3D.y=-x2-2x-3【标准解答】选A.运用二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2),则y=a(x+1)(x-3),把(0,3)代入,则a=-1,整理,得y=-x2+2x+3.(4)根据平移确定解析式:先把抛物线化成顶点式y=a(x-h)2+k,然后根据h值左加右减,k值上加下减来进行.【例4】抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是()A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【标准解答】选B.y=(x+2)2-3的顶点为(-2,-3),抛物线y=x2的顶点为(0,0),所以平移的过程是先向左平移2个单位,再向下平移3个单位.1.将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为()A.y=-2(x+1)2B.y=-2(x+1)2+2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2+12.将抛物线y=x2的图象向上平移1个单位,则平移后的抛物线的解析式为.3.设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的函数解析式为.4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度t/-4-2014植物高度增长量l/mm4149494625经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为.3.二次函数y=ax2+bx+c中的系数值对抛物线的影响二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的符号有密切联系,它们的关系如下:(1)二次项系数a决定抛物线的开口方向、函数最值情况.a0开口向上,函数有最小值;a0交点在y轴正半轴上; c=0抛物线过原点; c0对称轴在y轴的左侧; b=0对称轴是y轴; ab0抛物线与x轴有两个交点; b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点; b2-4ac0;(2)c1;(3)2a-b0;(4)a+b+c0.你认为其中错误的有()A.2个B.3个C.4个D.1个【标准解答】选D.图象与x轴有两个交点,得(1)正确;图象与y轴交点在点(0,1)下方得c-1并考虑a0,去分母得-b-2a,2a-b0,所以(3)正确;a+b+c是x=1时的函数值,从图象上看,横坐标为1时图象上的点在x轴下方,故a+b+c0,所以(4)正确.综上只有一条信息错误.1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列叙述正确的是()A.abc0B.-3a+c0, a+b+c0, 当-2x0时,y0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在x轴上)b2-4ac=0抛物线与x轴相切;没有交点b2-4ac0抛物线与x轴相离.【例】已知抛物线y=-x2+mx-m+2.(1)若抛物线与x轴的两个交点A,B分别在原点的两侧,并且AB=,试求m的值.(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M,N,并且MNC的面积等于27,试求m的值.【标准解答】(1)设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x2-mx+m-2=0的两根.x1+x2=m,x1x2=m-20即m2;又AB=x1-x2=,m2-4m+3=0.解得:m=1或m=3(舍去),m的值为1.(2)设M(a,b),则N(-a,-b).M,N是抛物线上的两点,+得:-2a2-2m+4=0.a2=-m+2.当m2时,才存在满足条件中的两点M,N.a=.这时M,N到y轴的距离均为,又点C坐标为(0,2-m),而SMNC=27,2(2-m)=27.解得m=-7.1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论:二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;4a+2b+c-.5.二次函数解决实际问题时的方法思考问题的基本思路是:(1)理解问题.(2)分析问题中的变量和常量.(3)用函数表达式表示出它们之间的关系.(4)利用二次函数的有关性质进行求解.(5)检验结果的合理性,对问题加以拓展等.【例】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时,月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元.设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量.(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围).(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?