坐标系中的圆

22、 如图（18），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，以为直径的圆过点若点的坐标为，A、B两点的横坐标，是关于的方程的两根（1）求、的值；（2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式；yx图（3）NBACODMEF(0，2)l（3）过点任作一直线分别交射线、（点除外）于点、则的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：（1）以为直径的圆过点，而点的坐标为，由易知，即：，解之得：或，即由根与系数关系有：，解之， （2）如图（3），过点作，交于点，易知，且，在中，易得， ， ，又，有，则，即，易求得直线对应的一次函数解析式为：解法二：过作于，于，由，求得 又求得即，易求直线解析式为：（3）过点作于，于为的平分线，由，有 由，EADGBFCOM第25题图有， 即（2013常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB（1）当OCAB时，BOC的度数为45或135；（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接AD，当OCAD时，求出点C的坐标；直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由考点：圆的综合题3718684专题：综合题分析：（1）根据点A和点B坐标易得OAB为等腰直角三角形，则OBA=45，由于OCAB，所以当C点在y轴左侧时，有BOC=OBA=45；当C点在y轴右侧时，有BOC=180OBA=135；（2）由OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，过O点作OEAB于E，OE的反向延长线交O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算ABC的面积；（3）过C点作CFx轴于F，易证RtOCFRtAOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；由于OC=3，OF=，所以COF=30，则可得到BOC=60，AOD=60，然后根据“SAS”判断BOCAOD，所以BCO=ADC=90，再根据切线的判定定理可确定直线BC为O的切线解答：解：（1）点A（6，0），点B（0，6），OA=OB=6，OAB为等腰直角三角形，OBA=45，OCAB，当C点在y轴左侧时，BOC=OBA=45；当C点在y轴右侧时，BOC=180OBA=135；（2）OAB为等腰直角三角形，AB=OA=6，当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，过O点作OEAB于E，OE的反向延长线交O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，OAB为等腰直角三角形，AB=OA=6，OE=AB=3，CE=OC+CE=3+3，ABC的面积=CEAB=（3+3）6=9+18当点C在O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，ABC的面积最大，最大值为9+18（3）如图，过C点作CFx轴于F，OCAD，ADO=COD=90，DOA+DAO=90而DOA+COF=90，COF=DAO，RtOCFRtAOD，=，即=，解得CF=，在RtOCF中，OF=，C点坐标为（，）；直线BC是O的切线理由如下：在RtOCF中，OC=3，OF=，COF=30，OAD=30，BOC=60，AOD=60，在BOC和AOD中，BOCAOD（SAS），BCO=ADC=90，OCBC，直线BC为O的切线点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算如图，O1交x轴于AB两点，交y轴于CD两点，圆心O1在y轴上，过C点，作CM弦AE，垂足为M，Q在BE的延长线上.（1）求证QEC=CEA（2）问的值是否发生变化？请说明理由. Q证：(1)略（2）作CNBQ于N，证CACB，CAMCBN，CMCN。证AMBN，EMEN， 本题也可在AE上截AFBE，证CAFBCE.5如图，A（0，4），F（2，0），点O1在x轴上，O1经过A、F两点，与x轴正半轴交于B点，交y轴负半轴于C点.过A、O、B三点作O2.（1）求O2的半径.（2）点E在O1上，连AE，交O2于P点，连CE，求的值.M解：(1)设O1的半径为R，在AOO1中，R5，则OB8，AB，故O2半径为。(2)证BABC，在AE上截AMCE，证AMBCEB，BMBE，证APBAOB90，PMPE ，1.（06甘肃嘉峪关、定西卷）如图，在中，所对的圆心角为，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系（1）求圆心的坐标；（2）求经过三点的抛物线的解析式；（3）点是弦所对的优弧上一动点，求四边形的最大面积；（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点，使和相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）如图（1），连结则， ， （2）由三点的特殊性与对称性，知经过三点的抛物线的解析式为 图1， （3），又与均为定值， 当边上的高最大时，最大，此时点为与轴的交点，如图1 （4）方法1：如图2，为等腰三角形，图2等价于 设且，则， 又的坐标满足，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 方法2：如图（3），当时，又由（1）知，点在直线上设直线的解析式为，将代入，解得直线的解析式为 解方程组得 又，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 方法3：如图3，为等腰三角形，且，设则 图3等价于， 当时，得解得 又的坐标满足，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 点评本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。