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第61讲条件概率、n次独立重复试验与二项分布考纲要求考情分析命题趋势1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.2017全国卷，132016四川卷，12主要考查对事件独立性的辨识能力和根据相关概型运用公式进行计算的能力.分值：5分1条件概率(1)定义：设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)_为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(2)性质：0P(B|A)1；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)_P(B|A)P(C|A)_2事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)_P(A)P(B)_，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，则P(B|A)_P(B)_，P(A|B)P(A)，P(AB)_P(A)P(B)_如果事件A与B相互独立，那么_A与_，_与B_，_与_也都相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在_相同_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. Ai (i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3An)_P(A1)P(A2)P(An)_(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作_XB(n，p)_，并称p为_成功概率_在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)_Cpk(1p)nk_(k0，1,2，n)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)()(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(4)若条件A与B独立，则A与，与B，与不一定相互独立()(5)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立()(6)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布()(7)在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为Cpk.()2一张储蓄卡的密码共有6个数字，每位数字都可从09中任选一个，某人忘记了密码的最后一位数字但记得是偶数，则不超过2次就按对的概率为_.解析 由题意知，此人在按最后一位数字时，有“0,2,4,6,8”5种可能，所以此人按前两次的所有基本事件有nA20(个)，不超过2次就按对的基本事件为mCA8(个)，故P.3由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)_.解析 因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)，所以P(A|B).4甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，若两人投中的概率都是0.6，则至少有一人投中的概率为_0.84_.解析 由题意可得，甲、乙未投中的概率均为10.60.4，故甲、乙两人分别进行一次投篮均未投中的概率0.40.40.16，故所求概率P10.84.5(2017全国卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_1.96_.解析 依题意，XB(100,0.02)，所以D(X)1000.02(10.02)1.96.一条件概率条件概率的两种求解方法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)，求P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).【例1】 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(A)A0.8B0.75C0.6D0.45(2)(2018湖北黄冈调考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A是“取到的两数之和为偶数”，事件B是“取到的两个数均为偶数”，则P(B|A)(B)ABCD(3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_.解析 (1)根据条件概率公式P(B|A)，可得所求概率为0.8.(2)P(A)，P(B)，又AB，则P(AB)P(B)，所以P(B|A).(3)由题意可得，事件A发生的概率P(A)，事件AB表示“豆子落在EOH内”，则P(AB).故P(B|A).二事件的独立性求相互独立事件同时发生的概率的方法：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算【例2】 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度，不超过22千米的地铁票价如下表.乘坐里程x/km0x66x1212x22票价/元345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米，已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量，求的分布列解析 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P1P11 .(2)由题意可知，6,7,8,9,10.且P(6)，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，所以的分布列为678910P三独立重复试验与二项分布利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率【例3】 (2018河南开封模拟)博彩公司曾经对2016年NBA总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛，前4场，马刺队胜利的概率为，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为.(1)分别求马刺队以40,41,42,43胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；(2)随机变量X为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X的分布列解析 (1)设“马刺队以40胜利”为事件A，“马刺队以41胜利”为事件B，“马刺队以42胜利”为事件C，“马刺队以43胜利”为事件D，“总决赛马刺队获得冠军”为事件E，则P(A)4，P(B)C4，P(C)C4C42，P(D)C43C4CC4.P(E)P(A)P(B)P(C)P(D).(2)随机变量X的可能取值为4,5,6,7，P(X4)42，P(X5)C4，P(X6)2C4C4，P(X7)1P(X4)P(X5)P(X6)，所以随机变量X的分布列为X4567P1袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是(C)ABCD解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，故取到白球的概率P.2(2018广东六校联考)已知甲有5张红卡、2张蓝卡和3张绿卡，乙有4张红卡、3张蓝卡和3张绿卡他们分别从自己的10张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛设事件A1，A2，A3表示甲取出的一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡；事件B表示乙取出的一张卡是红卡，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B)；P(A1|B)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是彼此相互独立的事件；A1，A2，A3是两两互斥的事件解析 因为P(B)，所以错误；因为事件B与事件A1相互独立，所以P(A1|B)P(A1)，所以错误，正确；A1，A2，A3是两两互斥的事件，所以错误，正确3某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列解析 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A，则事件A包括：该节目可以得到两张“获奖”票，或者得到三张“获奖”票甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，P(A)C21C3.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的值为0,1,2,3.P(X0)3；P(X1)C12；P(X2)C21；P(X3)3.因此X的分布列为X0123P4在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块耕地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表.