2022年高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用（一）学案 新人教A版必修4

2022年高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用（一）学案 新人教A版必修41理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示，能熟练求三角函数的值2理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围一、任意角的三角函数1单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆2三角函数的定义：设角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合在直角坐标系中，角终边与单位圆交于一点P(x，y)，则r|OP|1.那么：(1)y叫做的正弦，记作sin ，即ysin ；(2)x叫做的余弦，记作cos ，即xcos ；(3)叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数练习1：已知角A的终边与单位圆的交点为P0，求角的正弦、余弦和正切值解析：由三角函数定义知，sin y，cos x，tan .1三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？解析：利用三角形的相似性可知任意角的三角函数值只与有关，而与点P的位置无关对于角的终边上任意一点P，设其坐标为(x，y)，点P到原点的距离r0.(1)比值叫做的正弦，记作sin ，即sin ；(2)比值叫做的余弦，记作cos ，即cos ；(3)比值叫做的正切，记作tan ，即tan .点P在单位圆上是一种特殊情形二、三角函数值在各个象限内的符号1由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号sin ，其中r0，于是sin 的符号与y的符号相同，即：当是第一、二象限角时，sin 0；当是第三、四象限角时，sin 0，于是cos 的符号与x的符号相同，即：当是第一、四象限角时，cos 0；当是第二、三象限角时，cos 0；当是第 二、四象限角时，tan 0.2根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin ：上正下负横为0；cos ：左负右正纵为0；tan ：交叉正负”形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余弦”练习2：已知角的终边过点P0(3，4)，求角的正弦、余弦和正切值解析：r5，sin ，cos ，tan .2你知道形象的识记口诀的意思吗？解析： 口诀：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值相等，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，kZ.3公式一中的角一定是锐角吗？解析：公式一中的角为任意角，公式一都成立四、三角函数的定义域三角函数sin cos tan 定义域RR 4三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什么数学思想方法？解析： (1)三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点(3)三条有向线段的正负：三条有向线段与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方法1若0，则点Q(cos ，sin )位于(D)A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析： 0，sin 0，则是第一或第二象限角；若是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos .其中，不正确命题的个数是(C)A1个 B2个 C3个 D4个解析： 正确；不正确；不正确，例：也成立；不正确故选C.4若sin 0，则(C)A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：sin 0，在第一、三象限故在第三象限1角的终边落在yx(x0)上，则sin 的值等于(D)AB.CD2sin 330等于(B)A B C. D.3若角的终边上有一点P(4a，3a)(a0)，则2sin cos 的值是(B)A. B.或C D与a有关但不能确定解析：当a0时，sin ，cos ，2sin cos ；当a0时，为.4点P从(1，0)出发，沿单位圆x2y21顺时针运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为(A)A. B.C. D.解析：旋转角为，此时点Q所在终边对应的角为，xcos，ysin.故选A.5sin 1 485的值为(B)A. B. C. D解析：sin 1 485sin(436045)sin 45.6若是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos x，则sin 的值为(A)A. B. C. D解析：是第二象限角，x0，r|OP|，故cos x，解得x，r2，sin ，故选A.7sin 2cos 3tan 4的值的符号为_解析：20.3，cos 30.40.则sin 2cos 3tan 4为负值答案：负8已知的终边经过点(3a9，a2)且cos 0，sin 0，则a的取值范围是_答案：(2，39确定三角函数式的符号解析：30.50.80.0.10已知sin x0.(1)求角的终边所在的象限；(2)试判断tan与sin cos 的符号解析：(1)sin x0，x是第三象限角2kx2k，kZ，kk(kZ)，角的终边在第二或第四象限(2)由(2)得tan0，sin cos0)，则sin ；cos ；tan .这样定义三角函数，突出了与点P在角的终边上的位置无关，若令r1，则为单位圆中三角函数的定义(2)三角函数既可以看成是以角为自变量，又可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，三角函数具有二重性(3)深刻认识理解三角函数符号的含义如sin 这个符号，表示，即角的正弦，不能把sin 看成sin与的积同时也应注意每个函数记号的第一个字母都不能大写2三角函数的定义域和函数值的符号(1)用坐标定义三角函数，因而坐标的符号即角的终边所在的象限决定三角函数值的符号，同时，三角函数的定义域只需抓住分母不为零这一关键，不要死记(2)判断三角函数值的符号时，应特别注意角所在的象限的确定，不能忽视终边在坐标轴上的情况