2.（06湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）求的面积；（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由解 （1）抛物线的坐标为（说明：用公式求点的坐标亦可）（2）连；过为的直径而（3）当点运动到的中点时，直线与相切理由：在中，点是的中点，在中，为等边三角形又为直径，当为的中点时，为的切线点评本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。3（06湖南永州卷）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的直径交小圆于两点，大圆的弦切小圆于点，过点作直线，垂足为，交大圆于两点（1）试判断线段与的大小关系，并说明理由（2）求证：（3）若是方程的两根（），求图中阴影部分图形的周长ABCDEONHMF解 （1）相等 连结，则，故 （2）由，得， 又由，得 （3）解方程得：， ，在中，在中，弧长， 阴影部分周长 点评本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。4. （06辽宁卷）如图，已知，以点为圆心，以长为半径的圆交轴于另一点，过点作交于点，直线交轴于点（1）求证：直线是的切线；（2）求点的坐标及直线的解析式；xyABCOFE（3）有一个半径与的半径相等，且圆心在轴上运动的若与直线相交于两点，是否存在这样的点，使是直角三角形若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）证明：连结 又又是的切线（2）方法由（1）知，又，由解得（舍去）或，直线经过，两点设的解析式：解得直线的解析式为 方法：切于点，又，即又，由解得（舍去）或 （求的解析式同上）方法，切于点，由解得：， （求的解析式同上）（3）存在；当点在点左侧时，若，过点作于点， 当点在点右侧时，设，过点作于点，则，可知与关于点中心对称，根据对称性得xyABCOPFMEHNQ1234存在这样的点，使得为直角三角形，点坐标或点评本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方5. （06辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点（1）以为一边在第一象限内作等边及的外接圆（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）若与轴的另一个交点为点，求，四点的坐标；（3）求经过，三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹（2）由直线，求得点的坐标为，点的坐标为在中，是等边三角形，点的坐标为，连结是等边三角形直线是的切线点的坐标为（3）设经过，三点的抛物线的解析式是把代入上式得抛物线的解析式是存在点，使的面积等于的面积点的坐标分别为，点评本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。6. （06山东滨州卷）已知：抛物线与轴相交于两点，且（）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（）若，求的取值范围；（）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（）若直线过点，与（）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式解 （）解法一：由题意得， 解得， 为正整数， 解法二：由题意知，当时， （以下同解法一） 解法三：， 又 （以下同解法一） 解法四：令，即， （以下同解法三）（）解法一： ，即 ， 解得 的取值范围是xyO 解法二：由题意知，当时， 解得： 的取值范围是 解法三：由（）的解法三、四知， ， 的取值范围是 （）存在 解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧， 由切割线定理知， 即， 解法二：连接圆心所在直线， 设直线与轴交于点，圆心为， 则 ， 在中， 即解得 （）设，则yx7 过分别向轴引垂线，垂足分别为 则 所以由平行线分线段成比例定理知， 因此，即 过分别向轴引垂线，垂足分别为， 则所以 ，或 当时，点直线过， 解得 当时，点直线过， 解得故所求直线的解析式为：，或 点评本题对学生有一定的能力要求，涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识，是一道选拔功能卓越的好题。7. （06四川课改卷）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由AEODCBGFxyl解 （1）在和中，四边形是正方形，又，（2）由（1），有，点是的外心，点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达式为（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，则有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上点评本题有一定的难度，综合性也比较强，有一定的新意，第3小问有些难度，有一定的能力要求，解这种题时需冷静地分析题意，找到切入点不会很难。8. （06浙江卷课改）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0，)，直线l2的函数表达式为，l1与l2相交于点PC是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横坐标是a过点C作CMx轴，垂足是点M(1)填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，FPB的度数是 ；(2)当C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于C的半径R，并写出R=时a的值.