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22、 如图(18),在平面直角坐标系中,的边在轴上,且,以为直径的圆过点若点的坐标为,A、B两点的横坐标,是关于的方程的两根(1)求、的值;(2)若平分线所在的直线交轴于点,试求直线对应的一次函数解析式;yx图(3)NBACODMEF(0,2)l(3)过点任作一直线分别交射线、(点除外)于点、则的是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由解:(1)以为直径的圆过点,而点的坐标为,由易知,即:,解之得:或,即由根与系数关系有:,解之, (2)如图(3),过点作,交于点,易知,且,在中,易得, , ,又,有,则,即,易求得直线对应的一次函数解析式为:解法二:过作于,于,由,求得 又求得即,易求直线解析式为:(3)过点作于,于为的平分线,由,有 由,EADGBFCOM第25题图有, 即(2013常州)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的O上,连接OC,过O点作ODOC,OD与O相交于点D(其中点C、O、D按逆时针方向排列),连接AB(1)当OCAB时,BOC的度数为45或135;(2)连接AC,BC,当点C在O上运动到什么位置时,ABC的面积最大?并求出ABC的面积的最大值(3)连接AD,当OCAD时,求出点C的坐标;直线BC是否为O的切线?请作出判断,并说明理由考点:圆的综合题3718684专题:综合题分析:(1)根据点A和点B坐标易得OAB为等腰直角三角形,则OBA=45,由于OCAB,所以当C点在y轴左侧时,有BOC=OBA=45;当C点在y轴右侧时,有BOC=180OBA=135;(2)由OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6,根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时,ABC的面积最大,过O点作OEAB于E,OE的反向延长线交O于C,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE,然后计算ABC的面积;(3)过C点作CFx轴于F,易证RtOCFRtAOD,则=,即=,解得CF=,再利用勾股定理计算出OF=,则可得到C点坐标;由于OC=3,OF=,所以COF=30,则可得到BOC=60,AOD=60,然后根据“SAS”判断BOCAOD,所以BCO=ADC=90,再根据切线的判定定理可确定直线BC为O的切线解答:解:(1)点A(6,0),点B(0,6),OA=OB=6,OAB为等腰直角三角形,OBA=45,OCAB,当C点在y轴左侧时,BOC=OBA=45;当C点在y轴右侧时,BOC=180OBA=135;(2)OAB为等腰直角三角形,AB=OA=6,当点C到AB的距离最大时,ABC的面积最大,过O点作OEAB于E,OE的反向延长线交O于C,如图,此时C点到AB的距离的最大值为CE的长,OAB为等腰直角三角形,AB=OA=6,OE=AB=3,CE=OC+CE=3+3,ABC的面积=CEAB=(3+3)6=9+18当点C在O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时,ABC的面积最大,最大值为9+18(3)如图,过C点作CFx轴于F,OCAD,ADO=COD=90,DOA+DAO=90而DOA+COF=90,COF=DAO,RtOCFRtAOD,=,即=,解得CF=,在RtOCF中,OF=,C点坐标为(,);直线BC是O的切线理由如下:在RtOCF中,OC=3,OF=,COF=30,OAD=30,BOC=60,AOD=60,在BOC和AOD中,BOCAOD(SAS),BCO=ADC=90,OCBC,直线BC为O的切线点评:本题考查了圆的综合题:掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质;熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算如图,O1交x轴于AB两点,交y轴于CD两点,圆心O1在y轴上,过C点,作CM弦AE,垂足为M,Q在BE的延长线上.(1)求证QEC=CEA(2)问的值是否发生变化?请说明理由. Q证:(1)略(2)作CNBQ于N,证CACB,CAMCBN,CMCN。证AMBN,EMEN, 本题也可在AE上截AFBE,证CAFBCE.5如图,A(0,4),F(2,0),点O1在x轴上,O1经过A、F两点,与x轴正半轴交于B点,交y轴负半轴于C点.过A、O、B三点作O2.(1)求O2的半径.(2)点E在O1上,连AE,交O2于P点,连CE,求的值.M解:(1)设O1的半径为R,在AOO1中,R5,则OB8,AB,故O2半径为。(2)证BABC,在AE上截AMCE,证AMBCEB,BMBE,证APBAOB90,PMPE ,1.