【名师教案1】56应用一元一次方程--能追上小明吗

5. 6应用一元一次方程-能追上小明吗教学目标(一)教学知识点1进一步掌握列方程解应用题的步骤2能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题(二)能力训练要求1借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力2进一步体会方程模型的作用，提高应用数学的意识3培养学生文字语言、图形语言、符号语言这三种语言的转换的能力(三)情感与价值观要求通过开放性的问题，为学生提供思维的空间，从而培养学生的创新意识，团队精神和克服困难的勇气教学重点1借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系从而建立方程，解决实际问题 用“线段图”分析复杂问题中的等量关系，从而建立方程教学方法教师启发与学生自主探索相结合教师先从简单问题出发，启发诱导学生用“线段图”去寻找路程问题中的等量关系，从而学生在教师的启发诱导下自主探索复杂问题的解决过程，建立数学模型教具准备投影片三张第一张：(记作56A)填空第二张：(记作56B)想一想、试一试第三张：(记作56C)议一议教学过程提出问题，引入新课出示投影片(56A)做一做：1若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_米2小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_米/分3小明家距离火车站1500米，他以4米/秒的速度骑车到达火车站需_分钟师上面3个小题都是关于路程、速度、时间的问题，那么它们之间有何关系呢？ 生路程=速度时间知道这三个量中的两个就可以求出另一个师很棒那么我们就用这个同学所说的关系来解答上面的三个小问题生(1)已知速度、时间，求路程所以小明5秒能跑4米/秒5秒=20米(2)已知时间、路程求速度所以小明的速度为400米4分=100米/分(3)已知路程、速度求时间所以小明骑车到车站需要1500米4米/秒=375秒=625分师下面我们就来根据路程、速度、时间之间的关系来讨论几个较为复杂的问题讲授新课出示投影片(56B)想一想，试一试例1小明和小彬每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？(2)如果小明站在百米跑道的起跑处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？师生共析已知小彬和小明的速度分别为4米/秒，6米/秒(1)两人从百米跑道的两端同时相向起跑，相遇时，两人所跑的路程的和是100米所以要解决这个问题，必须抓住这个等量关系我们画出线段图，可以使他们的关系更加直观，等量关系更加清晰如下图所以等量关系为：小明所跑的路程+小彬所跑的路程=100米接下来我们只要把这个等量关系用数学符号方程表示出来即可设两人x秒后可相遇，则小明跑的路程就为6x米，小彬跑的路程为4x米，由此得到方程4x+6x=100(2)如果小明站在百米跑道的起点处，而小彬在他前面10米处，当小明追上小彬时，小彬比小明少跑10米在解决此问题时，只要抓住这个等量关系便可为了使问题更直观，我们不妨也用线段图来表示，使等量关系更清晰如下图：所 以等量关系为：小明跑的路程-小彬跑的路程=10米如果设小明x秒可追上小彬，则小明跑的路程为6x，小彬跑的路程为4x，则得到方程6x-4x=10(由学生根据分析写出解答过程)解：(1)设小明和小彬x秒后相遇，根据题意得6x+4x=100，解，得x=10所以经过10秒两人相遇(2)设小明x秒追上小彬，根据题意，得6x-4x=10解，得x=5所以小明5秒就追上了小彬师由例1我们可以看到，在审题的过程中，如果能把文字语言变成图形语言线段图，可以使题中的等量关系“浮”出水面，最后我们只需设出未知数，把等量关系用符号语言表示出来，便得到了方程在我们的生活中，一些同学养成一种很不好的习惯丢三落四常害得父母亲操心小明今天就犯了这样的错误：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学一天，小明以80米/分的速度出发5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书于是，小明的爸爸立即为180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他问：(1)爸爸追上小明用了多长时间？(2)追上小明时，距离学校还有多远？同学们可仿照例1的方法，画出线段图去分析题目中的等量关系生我认为小明的爸爸追上小明时，他们父子二人所行驶的路程是相等的师你能到黑板上画出这个问题的线段图吗？生可以如果设爸爸追上小明用了x分钟，则可画得线段图：(黑板上板演)所以，根据题意，小明5分钟行驶的路程为：805米；爸爸开始追小明到追上，小明行驶的路程为80x米；小明的爸爸追上小明行驶的路程180x米相等关系为：小明行驶的路程=爸爸行驶的路程即805+80x=180x师下面同学们在自己的练习本上完整地写出解答过程生解：(1)设爸爸追上小明用了x分根据题意，得180x=80x+805化简，得100x=400x=4所以小明的爸爸用了4分钟追上小明(2)因为爸爸追上小明行驶的路程为1804=720米，1000-720=280米所以，追上小明时，距离学校还有280米师通过做上面这个题，除了要学会用线段图去寻找相等关系，从而建立模型方程，使问题得到解决外更重要的是有丢三落四的毛病的同学，要吸取小明的教训，自己的事自己处理好，免得父母操心议一议出示投影片(56C)育红学校七年级的学生步行到郊外旅行(1)班的学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班的学生组成后队，速度为6千米/时前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时根据上面的事实提出问题并尝试解答(这是一个开放性问题，教师应鼓励学生交流、讨论，然后大胆地提出问题，并试着利用方程去解决，并与同伴交流自己的问题和解决问题的过程)生我提出的问题是：后队用多长时间可以追上前队？生这个问题可用方程来解，只要找到这个问题等量关系即可根据题意画线段图如下：如果设后队x小时可追上前队，那么后队行驶的路程为6x千米，前队行驶的路程为(41+4x)千米根据线段图可知：前队行驶路程=后队行驶的路程，由此可得方程6x=41+4x师这位同学分析得很到位下面请一位同学完整地写出过程生解：设前队被后队追上用了x小时，根据题意，得6x=41+4x解，得x=2所以前队被后队追上需2小时生后队在追前队时，后队派了一名联络员骑自行车不停地在两队之间来回进行联络，那么这位联络员行了多少千米的路程师这个问题提得非常好如何解决呢？