(3)当C和直线l2不相离时，已知C的半径R=，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C解 (1) P(1，)60(2)设C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CDPD2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C(第24题图甲)GDM过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则RtCDPRtPGC (PCD=CPG=30，CP=PC)， 所以PG=CD=R 当点C在射线PA上，C和直线l2相切时，同理可证取R=时，a=1+R=，或a=-(R-1)(3) 当C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论： 如图乙，当0a时，2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C图2NM， 当时，（满足a），S有最大值此时（或） 当a0时，显然C和直线l2相切即时，S最大此时 综合以上和，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 点评此题也较为新颖，符合新课标的理念，揭示了求最值的一般方法，本题的难度设置也较为合适，使同学们都能有发挥自己能力的空间。9. （06山东济南课改卷）如图1，已知中，过点作，且，连接交于点（1）求的长；（2）以点为圆心，为半径作，试判断与是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点作，垂足为以点为圆心，为半径作；以点为圆心，为半径作若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持和相切，且使点在的内部，点在的外部，求和的变化范围ABCPEEABCP图1图2解 （1）在中， ， （2）与相切 在中， 又，与相切 （3）因为，所以的变化范围为 当与外切时，所以的变化范围为；当与内切时，所以的变化范围为点评本题是一道比较传统的几何综合题，第1题运用相似三角形知识即可得解，第2小题也较基础，第3小题注意要分类，试题中只说明了“和相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。8，（06江苏宿迁课改卷）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d（1）如图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数dar图darardardardar所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有个；（2）如图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系图公共点的个数dardaradarda所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有个；图（3）如图，当O与正方形有5个公共点时，试说明ra；（4）就ra的情形，请你仿照“当时，O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于“O与正方形的公共点个数”的正确结论解 （1）d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1ardar2dar1dar0图 所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个； （2）d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1adar2da4图所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个； （3）方法一：如图所示，连结OC则OEOCr ，OFEFOE2ar BCDFE 在RtOCF中，由勾股定理得： OF2FC2OC2即（2ar）2a2r2 4a24arr2a2r2 5a24ar5a4r r a BNE方法二：如图，连结BD、OE、BE、DE 四边形BCMN为正方形CMN90BD为O的直径，BED90MDBENDEM 90CBENEBN90DEMEBNBNEEMD DMa 由OE是梯形BDMN的中位线得OE（BNMD）a（4）当ar时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；当ra时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个点评本题是一道较为新颖的几何压轴题，考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。9. （06山东枣庄课改卷）半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P已知BC ：CA4 : 3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长； （3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长解 （1）当点P与点C关于AB对称时，CPAB，设垂足为D. AB为O的直径， ACB=900. AB=5,AC:CA=4:3, BC=4, AC=3. 又ACBC=ABCD 在RtACB和RtPCQ中， ACBPCQ=900, CABCPQ， RtACBRtPCQ （2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BEPC于点E（如图）. P是弧AB的中点， 又CPB=CAB CPB= tanCAB= 而从 由（l）得， （3）点P在弧AB上运动时，恒有 故PC最大时，CQ取到最大值 当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为 点评本题属于常规的几何综合题，解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论。