中考数学模拟试题汇编 相似与位似（含解析）

中考数学模拟试题汇编 相似与位似（含解析）一、单选题 1、下列各组线段长度成比例的是（） A、1cm、2cm、3cm、4cmB、1cm、3cm、4.5cm、6.5cmC、1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmD、1cm、2cm、2cm、4cm2、如图，点C是线段AB的黄金分割点（ACBC），下列结论错误的是（ ）A、B、BC2=ABBCC、D、0.6183、设（2yz）：（z+2x）：y=1：5：2，则（3yz）：（2zx）：（x+3y）=（） A、1：5：7B、3：5：7C、3：5：8D、2：5：84、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的， 那么点B的坐标是（ ）A、（2，3）B、（2，3）C、（3，2）或（2，3）D、（2，3）或（2，3）5、已知k=， 且+n2+9=6n，则关于自变量x的一次函数y=kx+m+n的图象一定经过第（）象限 A、一、二B、二、三C、三、四D、一、四6、在ABC中，AB=AC=1，BC=x，A=36.则的值为（） A、B、C、1D、7、线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则AC与AB的关系是（ ） A、AC=ABB、AC=ABC、AC=ABD、AC=AB8、如图，已知在ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DEBC ， EFAB ， 且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）.A、5：8B、3：8C、3：5D、2：59、在ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的DEF最长的一边是36，则DEF最短的一边是（） A、72B、18C、12D、2010、如图，在55的正方形方格中，ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与ABC相似的DEF ， 使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则DEF的最大面积是（）.A、5B、10C、D、11、 如图，ABC内接于O，AB是O的直径，B=30，CE平分ACB交O于E，交AB于点D，连接AE，则SADE：SCDB的值等于（）A、1： B、1： C、1：2D、2：312、 如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AEAC若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（） A、qr，QE=RCB、qr，QERCC、q=r，QE=RCD、q=r，QERC二、填空题 13、已知ABCDEF，A=D，C=F且AB：DE=1：2，则EF：BC=_ 14、ABC中，A=90，AB=AC ， BC=63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第_张15、 如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2 ），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为_16、 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA则以下结论中正确的有_（写出所有正确结论的序号）CMPBPA；四边形AMCB的面积最大值为10；当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；线段AM的最小值为2 ；当ABPADN时，BP=4 417、 如图，反比例函数y= （k0）的图象经过A，B两点，过点A作ACx轴，垂足为C，过点B作BDx轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE的面积为2，则k的值为_三、作图题 18、 如图，已知ABC，BAC=90，请用尺规过点A作一条直线，使其将ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）四、解答题 19、已知：如图，ABCADE ， A=45，C=40求：ADE的度数 20、如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使ADE与ABC相似，求AE的长 21 .如图，已知ABC只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个DEF，使得DEFABC，且EF=BC（要求保留作图痕迹，不必写出作法）22、 在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（2，4），B（3，2），C（6，3）（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出A1B1C1的位似图形A2B2C2 ， 使A2B2C2与A1B1C1的相似比为2：1；（3）若每一个方格的面积为1，则A2B2C2的面积为 五、综合题 23、 尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是ABC的中线，且AFBE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为ABC的中位线得到EPFBPA，故 ，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在RtAPE，RtBPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程 (2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值24、 如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与BCD或轴对称的BCD(1)当CBD=15时，求点C的坐标 (2)当图1中的直线l经过点A，且k= 时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC扫过的图形与OAF重叠部分的面积 (3)当图1中的直线l经过点D，C时（如图3），以DE为对称轴，作于DOE或轴对称的DOE，连结OC，OO，问是否存在点D，使得DOE与COO相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由 答案解析部分一、单选题【答案】D 【考点】比例线段 【解析】【解答】A、1423，故错误；B、16.534.5，故错误；C、1.14.42.23.3，故错误；D、14=22，故正确故选D【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段依次分析各项即可 【答案】B 【考点】黄金分割 【解析】【解答】ACBC，AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，故A正确，不符合题意；AC2=ABBC，故B错误， 故C正确，不符合题意；0.618，故D正确，不符合题意故选B【分析】本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比 【答案】B 【考点】分式的化简求值，比例线段 【解析】【解答】由已知，得2（2yz)=y，即y=z，5（2yz)=z+2x，即x=5y3z，由，得x=z，把代入（3yz)：（2zx)：（x+3y)，得（3yz)：（2zx)：（x+3y)=z：z：z=3：5：7故选B【分析】先根据已知条件，利用z来表示x和y，然后再将其代入所求化简、求值。 【答案】D 【考点】坐标与图形性质，位似变换 【解析】【解答】矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，矩形OABC矩形OABC，矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的， 位似比为：1：2，点B的坐标为（-4，6)，点B的坐标是：（-2，3)或（2，-3)故选：D【分析】由矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩形OABC面积的 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OABC与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（-4，6)，即可求得答案【答案】A 【考点】比例的性质，一次函数的性质，平方的非负性，二次根式的非负性 【解析】【解答】+n2+9=6n，=（n3)2 ， m=5，n=3，k=a+bc=ck，ab+c=bk，a+b+c=ak，相加得：a+b+c=（a+b+c)k，当a+b+c=0时，k为任何数，当a+b+c0时，k=1，即：y=kx+8或y=x+8，所以图象一定经过一二象限故选A【分析】首先由+n2+9=6n，根据二次根式和完全平方式确定m n的值，再由k=，利用比例的性质确定K的值，根据函数的图象特点即可判断出选项 【答案】D 【考点】黄金分割 【解析】【解答】由题意可得ABC为黄金三角形，根据黄金比即可得到x的值，再代入求值即可.AB=AC=1，A=36ABC为黄金三角形BC=故选D.【分析】解题的关键是熟记顶角为36的等腰三角形是黄金三角形，黄金比为【答案】B 【考点】黄金分割 【解析】【解答】根据黄金分割的概念知，AC：AB=， AC=AB故本题答案为：B【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比【答案】A 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】AD：DB=3：5，BD：AB=5：8，DEBC ， CE：AC=BD：AB=5：8，EFAB ， CF：CB=CE：AC=5：8故选：A【分析】先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DEBC ， 根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB ， 然后由EFAB ， 根据平行线分线段成比例定理，得CF：CB=CE：AC ， 则可求得答案注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键 【答案】B 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】设DEF最短的一边是x ， ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的DEF最长的一边是36， = ，解得：x=18故选B 【分析】设DEF最短的一边是x ， 由相似三角形的性质得到 = ，即可求出x ， 得到DEF最短的边 【答案】A 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】从图中可以看出ABC的三边分别是2， ， ，要让ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是 ，所以这两，相似三角形的相似比是 : = :5ABC的面积为212=1，所以DEF的最大面积是5故选A 【分析】要让ABC的相似三角形最大，就要让AC为网格最大的对角线，据此可根据相似三角形的性质解答 【答案】D 