(4)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.【标准解答】(1)45+7.5=60(吨).(2)y=(x-100),化简得:y=-x2+315x-24000.(3)y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075.利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.(4)小静说的不对.理由:当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额W=x=-(x-160)2+19200来说,当x为160元时,月销售额W最大.当x为210元时,月销售额W不是最大.小静说的不对.1.某广告公司要为客户设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告牌的设计费为每平方米1000元.请你设计一个广告牌边长的方案,使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多,设计费最多为多少元?2.九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如表:售价(元/件)100110120130月销量(件)200180160140已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:销售该运动服每件的利润是元;月销量是件.(直接写出结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?6.抛物线上是否存在点的探究方法(1)虚拟检验法:欲探究抛物线是否存在满足条件A,B的点,先虚拟出符合条件A的点,然后再检验点是否满足条件B.满足即存在,反之不存在.(2)分类探究法:欲探究抛物线上符合某条件的P点是否存在,可借助图形特殊点位置进行分类讨论.(3)求解探索法:欲探索抛物线上满足条件A,B的点P是否存在,根据条件A,B列出关于P点坐标的方程(组),有解则存在,反之则不存在.【例】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象过点M(-2,),顶点坐标为N,且与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式.(2)点P为抛物线对称轴上的动点,当PBC为等腰三角形时,求点P的坐标.(3)在直线AC上是否存在一点Q,使QBM的周长最小?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.【标准解答】(1)由抛物线顶点坐标为N,可设其解析式为y=a(x+1)2+,将M(-2,)代入,得=a(-2+1)2+,解得a=-,故所求抛物线的解析式为y=-x2-x+.(2)y=-x2-x+,x=0时,y=,C(0,).y=0时,-x2-x+=0,解得x=1或x=-3,A(1,0),B(-3,0),BC=2.设P(-1,m),显然PBPC,所以当CP=CB时,有CP=2,解得m=;当BP=BC时,有BP=2,解得m=2.综上,当PBC为等腰三角形时,点P的坐标为(-1,+),(-1,-),(-1,2),(-1,-2).(3)由(2)知BC=2,AC=2,AB=4,所以BC2+AC2=AB2,即BCAC.连接BC并延长至B,使BC=BC,连接BM,交直线AC于点Q,B,B关于直线AC对称,QB=QB,QB+QM=QB+QM=MB,又BM=2,所以此时QBM的周长最小.由B(-3,0),C(0,),易得B(3,2).设直线MB的解析式为y=kx+n,将M(-2,),B(3,2)代入,得解得即直线MB的解析式为y=x+.同理可求得直线AC的解析式为y=-x+.由解得即Q,所以在直线AC上存在一点Q,使QBM的周长最小.1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a0)相交于A和B(4,m),点P是线段AB上异于A,B的动点,过点P作PCx轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.(3)求PAC为直角三角形时点P的坐标.2.如图1,关于x的二次函数y=-x2+bx+c经过点A(-3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,E在x轴上.(1)求抛物线的解析式.(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等,若存在求出点P,若不存在,请说明理由.(3)如图2,DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2SFBC=3SEBC,若存在,求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.跟踪训练答案解析1.二次函数y=ax2+bx+c的配方步骤【跟踪训练】1.【解析】选C.y=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,所以当x=1时,取得最大值5.2.