10. （内蒙古鄂尔多斯课改卷）如图，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，（1）求点的坐标；（2）求证：是的切线；（3）若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围解 （1）如图，连结 ， 是的直径（也可用勾股定理求得下面的结论）， ，（2）过点 当时， ，（也可用勾股定理逆定理证明）是的切线（3）过点 因为函数与的图象交点是和点（画图可得此结论）所以满足条件的的取值范围是或 点评本题是一道较为常规的综合压轴题，综合性较强，解第3小题时可以借助函数图像来很明了快捷地得出结论。11. （2006江苏常州）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。解 （1）线段AB长度的最小值为4 理由如下： 连接OP 因为AB切O于P，所以OPAB 取AB的中点C，则 当时，OC最短， 即AB最短，此时 （2）设存在符合条件的点Q， 如图，设四边形APOQ为平行四边形，因为四边形APOQ为矩形又因为所以四边形APOQ为正方形所以，在RtOQA中，根据，得Q点坐标为（）。 如图，设四边形APQO为平行四边形因为OQPA，所以，又因为所以，因为 PQOA，所以 轴。设轴于点H，在RtOHQ中，根据，得Q点坐标为（）所以符合条件的点Q的坐标为（）或（）。12. （06湖北武汉市课改卷）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的O的半径为，直线l：与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(4，1)，B与x轴相切于点M。（1）求点A的坐标及CAO的度数；（2）B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转。当B第一次与O相切时，直线l也恰好与B第一次相切。问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？ABOMCyx第25题图AEOCyx第25题图O1（3）如图，过A、O、C三点作O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC、EA、EO，当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合)，的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由。13. （06广东深圳课改卷）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， 交轴于 两点，交轴于两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为（2，0），(1)(3分)求点的坐标. (2)(3分)连结，求证：(3)(分) 如图10-2，过点作的切线，交轴于点.动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 14.(06 安徽芜湖市课改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与C D是水平的，BC与水平面的夹角为600，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将园盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。15. (07芜湖市)24. 已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点 且始终与y轴相切于定点C(0，1)(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2) 若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形解: (1)连结PC、PA、PB，过P点作PHx轴，垂足为H P与轴相切于点C (0，1)，PC轴P点在反比例函数的图象上，P点坐标为（k，1） PA=PC=k在RtAPH中，AH=，OA=OHAH=k A（k，0） 由P交x轴于A、B两点，且PHAB，由垂径定理可知， PH垂直平分ABOB=OA+2AH= k+2=k+，B(k+，0) 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k可设该抛物线解析式为y=a+h 又抛物线过C(0，1)， B(k+，0)， 得： 解得a=1，h=1 抛物线解析式为y=+1（2）由(1)知抛物线顶点D坐标为（k， 1）DH=1 若四边形ADBP为菱形则必有PH=DH PH=1，1=1 又k1，k= 当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形16. (07三明市)26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为(4，0)，以点为圆心，4为半径的圆与轴交于，两点，为弦，是轴上的一动点，连结（1）求的度数；（2分）（2）如图，当与相切时，求的长；（3分）（3）如图，当点在直径上时，的延长线与相交于点，问为何值时，是等腰三角形？（7分）解：（1），是等边三角形 （2）CP与相切， 又（4，0）， （3）过点作，垂足为，延长交于，是半径， ，是等腰三角形又是等边三角形，=2 解法一：过作，垂足为，延长交于，与轴交于，是圆心， 是的垂直平分线 是等腰三角形， 过点作轴于，在中，点的坐标（4+，）在中，点坐标（2，）设直线的关系式为：，则有 解得：当时，解法二： 过A作，垂足为，延长交于，与轴交于，是圆心， 是的垂直平分线 是等腰三角形，平分，是等边三角形， 是等腰直角三角形17. (07山东省滨州市)26. 