【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：AB是O的直径，ACB=90，B=30， ，CE平分ACB交O于E， ，AD= AB，BD= AB，过C作CEAB于E，连接OE，CE平分ACB交O于E， = ，OEAB，OE= AB，CE= AB，SADE：SCDB=（ ADOE）：（ BDCE）=（ ）：（ ）=2：3故选D【分析】由AB是O的直径，得到ACB=90，根据已知条件得到 ，根据三角形的角平分线定理得到 ，求出AD= AB，BD= AB，过C作CEAB于E，连接OE，由CE平分ACB交O于E，得到OEAB，求出OE= AB，CE= AB，根据三角形的面积公式即可得到结论本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键 【答案】D 【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，ABCD，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1， ，PQCD， =4，平行线间的距离相等，q=r， =4， = ，AEAC，QECR故选D【分析】根据矩形的性质得到ABCD，根据已知条件得到 ，根据平行线分线段成比例定理得到PQCD， =4，根据平行线间的距离相等，得到q=r，证得 = ，于是得到结论本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键 二、填空题【答案】2：1 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】ABCDEF ， A=D ， C=F ， ，AB：DE=1：2，EF：BC=2：1，故答案为2：1【分析】利用相似三角形的对应边的比相等可以求得两条线段的比 【答案】10 【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的应用 【解析】【解答】过点A作ADBC于点D ， ABC中，A= ，AB=AC ， BC=63cm，AD=BD= BC= 63= cm设这张正方形纸条是从下往上数第n张，则BnCnBC ， ABnCnABC ， ，即 ，解得n=10故答案为：10【分析】先求出ABC的高，再根据截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的高的比等于相似比进行求解解答此类题熟练掌握相似三角形性质：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 【答案】（1， ） 【考点】坐标与图形性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：点A、B的坐标分别为（8，0），（0，2 ） BO= ，AO=8,由CDBO，C是AB的中点，可得BD=DO= BO= =PE，CD= AO=4设DP=a，则CP=4a当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，FCP=DBP又EPCP，PDBDEPC=PDB=90EPCPDB ，即 解得a1=1，a2=3（舍去）DP=1又PE= P（1， ）故答案为：（1， ）【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定EPCPDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似 【答案】 【考点】全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定 【解析】【解答】解：APB=APE，MPC=MPN，CPN+NPB=180，2NPM+2APE=180，MPN+APE=90，APM=90，CPM+APB=90，APB+PAB=90，CPM=PAB，四边形ABCD是正方形，AB=CB=DC=AD=4，C=B=90，CMPBPA故正确，设PB=x，则CP=4x，CMPBPA， = ，CM= x（4x），S四边形AMCB= 4+ x（4x）4= x2+2x+8= （x2）2+10，x=2时，四边形AMCB面积最大值为10，故正确，当PB=PC=PE=2时，设ND=NE=y，在RTPCN中，（y+2）2=（4y）2+22解得y= ，NEEP，故错误，作MGAB于G，AM= = ，AG最小时AM最小，AG=ABBG=ABCM=4 x（4x）= （x1）2+3，x=1时，AG最小值=3，AM的最小值= =5，故错误ABPADN时，PAB=DAN=22.5，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，KPA=KAP=22.5PKB=KPA+KAP=45，BPK=BKP=45，PB=BK=z，AK=PK= z，z+ z=4，z=4 4，PB=4 4故正确故答案为【分析】正确，只要证明APM=90即可解决问题 正确，设PB=x，构建二次函数，利用二次函数性质解决问题即可 错误，设ND=NE=y，在RTPCN中，利用勾股定理求出y即可解决问题 错误，作MGAB于G，因为AM= = ，所以AG最小时AM最小，构建二次函数，求得AG的最小值为3，AM的最小值为5 正确，在AB上取一点K使得AK=PK，设PB=z，列出方程即可解决问题本题考查相似形综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题 【答案】- 【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例 【解析】【解答】解：设点B坐标为（a，b），则DO=a，BD=bACx轴，BDx轴BDACOC=CDCE= BD= b，CD= DO= a四边形BDCE的面积为2 （BD+CE）CD=2，即 （b+ b）（ a）=2ab= 将B（a，b）代入反比例函数y= （k0），得k=ab= 故答案为： 