(06甘肃嘉峪关、定西卷)如图,在中,所对的圆心角为,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系(1)求圆心的坐标;(2)求经过三点的抛物线的解析式;(3)点是弦所对的优弧上一动点,求四边形的最大面积;(4)在(2)中的抛物线上是否存在一点,使和相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)如图(1),连结则, , (2)由三点的特殊性与对称性,知经过三点的抛物线的解析式为 图1, (3),又与均为定值, 当边上的高最大时,最大,此时点为与轴的交点,如图1 (4)方法1:如图2,为等腰三角形,图2等价于 设且,则, 又的坐标满足,在抛物线上,存在点,使由抛物线的对称性,知点也符合题意存在点,它的坐标为或 方法2:如图(3),当时,又由(1)知,点在直线上设直线的解析式为,将代入,解得直线的解析式为 解方程组得 又,在抛物线上,存在点,使由抛物线的对称性,知点也符合题意存在点,它的坐标为或 方法3:如图3,为等腰三角形,且,设则 图3等价于, 当时,得解得 又的坐标满足,在抛物线上,存在点,使由抛物线的对称性,知点也符合题意存在点,它的坐标为或 点评本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题,涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识,解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识,须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题,很有可能会有多解的情况出现,此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。2.(06湖南湘潭卷)已知:如图,抛物线的图象与轴分别交于两点,与轴交于点,经过原点及点,点是劣弧上一动点(点与不重合)(1)求抛物线的顶点的坐标;(2)求的面积;(3)连交于点,延长至,使,试探究当点运动到何处时,直线与相切,并请说明理由解 (1)抛物线的坐标为(说明:用公式求点的坐标亦可)(2)连;过为的直径而(3)当点运动到的中点时,直线与相切理由:在中,点是的中点,在中,为等边三角形又为直径,当为的中点时,为的切线点评本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究,因此数形结合的解题思想是不可缺少的,解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。3(06湖南永州卷)如图,以为圆心的两个同心圆中,大圆的直径交小圆于两点,大圆的弦切小圆于点,过点作直线,垂足为,交大圆于两点(1)试判断线段与的大小关系,并说明理由(2)求证:(3)若是方程的两根(),求图中阴影部分图形的周长ABCDEONHMF解 (1)相等 连结,则,故 (2)由,得, 又由,得 (3)解方程得:, ,在中,在中,弧长, 阴影部分周长 点评本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识。4. (06辽宁卷)如图,已知,以点为圆心,以长为半径的圆交轴于另一点,过点作交于点,直线交轴于点(1)求证:直线是的切线;(2)求点的坐标及直线的解析式;xyABCOFE(3)有一个半径与的半径相等,且圆心在轴上运动的若与直线相交于两点,是否存在这样的点,使是直角三角形若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)证明:连结 又又是的切线(2)方法由(1)知,又,由解得(舍去)或,直线经过,两点设的解析式:解得直线的解析式为 方法:切于点,又,即又,由解得(舍去)或 (求的解析式同上)方法,切于点,由解得:, (求的解析式同上)(3)存在;当点在点左侧时,若,过点作于点, 当点在点右侧时,设,过点作于点,则,可知与关于点中心对称,根据对称性得xyABCOPFMEHNQ1234存在这样的点,使得为直角三角形,点坐标或点评本题是一道综合性很强的传统型压轴题,其难度比较恰当,选拔功能较强,解第3小题时要注意分类讨论,这是本题最容易失分的地方5. (06辽宁沈阳卷)如图,在平面直角坐标系中,直线分别与轴,轴交于点,点(1)以为一边在第一象限内作等边及的外接圆(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);(2)若与轴的另一个交点为点,求,四点的坐标;(3)求经过,三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点,使的面积等于的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由解 (1)如图,正确作出图形,保留作图痕迹(2)由直线,求得点的坐标为,点的坐标为在中,是等边三角形,点的坐标为,连结是等边三角形直线是的切线点的坐标为(3)设经过,三点的抛物线的解析式是把代入上式得抛物线的解析式是存在点,使的面积等于的面积点的坐标分别为,点评本题是一道综合性很强的压轴题,主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识,第3小题是比较常规的结论存在性问题,运用方程思想和数形结合思想可解决。