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正弦定理正弦定理 正弦定理正弦定理回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcba222cba Acasin Bcbsin Abatan 90BA两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？cBbAa sinsin1sin CCcBbAasinsinsin 即正弦定理，定理对任意三角形均成立即正弦定理，定理对任意三角形均成立 正弦定理正弦定理CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边和它的对边a,b,c叫做三角形的叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形解三角形 正弦定理正弦定理例题讲解例题讲解解三角形中，已知，在例,9 .42,8 .81,0 .321cmaBAABC2 .66)8 .810 .32(180)(180BAC定理，解：根据三角形内角和)( 1 .800 .32sin8 .81sin9 .42sinsincmABab根据正弦定理，)( 1 .740 .32sin2 .66sin9 .42sinsincmACac根据正弦定理， 正弦定理正弦定理例题讲解例题讲解)11(,40,28,202cmAcmbcmaABC，边长精确到角度精确到解三角形。中，已知，在例.8999. 02040sin28sinsinaAbB解：根据正弦定理，116,64,1800BBB或所以因为).(3040sin76sin20sinsin,76)6440(180)(18064) 1 (cmACacBACB时，当).(1340sin24sin20sinsin,24)11640(180)(180116)2(cmACacBACB时，当 正弦定理正弦定理例题讲解例题讲解 例例3 在在 中，中， ，求，求 的面积的面积S ABC )13(2,60,45 aCBABC BacCabsin21sin21 Abcsin21 hABCaABCahS21 三角形面积公式三角形面积公式解：解： 75)(180CBA由正弦定理得由正弦定理得 4426)22)(13(2sinsin ABab326)23(4)13(221sin21 CabSABC 正弦定理中的比值常数正弦定理中的比值常数（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. （2）若）若A,B,C是是ABCABC的三个内角，则的三个内角，则sinA+sinB_sinC.sinA+sinB_sinC.)(sin3sin,2)3(等于则中，在BBBCABCA.b/a B.a/b C.a/c D.c/acB 正弦定理正弦定理练习：练习：（1）在）在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） ABC BbAaAsinsin. BbAaBcoscos. AbBaCsinsin. AbBaDcoscos. CABC （2）在）在 中，若中，若 ，则，则 是是( ) A等腰三角形等腰三角形 B等腰直角三角形等腰直角三角形 C直角三角形直角三角形 D等边三有形等边三有形2cos2cos2cosCcBbAa ABC D 正弦定理正弦定理练习：练习：（3）在任一）在任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左边左边 代入左边得：代入左边得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立=右边右边0 在在ABC中，若中，若acosA=bcosB,求证：求证：ABC是等腰三角形或是等腰三角形或直角三角形。直角三角形。利用正弦定理证明利用正弦定理证明“角平分线定理角平分线定理”三角形面积计算公式三角形面积计算公式
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