数学五 立体几何与空间向量 第2讲 空间中的平行与垂直 理

第2讲空间中的平行与垂直专题五立体几何与空间向量热点分类突破真题押题精练热点分类突破热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断.例例1(1)(2017四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线， ，为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是A.若n，n，m，则mB.若m，则mC.若m，n在内的射影互相平行，则mnD.若ml，l，则m解析解析由题意知，n，n，则，又m，则m，A正确；若m，可能会现m，B错误；若m，n在内的射影互相平行，两直线异面也可以，C错误；若ml，l，可能会出现m，D错误.故选A.答案解析答案解析(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形， 用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面A.有无数多个 B.恰有4个C.只有1个 D.不存在思维升华解析解析如图，由题知面PAD与面PBC相交，面PAB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为，作与平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1nC1D1，A1D1mB1C1，从而得截面必为平行四边形.由于平面可以上下平移，可知满足条件的平面有无数多个.故选A.思维升华思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.答案解析跟踪演练跟踪演练1(1)，是三个平面，m, n是两条直线，则下列命题正确的是A.若m, n，mn，则B.若，m, n，则mnC.若m不垂直平面，则m不可能垂直于平面内的无数条直线D.若m，n，mn，则解析解析逐一分析所给的命题：A项，若m, n，mn，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有，该说法错误；B项，若，m, n，无法确定m，n的关系，该说法错误；C项，若m不垂直平面，则m可能垂直于平面内的无数条直线，该说法错误；D项，若m，n，mn，则，该说法正确.故选D.答案解析(2)(2017届株洲一模)如图，平面平面， 直线l, A，C是内不同的两点， B，D是内不同的两点，且A，B，C，D 直线l, M，N分别是线段AB，CD的中点.下列判断正确的是A.当CD2AB时，M，N两点不可能重合B.M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C.当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D.当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行解析解析由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此ACBD，则BD，所以由线面平行的判定定理可得AC，又因为AC，l，所以由线面平行的性质定理可得ACl，故应排除答案A，C，D，故选B.热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.例例2(1)(2017全国)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC AD，BADABC90.证明：直线BC平面PAD；证明证明在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC 平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.证明若PCD的面积为2 ，求四棱锥PABCD的体积.解答解解如图，取AD的中点M，连接PM，CM.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，解得x2(舍去)或x2.所以四棱锥PABCD的体积(2)(2017重庆市巴蜀中学三模)如图，平面ABCD平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M，N分别是EF，BC的中点，AB2AF, CBA60.求证：DM平面MNA；证明证明证明连接AC，在菱形ABCD中，CBA60，且ABBC，ABC为等边三角形，又N为BC的中点，ANBC，BCAD，ANAD，又平面ABCD平面ADEF，平面ABCD平面ADEFAD，AN平面ABCD，AN平面ADEF，又DM平面ADEF，DMAN.在矩形ADEF中，AD2AF，M为EF的中点，AMF为等腰直角三角形，AMF45，同理可证DME45，DMA90，DMAM，又AMANA，且AM，AN平面MNA，DM平面MNA.若三棱锥ADMN的体积为 ，求MN的长.证明思维升华证明证明设AFx，则AB2AF2x，在RtABN中，AB2x, BNx, ABN60，平面ABCD平面ADEF, AD为交线，FAAD，FA平面ABCD，设h为点M到平面ADN的距离，则hAFx，思维升华思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练跟踪演练2(2017北京市海淀区适应性考试)如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA ，E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥PABCD的体积；解解PA平面ABCD，解答(2)如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；证明证明连接AC交BD于O，连接OE.四边形ABCD是正方形，O是AC的中点，又E是PA的中点，PCOE，PC 平面BDE, OE平面BDE，PC平面BDE.证明(3)是否无论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE ？证明你的结论.解解无论点E在任何位置，都有BDCE.证明如下：四边形ABCD是正方形，BDAC，PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPA，又ACPAA，AC，PA平面PAC，BD平面PAC.无论点E在任何位置，都有CE平面PAC，无论点E在任何位置，都有BDCE.解答热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.例例3(2017孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE中，EDEA，ABCD，CD2AB，EDC150.如图(2)，将EAD沿AD折到PAD的位置，得到四棱锥PABCD.点M为线段PC的中点，且BM平面PCD.(1)求证：平面PAD平面ABCD；证明四边形ABMN为平行四边形，ANBM，又BM平面PCD，AN平面PCD，ANPD，ANCD.由EDEA，即PDPA及N为PD的中点，可得PAD为等边三角形，PDA60，又EDC150，CDA90，CDAD，又ANADA，AN平面PAD，AD平面PAD，CD平面PAD，又CD平面ABCD，平面PAD平面ABCD.解解设四棱锥PABCD的高为h，四边形ABCD的面积为S，解答思维升华思维升华思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.跟踪演练跟踪演练3(2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD中， ADBC, ABBC, BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体.(1)求证：AB平面ADC；证明证明证明因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，又BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又ADAB，DCADD，AD，DC平面ADC，所以AB平面ADC.解答故BC3.由于AB平面ADC，ABAC，E为BC的中点，因为DC平面ABD，设点B到平面ADE的距离为d，真题押题精练真题体验1.(2017全国改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是_.答案解析12(1)解析解析对于(1)，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交；12对于(2)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；12对于(3)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；12对于(4)，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB 平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.122.(2017江苏)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；证明证明在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以ABEF.又EF 平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.12证明(2)ADAC.证明证明因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又AC平面ABC，所以ADAC.12证明押题预测答案解析押题依据押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.121.不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，下列为真命题的是A.mnm B.mnC.m D.mn押题依据12解析解析构造长方体，如图所示.因为A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直.所以选项A，B都是假命题.CC1AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题.“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.2.如图(1)，在正ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BEAF2CF.点P为边BC上的点，将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示.(1)求证：A1EFP；押题依据押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式.12证明押题依据证明证明在正ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示.因为BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF为正三角形.又AEDE，所以EFAD.所以在题图(2)中A1EEF，又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC，且平面A1EF平面BEFCEF，所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC，所以A1EFP.12(2)若BPBE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.解答12解解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行.理由如下：如题图(1)，在正ABC中，因为BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MKFP.因为FPBE，所以MKBE.因为MK 平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行.12