【解析】y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1.答案:(x-2)2+13.【解析】y=x2+2x=(x+1)2-1,二次函数y=x2+2x的顶点坐标是:(-1,-1),对称轴是直线x=-1.答案:(-1,-1)x=-12.确定二次函数解析式的方法【跟踪训练】1.【解析】选C.因为此抛物线的顶点为(0,1),向右平移1个单位,再向上平移1个单位长度后的顶点为(1,2),所以所得抛物线为y=-2(x-1)2+2.2.【解析】因为抛物线y=x2的图象向上平移1个单位,根据图象移动与关系式的变化规律可得y=x2+1.答案:y=x2+13.【解析】点C在直线x=2上,且到抛物线的对称轴的距离等于1,抛物线的对称轴为直线x=1或x=3,当对称轴为直线x=1时,设抛物线解析式为y=a(x-1)2+k,则解得所以,y=(x-1)2+=x2-x+2,当对称轴为直线x=3时,设抛物线解析式为y=a(x-3)2+k,则解得所以,y=-(x-3)2+=-x2+x+2,综上所述,抛物线的函数解析式为y=x2-x+2或y=-x2+x+2.答案:y=x2-x+2或y=-x2+x+24.【解析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,把(0,49),(1,46),(4,25)代入函数解析式可得解得函数的解析式为y=-x2-2x+49.此函数的解析式的顶点横坐标-1即为最适合的温度.答案:-13.二次函数y=ax2+bx+c中的系数值对抛物线的影响【跟踪训练】1.【解析】选B.A.由开口向下,可得a0;又由抛物线与y轴交于负半轴,可得c0,故得abc0,故本选项错误;B.根据图知对称轴为直线x=2,即-=2,得b=-4a,再根据图象知当x=1时,y=a+b+c=a-4a+c=-3a+c0,故本选项错误;D.y=ax2+bx+c=a+,-=2,原式=a(x-2)2+,向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+,故本选项错误.2.【解析】选D.抛物线的开口向上,a0,对称轴在y轴的左侧,b0ab0,故正确;观察图象知,当x=1时y=a+b+c0,正确;抛物线的对称轴为x=-1,与x轴交于(0,0),另一个交点为(-2,0),当-2x0时,y0,故正确.4.抛物线与x轴的交点【跟踪训练】1.【解析】选C.抛物线的顶点坐标为(-1,4),二次三项式ax2+bx+c的最大值为4,正确;x=2时,y0,4a+2b+c0,n0,mn,将这两个点的坐标代入函数表达式得-得:n2-m2+7(m-n)=0,(n-m)(m+n-7)=0,故可得:m+n=7,故可得n=7-m,代入方程得:-m2+7m+(c-7)=0.因为存在这样的点,所以上述方程有解,所以判别式b2-4ac0,即72-4(-1)(c-7)0,故c-.而当c=-时,m=,此时n=,故c-.5.二次函数解决实际问题时的方法【跟踪训练】1.【解析】设矩形一边长为xm,面积为Sm2,则另一边长为m,则其面积S=x=x(6-x)=-x2+6x,02x12,0x6,S=-x2+6x=-(x-3)2+9,a=-10,当n=时,线段PC最大且为.(3)PAC为直角三角形,(i)若点P为直角顶点,则APC=90,由题意易知,PCy轴,APC=45,因此这种情形不存在;(ii)若点A为直角顶点,则PAC=90,如图1,过点A作ANx轴于点N,则ON=,AN=,过点A作AM直线AB,交x轴于点M,则由题意易知,AMN为等腰直角三角形,MN=AN=,OM=ON+MN=+=3,M(3,0),设直线AM的解析式为:y=kx+b,则:解得直线AM的解析式为:y=-x+3,又抛物线的解析式为:y=2x2-8x+6,联立式,解得:x=3或x=(与点A重合,舍去),C(3,0),即点C,M重合.当x=3时,y=x+2=5.P1(3,5).()若点C为直角顶点,则ACP=90.y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,抛物线的对称轴为直线x=2,如图2,作点A关于对称轴x=2的对称点C,则点C在抛物线上,且C.当x=时,y=x+2=,P2.点P1(3,5),P2均在线段AB上,综上所述,PAC为直角三角形时,点P的坐标为(3,5)或.2.【解析】(1)将A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c得:解得:y=-x2-2x+3.(2)存在.当点P在DAB的角平分线上时,作PMAD,设P(-1,y0),则PM=PDsinADE=(4-y0),PE=y0,PM=PE,(4-y0)=y0,解得:y0=-1,当点P在DAB的外角平分线上时,作PNAD,设P(-1,y0),则PN=PDsinADE=(4-y0),PE=-y0,PN=PE,(4-y0)=-y0,解得:y0=-1,点P的坐标为P1(-1,-1),P2(-1,-1).(3)SEBC=3又2SBCF=3SEBC,SBCF=,过F作FQx轴交BC的延长线于Q,则SFBC=SFBQ-SFCQ=FQOB=BC的解析式为:y=-3x+3,设F(x0,-2x0+3)则Q(x0,-3x0+3)-3x0+3+2x0-3=9,-x0-9=0,x0=,点F的坐标为.