6. (06山东滨州卷)已知:抛物线与轴相交于两点,且()若,且为正整数,求抛物线的解析式;()若,求的取值范围;()试判断是否存在,使经过点和点的圆与轴相切于点,若存在,求出的值;若不存在,试说明理由;()若直线过点,与()中的抛物线相交于两点,且使,求直线的解析式解 ()解法一:由题意得, 解得, 为正整数, 解法二:由题意知,当时, (以下同解法一) 解法三:, 又 (以下同解法一) 解法四:令,即, (以下同解法三)()解法一: ,即 , 解得 的取值范围是xyO 解法二:由题意知,当时, 解得: 的取值范围是 解法三:由()的解法三、四知, , 的取值范围是 ()存在 解法一:因为过两点的圆与轴相切于点,所以两点在轴的同侧, 由切割线定理知, 即, 解法二:连接圆心所在直线, 设直线与轴交于点,圆心为, 则 , 在中, 即解得 ()设,则yx7 过分别向轴引垂线,垂足分别为 则 所以由平行线分线段成比例定理知, 因此,即 过分别向轴引垂线,垂足分别为, 则所以 ,或 当时,点直线过, 解得 当时,点直线过, 解得故所求直线的解析式为:,或 点评本题对学生有一定的能力要求,涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识,是一道选拔功能卓越的好题。7. (06四川课改卷)如图,在平面直角坐标系中,已知点,以为边在轴下方作正方形,点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点,连结与相交于点(1)求证:;(2)设直线是的边的垂直平分线,且与相交于点若是的外心,试求经过三点的抛物线的解析表达式;(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点,使该点关于直线的对称点在轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由AEODCBGFxyl解 (1)在和中,四边形是正方形,又,(2)由(1),有,点是的外心,点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形,而,设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点,把点,点的坐标代入中,得即解得抛物线的解析表达式为(3)假定在抛物线上存在一点,使点关于直线的对称点在轴上是的平分线,轴上的点关于直线的对称点必在直线上,即点是抛物线与直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为,并设直线与轴交于点,则由是等腰直角三角形把点,点代入中,得直线的解析表达式为设点,则有把代入,得,即解得或当时,;当时,在抛物线上存在点,它们关于直线的对称点都在轴上点评本题有一定的难度,综合性也比较强,有一定的新意,第3小问有些难度,有一定的能力要求,解这种题时需冷静地分析题意,找到切入点不会很难。8. (06浙江卷课改)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0,),直线l2的函数表达式为,l1与l2相交于点PC是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a过点C作CMx轴,垂足是点M(1)填空:直线l1的函数表达式是 ,交点P的坐标是 ,FPB的度数是 ;(2)当C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于C的半径R,并写出R=时a的值.(3)当C和直线l2不相离时,已知C的半径R=,记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C解 (1) P(1,)60(2)设C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示,D是切点,连接CD,则CDPD2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C(第24题图甲)GDM过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则RtCDPRtPGC (PCD=CPG=30,CP=PC), 所以PG=CD=R 当点C在射线PA上,C和直线l2相切时,同理可证取R=时,a=1+R=,或a=-(R-1)(3) 当C和直线l2不相离时,由(2)知,分两种情况讨论: 如图乙,当0a时,2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C图2NM, 当时,(满足a),S有最大值此时(或) 当a0时,显然C和直线l2相切即时,S最大此时 综合以上和,当或时,存在S的最大值,其最大面积为 点评此题也较为新颖,符合新课标的理念,揭示了求最值的一般方法,本题的难度设置也较为合适,使同学们都能有发挥自己能力的空间。9. (06山东济南课改卷)如图1,已知中,过点作,且,连接交于点(1)求的长;(2)以点为圆心,为半径作,试判断与是否相切,并说明理由;(3)如图2,过点作,垂足为以点为圆心,为半径作;以点为圆心,为半径作若和的大小是可变化的,并且在变化过程中保持和相切,且使点在的内部,点在的外部,求和的变化范围ABCPEEABCP图1图2解 (1)在中, , (2)与相切 在中, 又,与相切 (3)因为,所以的变化范围为 当与外切时,所以的变化范围为;当与内切时,所以的变化范围为点评本题是一道比较传统的几何综合题,第1题运用相似三角形知识即可得解,第2小题也较基础,第3小题注意要分类,试题中只说明了“和相切”,很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。