同学们可以先讨论一下，也许解决起来不困难生我们认为这个问题从整体上考虑较易因为联络员的速度是12千米/时，而且联络员是后队出发时，派他在两队之间不间断地来回进行联络，由此我们知道联络员用去的时间恰好就是后队追上前队的时间即2小时，所以联络员行驶的路程为122=24千米师你真棒！我们祝贺你，在困难面前，你是一个胜利者大家应该向你学习老师相信，我们每一位同学在遇到复杂的问题时，一定能树立信心，树立克服困难的勇气生我还可以提出一个问题吗？师完全可以我们欢迎他提出问题生当联络员第一次追上前队后，往回返，当他和后队相遇时，后队离出发地有多远？师同学们可以讨论，并相互交流一下自己的想法生我觉得这个问题要分两步完成：第一步：设联络员x小时后可追上前队，画线段图如下：根据题意，可得12x=41+4x解，得x=所以联络员第一次追上前队用了小时第二步：这时，后队离出发点6千米/时小时=3千米离前队有(1+)4-3=3千米设y小时后，联络员又碰上了后队，画线段图如下：根据题意，可得6y+12y=4(1+)-6解，得y=所以此时后队离开出发点6+6=4千米师看来，同学们已能面对复杂问题祝贺你们关于这个题还能提出好多问题，同学们若有兴趣，课余时间可继续发现，相信你们会有很大的收获课时小结我们这节课学会了用线段图来形象直观地表达题意，找到等量关系更可喜的是，我们面对开放性的问题，能够积极思维，大胆创新，这节课将是一节很难忘的课课后作业1习题592继续合作完成P173议一议，大胆尝试着去提出问题，解决问题活动与探究8个人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障，此时离火车站停止检票的时间还有42分钟，这时惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/时这8个人能赶上火车吗？过程：这是开放性的问题，为学生提供了思维的空间可以分多种情形讨论第一种情形：小汽车分2批送8个人如果第2批人在原地不动第二种情形：如果在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可节省一点时间第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人使得两批人同时到达火车站，比较省时结果：第一种情形：小汽车需来回走153=45(千米)，所需时间为4560= (小时)=45分42分因此单靠汽车来回接送无法使8人赶上火车第二种情形：如果设这些步行的速度为5千米/时，汽车送完第1批人后，用了x小时与第二批人相遇，根据题意有：5x+60x=15-5，解得x=，从汽车出故障开始，第二批人到达火车站要用+2=小时42分因此不计其他时间的话，这8人能赶上火车第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中，一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么比较省时，需要37分板书设计能追上小明吗一、问题提出三、议一议距离=速度时间问题一：二、想一想、试一试问题二：(学生板演)问题三备课资料(一)学会解开放题随着素质教育的不断深入，考查学生灵活运用的综合能力成为热点而开放性问题有利于培养学生灵活运用能力和创造性思维能力例1按要求运用数字135和25%编一道应用题，要求：(1)要联系市场经济，其解符合实际(2)数25%要用两次(3)列出的方程是一元一次方程，写出这道应用题的整个解的过程解：依据题目要求可编出应用题：某个体商店同时出售两件衣服，每件售价都是135元，按进价核算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%试问在这次销售中，商店是亏还是赚？解这道应用题，设其中一件进价x元，另一件进价y元，由题意，得x(1+25%)=135，则x=108；y(1-25%)=135，则y=1802135-(x+y)=-18因此是亏，亏了18元根据题目要求还可编出一道应用题：某商店降价25%后，又提价25%，该商品现价为135元，问该商品原价多少元？解：设该商品原价x元，则(1-25%)(1+25)x=135解，得x=144所以该商品原价是144元例2下面是工厂各部门提供的信息：人事部：明年生产工人不多于800人，每年每人工时按2400工时计算；市场部：预测明年的产品销量是1000012000件；技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这种部件60000个请判断：(1)工厂明年的生产量至多为多少件？(2)为减少积压，至多裁减多少人用于开发其他新产品解：(1)据人事部、技术部、供应部的信息，明年生产量为x件，则4x=6000+60000，解得x=16500120x=8002400，解得x=16000受工时限制x应取16000(2)据市场部信息，设应裁减y人，则2400(800-y)=12000120解，得y=200应裁减200人(二)参考练习列方程解应用题1甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为175千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时两人相距325千米？2在一直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时75千米，水流速度为每小时25千米，A、C两地间的距离为10千米如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地有多远？答案：1解：(1)相遇前经过x小时，甲、乙二人相距325千米，根据题意，得：(175+15)x+325=65x=1 (2)相遇后甲乙继续前进，设从出发到相遇后经过x小时相距325千米，根据题意，得(175+15)x-325=65x=3所以经过1小时或3小时甲、乙两人相距325千米2解：设乙船由B地航行到C地用了x小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了(4-x)小时(1)若C地在A、B两地之间，有(4-x)(75+25)-x(75-25)=10解，得x=2102=20千米(2)若C地不在A、B两地之间，有x(75-25)-(4-x)(75+25)=10解，得x=10千米所以乙船从B地到达C地时甲船驶离B地有20千米或千米