2022年高考数学二轮复习 专题能力训练24 解答题专项训练 三角函数与解三角形 文

2022年高考数学二轮复习 专题能力训练24 解答题专项训练 三角函数与解三角形 文1.已知函数f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若0,00),若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于.(1)求的取值范围;(2)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,a=,SABC=.当取最大值时,f(A)=1,求b,c的值.4.已知函数f(x)=4cosxsin+1(0)的最小正周期是.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)求f(x)在上的最大值和最小值.5.已知向量a=,b=(2cosx,0)(0),函数f(x)=ab的图象与直线y=-2+的相邻两个交点之间的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在0,b(b0)上至少含有10个零点,求b的最小值.6.已知m=(2cos x+2sin x,1),n=(cos x,-y),满足mn=0.(1)将y表示为x的函数f(x),并求f(x)的最小正周期;(2)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C对应的边长,f(x)(xR)的最大值是f,且a=2,求b+c的取值范围.7.如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在三边AB,BC和CA上,且D为AB的中点,EDF=90,BDE=(090).(1)当tanDEF=时,求的大小;(2)求DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.8.某港湾的平面示意图如图所示,O,A,B分别是海岸线l1,l2上的三个集镇,A位于O的正南方向6km处,B位于O的北偏东60方向10km处.(1)求集镇A,B间的距离;(2)随着经济的发展,为缓解集镇O的交通压力,拟在海岸线l1,l2上分别修建码头M,N,开辟水上航线.勘测时发现:以O为圆心,3km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行.请确定码头M,N的位置,使得M,N之间的直线航线最短.答案与解析专题能力训练24解答题专项训练(三角函数与解三角形)1.解:(1)f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x)=cos2x-sin2x=cos2x,函数f(x)的最小正周期为T=.(2)由(1)得f(x)=cos2x.f,f,cos=,cos=.0,0,sin=,sin=.sin(-)=sincos-cossin=.2.(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)解:由题设有b2=ac,c=2a,b=a.由余弦定理得cos B=.3.解:(1)f(x)=mn=cos2x+sin2x=2sin.f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于,.0.(2)当=时,f(x)=2sin,f(A)=2sin=1.sin.0A,A+,A=.由SABC=bcsin A=,得bc=2.又a2=b2+c2-2bccos A,b2+c2+bc=7.由,得b=1,c=2;或b=2,c=1.4.解:(1)f(x)=4cosxsin+1=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=2sin,最小正周期是=,所以=1,从而f(x)=2sin.令-+2k2x-+2k(kZ),解得-+kx+k(kZ).所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ).(2)当x时,2x-,f(x)=2sin,所以f(x)在上的最大值和最小值分别为2,.5.解:(1)由已知得,f(x)=ab=4sincosx=4cosx=2cos2x-2sinxcosx=(1+cos2x)-sin2x=2cos,由题意,得T=,所以=,则=1,故f(x)=2cos,令2k-2x+2k,解得k-xk-,故单调递增区间为(kZ).(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到y=2cos2x+的图象,所以g(x)=2cos2x+.令g(x)=0,得x=k+或x=k+(kZ).所以在每个周期上恰好有两个零点.若y=g(x)在0,b上至少有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可,即b的最小值为4+.6.解:(1)由mn=0,得2cos2x+2sin xcos x-y=0,即y=2cos2x+2sin xcos x=cos2x+sin2x+1=2sin+1,f(x)=2sin+1,其最小正周期为.(2)由题意得f=3,A+=2k+(kZ).0A,A=.由正弦定理得b=sin B,c=sin C,b+c=sin B+sin C=sin B+sin=4sin,B,sin,b+c(2,4,b+c的取值范围为(2,4.7.解:(1)在BDE中,由正弦定理得DE=,在ADF中,由正弦定理得DF=.由tanDEF=,得,整理得tan=,所以=60.(2)S=DEDF=.当=45时,S取最小值.8.解:(1)在ABO中,OA=6,OB=10,AOB=120,根据余弦定理得,AB2=OA2+OB2-2OAOBcos120=62+102-2610=196,所以AB=14.故A,B两集镇间的距离为14km.(2)依题意得,直线MN必与圆O相切.如图,设切点为C,连接OC,则OCMN.设OM=x,ON=y,MN=c,在OMN中,由MNOC=OMONsin120,得3c=xysin120,即xy=2c.由余弦定理得,c2=x2+y2-2xycos120=x2+y2+xy3xy,所以c26c,解得c6,当且仅当x=y=6时,c取得最小值6.所以码头M,N与集镇O的距离均为6km时,M,N之间的直线航线最短,最短距离为6km.