8,(06江苏宿迁课改卷)设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d(1)如图,当ra时,根据d与a、r之间关系,将O与正方形的公共点个数填入下表:d、a、r之间关系公共点的个数dar图darardardardar所以,当ra时,O与正方形的公共点的个数可能有个;(2)如图,当ra时,根据d与a、r之间关系,将O与正方形的公共点个数填入下表:d、a、r之间关系图公共点的个数dardaradarda所以,当ra时,O与正方形的公共点个数可能有个;图(3)如图,当O与正方形有5个公共点时,试说明ra;(4)就ra的情形,请你仿照“当时,O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式,至少给出一个关于“O与正方形的公共点个数”的正确结论解 (1)d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1ardar2dar1dar0图 所以,当ra时,O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个; (2)d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1adar2da4图所以,当ra时,O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个; (3)方法一:如图所示,连结OC则OEOCr ,OFEFOE2ar BCDFE 在RtOCF中,由勾股定理得: OF2FC2OC2即(2ar)2a2r2 4a24arr2a2r2 5a24ar5a4r r a BNE方法二:如图,连结BD、OE、BE、DE 四边形BCMN为正方形CMN90BD为O的直径,BED90MDBENDEM 90CBENEBN90DEMEBNBNEEMD DMa 由OE是梯形BDMN的中位线得OE(BNMD)a(4)当ar时,O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个;当ra时,O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个;当时,O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个;当时,O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个;当时,O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个点评本题是一道较为新颖的几何压轴题,考查圆、相似、正方形等几何知识,综合性较强,有一定的难度,试题的区分度把握非常得当,是一道很不错的压轴题。9. (06山东枣庄课改卷)半径为2.5的O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P已知BC :CA4 : 3,点P在上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点O(1)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长;(2)当点P运动到的中点时,求CQ的长; (3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长解 (1)当点P与点C关于AB对称时,CPAB,设垂足为D. AB为O的直径, ACB=900. AB=5,AC:CA=4:3, BC=4, AC=3. 又ACBC=ABCD 在RtACB和RtPCQ中, ACBPCQ=900, CABCPQ, RtACBRtPCQ (2)当点P运动到弧AB的中点时,过点B作BEPC于点E(如图). P是弧AB的中点, 又CPB=CAB CPB= tanCAB= 而从 由(l)得, (3)点P在弧AB上运动时,恒有 故PC最大时,CQ取到最大值 当PC过圆心O,即PC取最大值5时,CQ 最大值为 点评本题属于常规的几何综合题,解第3小问时要有动态的思想(在草稿上画画图)不难猜想出结论。10. (内蒙古鄂尔多斯课改卷)如图,点在轴上,交轴于两点,连结并延长交于,过点的直线交轴于,且的半径为,(1)求点的坐标;(2)求证:是的切线;(3)若二次函数的图象经过点,求这个二次函数的解析式,并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围解 (1)如图,连结 , 是的直径(也可用勾股定理求得下面的结论), ,(2)过点 当时, ,(也可用勾股定理逆定理证明)是的切线(3)过点 因为函数与的图象交点是和点(画图可得此结论)所以满足条件的的取值范围是或 点评本题是一道较为常规的综合压轴题,综合性较强,解第3小题时可以借助函数图像来很明了快捷地得出结论。11. (2006江苏常州)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画O,P是O上一动点,且P在第一象限内,过点P作O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B。(1)点P在运动时,线段AB的长度在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;(2)在O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。