【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解本题也可以根据OCE与ODB相似比为1：2求得BOD的面积，进而得到k的值 三、作图题【答案】解：如图，AD为所作【考点】作图相似变换 【解析】【分析】过点A作ADBC于D，利用等角的余角相等可得到BAD=C，则可判断ABD与CAD相似本题考查了作图相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似 四、解答题【答案】解答：ABCADE ， C=40，AED=C=40在ADE中，AED+ADE+A=180，A=45即40+ADE+45=180，ADE=95 【考点】相似三角形的性质 【解析】【分析】由ABCADE ， C=40，根据相似三角形的对应角相等，即可求得AED的度数，又由三角形的内角和等于180，即可求得ADE的度数 【答案】解答：若AED对应B时，= ，即 = ，解得AE= ；当ADE对应B时，= ，即 = ，解得AE=2所以AE的长为2或 【考点】相似三角形的性质 【解析】【分析】由于ADE与ABC相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论 【答案】解：画图DEF就是所求三角形 【考点】三角形中位线定理，作图相似变换 【解析】【分析】作ABC的中位线MN，再作DEFAMN即可 【答案】解：（1）如图所示：A1B1C1 ， 即为所求；（2）如图所示：A2B2C2 ， 即为所求；（3）A2B2C2的面积为：48242628=14故答案为：14 【考点】作图-轴对称变换，作图相似变换 【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用A2B2C2所在矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案 五、综合题【答案】（1）解：设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，AF，BE是ABC的中线，EF为ABC的中位线，AE= b，BF= a，EFAB，EF= c，EFPBPA， ，即 = ，PB=2n，PA=2m，在RtAEP中，PE2+PA2=AE2 ， n2+4m2= b2，在RtAEP中，PF2+PB2=BF2 ， m2+4n2= a2，+得5（n2+m2）= （a2+b2），在RtEFP中，PE2+PF2=EF2 ， n2+m2=EF2= c2 ， 5 c2= （a2+b2），a2+b2=5c2；（2）解：四边形ABCD为菱形，BDAC，E，F分别为线段AO，DO的中点，由（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=532=45，AGBC，AEGCEB， = ，AG=1，同理可得DH=1，GH=1，GHBC， = ，MB=3GM，MC=3MH，9MG2+9MH2=45，MG2+MH2=5 【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，根据三角形中位线性质得EFAB，EF= c，则可判断EFPBPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接着根据勾股定理得到n2+4m2= b2 ， m2+4n2= a2 ， 则5（n2+m2）= （a2+b2），而n2+m2=EF2= c2 ， 所以a2+b2=5c2；（2）利用（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=532=45，再利用AEGCEB可计算出AG=1，同理可得DH=1，则GH=1，然后利用GHBC，根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代换后可得MG2+MH2=5本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了三角形中位线性质和菱形的性质 【答案】（1）解：CBDCBD，CBD=CBD=15，CB=CB=2，CBC=30，如图1，作CHBC于H，则CH=1，HB= ，CH=2 ，点C的坐标为：（2 ，1）（2）解：如图2，A（2，0），k= ，代入直线AF的解析式为：y= x+b，b= ，则直线AF的解析式为：y= x+ ，OAF=30，BAF=60，在点D由C到O的运动过程中，BC扫过的图形是扇形，当D与O重合时，点C与A重合，且BC扫过的图形与OAF重合部分是弓形，当C在直线y= x+ 上时，BC=BC=AB，ABC是等边三角形，这时ABC=60，重叠部分的面积是： 22= （3）解：如图3，设OO与DE交于点M，则OM=OM，OODE，若DOE与COO相似，则COO必是Rt，在点D由C到O的运动过程中，COO中显然只能COO=90，CODE，CD=OD=1，b=1，连接BE，由轴对称性可知CD=CD，BC=BC=BA，BCE=BCD=BAE=90，在RtBAE和RtBCE中 ，RtBAERtBCE（HL），AE=CE，DE=DC+CE=DC+AE，设OE=x，则AE=2x，DE=DC+AE=3x，由勾股定理得：x2+1=（3x）2 ， 解得：x=，D（0，1），E（ ，0）， k+1=0，解得：k= ，存在点D，使DOE与COO相似，这时k= ，b=1【考点】待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似图形 【解析】【分析】（1）利用翻折变换的性质得出CBD=CBD=15，CB=CB=2，进而得出CH的长，进而得出答案；（2）首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C与A重合，且BC扫过的图形与OAF重合部分是弓形，求出即可；（3）根据题意得出DOE与COO相似，则COO必是Rt，进而得出RtBAERtBCE（HL），再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案