如图12-1所示，在中，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置若不能，请说明理由（2）当时，设，求与之间的函数解析式，写出的取值范围（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12-2），试探究直线与的位置关系，并证明你的结论图12-1图12-2AEFOCBAEFOCB（图121）（图122）解：如图，（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形此时点的位置分别是：是的中点，与重合与重合，是的中点（2）在和中，又，（3）与相切，即又，点到和的距离相等与相切，点到的距离等于的半径与相切19. (07恩施自治州) 24、如图12，形如三角板的ABC中，ACB=90,ABC=45,BC=12cm，形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm,矩形DEFG的宽EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线上，设运动时间为x（s），矩形量角器和ABC的重叠部分的面积为S(cm2).当x=0(s)时，点E与点C重合.(图（3）、图（4）、图（5）供操作用).（1）当x=3时，如图（2），S= cm2,当x=6时，S= cm2，当x=9时，S= cm2；（2）当3x6时,求S关于x的函数关系式；（3）当6x9时,求S关于x的函数关系式；（4）当x为何值时， ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切？图12解：（1）36,54,18（2）如图，设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H，与直角边AC的交点为M.BE122x，AM1266SSABC -SAMN -SBHE 121266（122x）2 2x2 +24x-18所以，当3x6时，S2x2 +24x-18（3）如图，设矩形DEFG与斜边AB的交点为M，延长FG交AC于点HAH1266,HG2x12SSABC-SAHM-S矩形HCDG 1212666（2x12）12x126所以， 当6x9时,S12x126（4）如图，过点O作ODAB于点D，由题意得OD6ABC=45,ODB=90OB=6x1（秒）过点O作OEAB，交AB的延长线于点E，由题意得OE6OBE=45,OEB=90OB=6x2（秒）故当x等于（9）秒或（9）秒时，ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切.20.(07湖北省襄樊市非课改区)26. (第26题图)ABCxOylPP1QQ1如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是C的切线动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)(1)当t1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l；(2)当t为何值时，直线PQ与C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；(3)在(2)的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NPNQ最小，求出点N的坐标并说明理由21.07(湖南省韶关市) 25.如图6，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，OA=4，AB=2，直线与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点，P是线段DE上的动点.（1）求M、D两点的坐标；（2）当P在什么位置时，PA=PB？求出此时P点的坐标；（3）过P作PHBC，垂足为H，当以PM为直径的F与BC相切于点N时，求梯形PMBH的面积.解: （1）（2）PA=PB，点P在线段AB的中垂线上， 点P的纵坐标是1，又点P在上，点P的坐标为（1） 设P（x,y），连结PN、MN、NF.点P在上，依题意知：PNMN，FNBC，F是圆心.N是线段HB的中点，HN=NB=，HPN+HNP=HNP+BNM=90，HPN=BNM，又PHN=B=90RtPNHRtNMB, ，解得：舍去）， 22.(07湖南省株洲市)25. 已知RtABC，ACB90o，AC4，BC3，CDAB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若O1、O2分别为ACD、BCD的内切圆，求直线的解析式；（3）若直线分别交AC、BC于点M、N，判断CM与CN的大小关系，并证明你的结论. 解: （1）在中，MADBNECyx 同理（2）设的半径为的半径为，则有 同理 由此可求得直线的解析式为： （3）与的大小关系是相等证明如下：法一：由（1）易得直线的解析式为：，联立直线的解析式，求得点的纵坐标为，过点作轴于点，由，得，解得： 同理，法二：由由此可推理：23. (07贵阳市)25. 如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留）（3分）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（4分）图14（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由（5分）解: （1）连接，由勾股定理求得：（2）连接并延长，与弧和交于，弧的长：圆锥的底面直径为：，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥（3）由勾股定理求得：弧的长：圆锥的底面直径为：且即无论半径为何值，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥24. (07陕西省)25. 