解 (1)线段AB长度的最小值为4 理由如下: 连接OP 因为AB切O于P,所以OPAB 取AB的中点C,则 当时,OC最短, 即AB最短,此时 (2)设存在符合条件的点Q, 如图,设四边形APOQ为平行四边形,因为四边形APOQ为矩形又因为所以四边形APOQ为正方形所以,在RtOQA中,根据,得Q点坐标为()。 如图,设四边形APQO为平行四边形因为OQPA,所以,又因为所以,因为 PQOA,所以 轴。设轴于点H,在RtOHQ中,根据,得Q点坐标为()所以符合条件的点Q的坐标为()或()。12. (06湖北武汉市课改卷)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的O的半径为,直线l:与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),B与x轴相切于点M。(1)求点A的坐标及CAO的度数;(2)B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针匀速旋转。当B第一次与O相切时,直线l也恰好与B第一次相切。问:直线AC绕点A每秒旋转多少度?ABOMCyx第25题图AEOCyx第25题图O1(3)如图,过A、O、C三点作O1,点E为劣弧AO上一点,连接EC、EA、EO,当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合),的值是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由。13. (06广东深圳课改卷)(10分)如图10-1,在平面直角坐标系中,点在轴的正半轴上, 交轴于 两点,交轴于两点,且为的中点,交轴于点,若点的坐标为(2,0),(1)(3分)求点的坐标. (2)(3分)连结,求证:(3)(分) 如图10-2,过点作的切线,交轴于点.动点在的圆周上运动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. 14.(06 安徽芜湖市课改卷)一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,AB与C D是水平的,BC与水平面的夹角为600,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出该小朋友将园盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度。15. (07芜湖市)24. 已知圆P的圆心在反比例函数图象上,并与x轴相交于A、B两点 且始终与y轴相切于定点C(0,1)(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2) 若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,四边形ADBP为菱形解: (1)连结PC、PA、PB,过P点作PHx轴,垂足为H P与轴相切于点C (0,1),PC轴P点在反比例函数的图象上,P点坐标为(k,1) PA=PC=k在RtAPH中,AH=,OA=OHAH=k A(k,0) 由P交x轴于A、B两点,且PHAB,由垂径定理可知, PH垂直平分ABOB=OA+2AH= k+2=k+,B(k+,0) 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k可设该抛物线解析式为y=a+h 又抛物线过C(0,1), B(k+,0), 得: 解得a=1,h=1 抛物线解析式为y=+1(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(k, 1)DH=1 若四边形ADBP为菱形则必有PH=DH PH=1,1=1 又k1,k= 当k取时,PD与AB互相垂直平分,则四边形ADBP为菱形16. (07三明市)26. 如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为(4,0),以点为圆心,4为半径的圆与轴交于,两点,为弦,是轴上的一动点,连结(1)求的度数;(2分)(2)如图,当与相切时,求的长;(3分)(3)如图,当点在直径上时,的延长线与相交于点,问为何值时,是等腰三角形?(7分)解:(1),是等边三角形 (2)CP与相切, 又(4,0), (3)过点作,垂足为,延长交于,是半径, ,是等腰三角形又是等边三角形,=2 解法一:过作,垂足为,延长交于,与轴交于,是圆心, 是的垂直平分线 是等腰三角形, 过点作轴于,在中,点的坐标(4+,)在中,点坐标(2,)设直线的关系式为:,则有 解得:当时,解法二: 过A作,垂足为,延长交于,与轴交于,是圆心, 是的垂直平分线 是等腰三角形,平分,是等边三角形, 是等腰直角三角形17. (07山东省滨州市)26. 如图12-1所示,在中,为的中点,动点在边上自由移动,动点在边上自由移动(1)点的移动过程中,是否能成为的等腰三角形?若能,请指出为等腰三角形时动点的位置若不能,请说明理由(2)当时,设,求与之间的函数解析式,写出的取值范围(3)在满足(2)中的条件时,若以为圆心的圆与相切(如图12-2),试探究直线与的位置关系,并证明你的结论图12-1图12-2AEFOCBAEFOCB(图121)(图122)解:如图,(1)点移动的过程中,能成为的等腰三角形此时点的位置分别是:是的中点,与重合与重合,是的中点(2)在和中,又,(3)与相切,即又,点到和的距离相等与相切,点到的距离等于的半径与相切19. (07恩施自治州) 24、如图12,形如三角板的ABC中,ACB=90,ABC=45,BC=12cm,形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm,矩形DEFG的宽EF=6cm,矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在BC所在的直线上,设运动时间为x(s),矩形量角器和ABC的重叠部分的面积为S(cm2).