作物产量/kg300500概率0.50.5作物市场价格/元kg1610概率0.40.6(1)设X表示在这块耕地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块耕地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解析 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本，所以X所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2.所以X的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i(i1,2,3)季利润不少于2 000元”，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C2C3)P(C1C3)P(C1C2)30.820.20.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.易错点1不会使用条件概率公式解题错因分析：不理解条件概率的含义，不会使用条件概率公式解题【例1】 假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有1个女孩，求至少有1个男孩的概率解析 方法一此家庭共有3个孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，其中至少有1个女孩共有7种可能，其中至少有1个男孩有6种可能，故其概率为.方法二记事件A表示“有一名女孩”，B表示“至少有一名男孩”，则P(B|A).【跟踪训练1】 (2016全国卷节选)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下.上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下.一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率解析 (1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.易错点2对二项分布理解不到位错因分析：不能把问题归结为独立重复试验、二项分布模型解决问题【例2】 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立分别求甲队以30,31,32胜利的概率解析 记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲队以30胜利，以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.【跟踪训练2】 (2016四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是.解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚硬币正面向上的概率为12，且XB，所以均值是2.课时达标第61讲解密考纲对事件的独立性与条件概率、独立重复试验与二项分布的考查在高考中三种题型均有呈现一、选择题1(2018陕西西安模拟)甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是(A)A，B，C，D，解析 P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B).2已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(B)A0.85B0.819 2C0.8D0.75解析 PC0.830.2C0.840.819 2.3从甲袋中摸出1个红球的概率为，从乙袋中摸出1个红球的概率为，从两袋中各摸出一个球，则等于(C)A2个球都不是红球的概率B2个球都是红球的概率C至少有1个红球的概率D2个球中恰有1个红球的概率解析 因为从两个袋中各摸出一个球都不是红球的概率为，所以至少有1个红球的概率为1.4已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(D)ABCD解析 设事件A为“第1次抽到的螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)，P(AB)，则所求概率为P(B|A).5袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p.若A，B两个袋子中的球数之比为12，将A，B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，则p的值为(B)ABCD解析 设A中有x个球，B中有y个球，则因为A，B两个袋子中的球数之比为12，将A，B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，所以且，解得p.6将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k1次正面向上的概率，那么k的值为(C)A0B1C2D3解析 C5C5，k(k1)5，k2.二、填空题7如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_.解析 a，c闭合，b断开，灯泡甲亮，概率为.8一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球，2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是_.解析 记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P(B|A)，即所求事件的概率是.9设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为_.解析 假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数XB(3，p)，则有1(1p)3，得p，则事件A恰好发生一次的概率为C2.三、解答题10某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A，B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分规则是：每人投篮三次按先A后B再A的顺序各投篮一次，教师甲在A和B点投中的概率分别是和，且在A，B两点投中与否相互独立(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X的分布列；(2)若教师乙与教师甲在A，B点投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率解析 (1)设“教师甲在A点投中”的事件为A，“教师甲在B点投中”的事件为B.依题可知X的可能取值为0,2,3,4,5,7.P(X0)P()2，P(X2)P(AA)C，P(X3)P(B)，P(X4)P(AA)，P(X5)P(ABBA)C，P(X7)P(ABA).则教师甲投篮得分X的分布列为X023457P(2)教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形这五种情形之间彼此互斥，因此所求事件的概率为P.11(2018湖北黄冈期末)甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个(其中“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”各一个)，现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止记游戏终止时投掷骰子的次数为.(1)求掷骰子的次数为7的概率；(2)求的分布列及数学期望E()解析 (1)当7时，“甲赢”即“第七次甲赢，前6次赢5次，且前5次中必输1次”，依题意，每次甲赢或乙赢的概率均为，P(7)2C4.(2)设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，向上的点数是偶数出现的次数为n，则由或得：当m5，n0或m0，n5时，5；当m6，n1或m1，n6时，7；当m7，n2或m2，n7时，9；当m5，n4或m4，n5时，9；当m6，n3或m3，n6时，9；的可能取值是5,7,9.每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是.P(5)25，P(7)，P(9)1P(5)P(7)，的分布列是579PE()579.12(2018福建泉州模拟)在一种电脑屏幕保护画面中，符号“”和“”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“”和“”之一，其中出现“”的概率为p，出现“”的概率为q.若第k次出现“”，则记ak1；出现“”，则记ak1，令Sna1a2an.(1)当pq时，记|S3|，求 的分布列；(2)当p，q时，求S82且Si0(i1,2,3,4)的概率解析 (1)因为|S3|的取值为1,3，又pq，所以P(1)C22，P(3)33.所以的分布列为13P(2)当S82时，即前八秒出现“”5次，“”3次，又已知Si0(i1,2,3,4)，若第一、三秒出现“”，则其余六秒可任意出现“”3次；若第一、二秒出现“”，第三秒出现“”，则后五秒可任意出现“”3次故所求的概率P(CC)53.15
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