如图，的半径均为（1）请在图中画出弦，使图为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图中画出弦，使图仍为中心对称图形；（2）如图，在中，且与交于点，夹角为锐角求四边形的面积（用含的式子表示）；（3）若线段是的两条弦，且，你认为在以点为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图说明理由 OOOADECBO（第25题图）（第25题图）（第25题图）（第25题图）解：（1）答案不唯一，如图、（只要满足题意，画对一个图形给2分，画对两个给3分）（第25题答案图）（第25题答案图）（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，（第25题答案图）（3）存在分两种情况说明如下：当与相交时，由（2）及知（第25题答案图）132OBCEHAD当与不相交时，如图，而延长交于点，连接，则过点作，垂足为，则当时，取最大值综合、可知，当，即四边形是边长为的正方形时，为最大值25. (07甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中，A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作A的切线BC，交x轴于点B（1）求直线CB的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；（3）试判断点C是否在抛物线上？ （4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与AOC相似？直接写出两组这样的点解:（1）方法一：连结，则 ， OC=又 RtAOCRtCOB， OB=6 点坐标为，点坐标为设直线的解析式为y=kx+b，可求得直线的解析式为方法二：连结，则 ， ACO=30 o，CAO=60 o CBA=30 o AB=2AC=8 OB=AB-AO=6 以下同证法一（2） 由题意得，与轴的交点分别为、，抛物线的对称轴过点为直线 抛物线的顶点在直线上， 抛物线顶点坐标为 设抛物线解析式为，C1 抛物线过点， ，解得 抛物线的解析式为，即（3）点在抛物线上因为抛物线与轴的交点坐标为，如图(4) 存在，这三点分别是E、C、F与E、C1、F，C1的坐标为（4，）即ECFAOC、EC1FAOC，如图 26. .(07甘肃省陇南市)28. 如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1(1)求、的值；(2）求直线PC的解析式；(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系，并说明理由(参考数：，)解： (1)由已知条件可知： 抛物线经过A(-3，0)、B(1，0)两点 解得 (2) ， P(-1，-2)，C设直线PC的解析式是，则 解得 直线PC的解析式是说明：只要求对，不写最后一步，不扣分 (3) 如图，过点A作AEPC，垂足为E设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为(3，0) 在RtOCD中， OC=， OA=3，AD=6 COD=AED=90o，CDO公用， CODAED ， 即 ， 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离27. （07绵阳市）25.如图，已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，M的半径为设M与y轴交于D，抛物线的顶点为E（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设DBC = a，CBE = b，求sin（ab）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意可知C（0，3）， 抛物线的解析式为y = ax22ax3（a0），过M作MNy轴于N，连结CM，则MN = 1， CN = 2，于是m =1同理可求得B（3，0）， a3222a33 = 0，得 a = 1， 抛物线的解析式为y = x22x3 （2）由（1）得 A（1，0），E（1，4），D（0，1） 在RtBCE中， ， ，即 ， RtBODRtBCE，得 CBE =OBD =b，因此 sin（ab）= sin（DBCOBD）= sinOBC =（3）显然 RtCOARtBCE，此时点P1（0，0）过A作AP2AC交y正半轴于P2，由RtCAP2 RtBCE，得过C作CP3AC交x正半轴于P3，由RtP3CARtBCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，13），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似28. （07南充市）25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（2）点Q（8，m）在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB的最小值（3）CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式 CAMBxyODE解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），抛物线过点A和B，则解得则抛物线的解析式为 故C（0，2）（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）（3分）（2）如图，抛物线对称轴l是x4Q（8，m）抛物线上，m2过点Q作QKx轴于点K，则K（8，0），QK2，AK6，AQ又B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，PQPB的最小值AQCAMBxyODEQPK图lCAMBxyODE图（3）如图，连结EM和CM由已知，得EMOC2CE是M的切线，DEM90，则DEMDOC又ODCEDM故DEMDOCODDE，CDMD又在ODE和MDC中，ODEMDC，DOEDEODCMDMC则OECM设CM所在直线的解析式为ykxb，CM过点C（0，2），M（4，0），解得直线CM的解析式为又直线OE过原点O，且OECM，则OE的解析式为yx29. （07内江市）25.如图（13），已知平行四边形的顶点的坐标是，平行于轴，三点在抛物线上，交轴于点，一条直线与交于点，与交于点，如果点的横坐标为，四边形的面积为（1）求出两点的坐标；（2）求的值；（3）作的内切圆，切点分别为，求的值图（13）解：（1）点A的坐标为（0，16），且ABx轴B点纵坐标为4，且B点在抛