当x=0(s)时,点E与点C重合.(图(3)、图(4)、图(5)供操作用).(1)当x=3时,如图(2),S= cm2,当x=6时,S= cm2,当x=9时,S= cm2;(2)当3x6时,求S关于x的函数关系式;(3)当6x9时,求S关于x的函数关系式;(4)当x为何值时, ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切?图12解:(1)36,54,18(2)如图,设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H,与直角边AC的交点为M.BE122x,AM1266SSABC -SAMN -SBHE 121266(122x)2 2x2 +24x-18所以,当3x6时,S2x2 +24x-18(3)如图,设矩形DEFG与斜边AB的交点为M,延长FG交AC于点HAH1266,HG2x12SSABC-SAHM-S矩形HCDG 1212666(2x12)12x126所以, 当6x9时,S12x126(4)如图,过点O作ODAB于点D,由题意得OD6ABC=45,ODB=90OB=6x1(秒)过点O作OEAB,交AB的延长线于点E,由题意得OE6OBE=45,OEB=90OB=6x2(秒)故当x等于(9)秒或(9)秒时,ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切.20.(07湖北省襄樊市非课改区)26. (第26题图)ABCxOylPP1QQ1如图,在平面直角坐标系中,以点C(0,4)为圆心,半径为4的圆交y轴正半轴于点A,AB是C的切线动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P、Q从点A和点O同时出发,设运动时间为t(秒)(1)当t1时,得到P1、Q1两点,求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l;(2)当t为何值时,直线PQ与C相切?并写出此时点P和点Q的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线对称轴l上存在一点N,使NPNQ最小,求出点N的坐标并说明理由21.07(湖南省韶关市) 25.如图6,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,AB=2,直线与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点,P是线段DE上的动点.(1)求M、D两点的坐标;(2)当P在什么位置时,PA=PB?求出此时P点的坐标;(3)过P作PHBC,垂足为H,当以PM为直径的F与BC相切于点N时,求梯形PMBH的面积.解: (1)(2)PA=PB,点P在线段AB的中垂线上, 点P的纵坐标是1,又点P在上,点P的坐标为(1) 设P(x,y),连结PN、MN、NF.点P在上,依题意知:PNMN,FNBC,F是圆心.N是线段HB的中点,HN=NB=,HPN+HNP=HNP+BNM=90,HPN=BNM,又PHN=B=90RtPNHRtNMB, ,解得:舍去), 22.(07湖南省株洲市)25. 已知RtABC,ACB90o,AC4,BC3,CDAB于点D,以D为坐标原点,CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.(1)求A、B、C三点的坐标;(2)若O1、O2分别为ACD、BCD的内切圆,求直线的解析式;(3)若直线分别交AC、BC于点M、N,判断CM与CN的大小关系,并证明你的结论. 解: (1)在中,MADBNECyx 同理(2)设的半径为的半径为,则有 同理 由此可求得直线的解析式为: (3)与的大小关系是相等证明如下:法一:由(1)易得直线的解析式为:,联立直线的解析式,求得点的纵坐标为,过点作轴于点,由,得,解得: 同理,法二:由由此可推理:23. (07贵阳市)25. 如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形(1)求这个扇形的面积(结果保留)(3分)(2)在剩下的三块余料中,能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由(4分)图14(3)当的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由(5分)解: (1)连接,由勾股定理求得:(2)连接并延长,与弧和交于,弧的长:圆锥的底面直径为:,不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥(3)由勾股定理求得:弧的长:圆锥的底面直径为:且即无论半径为何值,不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥24. (07陕西省)25. 如图,的半径均为(1)请在图中画出弦,使图为轴对称图形而不是中心对称图形;请在图中画出弦,使图仍为中心对称图形;(2)如图,在中,且与交于点,夹角为锐角求四边形的面积(用含的式子表示);(3)若线段是的两条弦,且,你认为在以点为顶点的四边形中,是否存在面积最大的四边形?请利用图说明理由 OOOADECBO(第25题图)(第25题图)(第25题图)(第25题图)解:(1)答案不唯一,如图、(只要满足题意,画对一个图形给2分,画对两个给3分)(第25题答案图)(第25题答案图)(2)过点分别作的垂线,垂足分别为,(第25题答案图)(3)存在分两种情况说明如下:当与相交时,由(2)及知(第25题答案图)132OBCEHAD当与不相交时,如图,而延长交于点,连接,则过点作,垂足为,则当时,取最大值综合、可知,当,即四边形是边长为的正方形时,为最大值25. (07甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中,A的半径为4,圆心A的坐标为(2,0),A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过点C作A的切线BC,交x轴于点B(1)求直线CB的解析式;(2)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上,与x 轴的交点恰为点E、F,求该抛物线的解析式;(3)试判断点C是否在抛物线上? (4) 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与AOC相似?直接写出两组这样的点解:(1)方法一:连结,则 , OC=又 RtAOCRtCOB, OB=6 点坐标为,点坐标为设直线的解析式为y=kx+b,可求得直线的解析式为方法二:连结,则 , ACO=30 o,CAO=60 o CBA=30 o AB=2AC=8 OB=AB-AO=6 以下同证法一(2) 由题意得,与轴的交点分别为、,抛物线的对称轴过点为直线 抛物线的顶点在直线上, 抛物线顶点坐标为 设抛物线解析式为,C1 抛物线过点, ,解得 抛物线的解析式为,即(3)点在抛物线上因为抛物线与轴的交点坐标为,如图(4) 存在,这三点分别是E、C、F与E、C1、F,C1的坐标为(4,)即ECFAOC、EC1FAOC,如图 26. .(07甘肃省陇南市)28. 如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是3,点B的横坐标是1(1)求、的值;(2)求直线PC的解析式;(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC的位置关系,并说明理由(参考数:,)解: (1)由已知条件可知: 抛物线经过A(-3,0)、B(1,0)两点 解得 (2) , P(-1,-2),C设直线PC的解析式是,则 解得 直线PC的解析式是说明:只要求对,不写最后一步,不扣分 (3) 如图,过点A作AEPC,垂足为E设直线PC与轴交于点D,则点D的坐标为(3,0) 在RtOCD中, OC=, OA=3,AD=6 COD=AED=90o,CDO公用, CODAED , 即 , 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离27. (07绵阳市)25.如图,已知抛物线y = ax2 + bx3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,M的半径为设M与y轴交于D,抛物线的顶点为E(1)求m的值及抛物线的解析式;(2)设DBC = a,CBE = b,求sin(ab)的值;(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)由题意可知C(0,3), 抛物线的解析式为y = ax22ax3(a0),过M作MNy轴于N,连结CM,则MN = 1, CN = 2,于是m =1同理可求得B(3,0), a3222a33 = 0,得 a = 1, 抛物线的解析式为y = x22x3 (2)由(1)得 A(1,0),E(1,4),D(0,1) 在RtBCE中, , ,即 , RtBODRtBCE,得 CBE =OBD =b,因此 sin(ab)= sin(DBCOBD)= sinOBC =(3)显然 RtCOARtBCE,此时点P1(0,0)过A作AP2AC交y正半轴于P2,由RtCAP2 RtBCE,得过C作CP3AC交x正半轴于P3,由RtP3CARtBCE,得P3(9,0)故在坐标轴上存在三个点P1(0,0),P2(0,13),P3(9,0),使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似28. (07南充市)25.如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B已知抛物线过点A和B,与y轴交于点C(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象(2)点Q(8,m)在抛物线上,点P为此抛物线对称轴上一个动点,求PQPB的最小值(3)CE是过点C的M的切线,点E是切点,求OE所在直线的解析式 CAMBxyODE解:(1)由已知,得A(2,0),B(6,0),抛物线过点A和B,则解得则抛物线的解析式为 故C(0,2)(说明:抛物线的大致图象要过点A、B、C,其开口方向、顶点和对称轴相对准确)(3分)(2)如图,抛物线对称轴l是x4Q(8,m)抛物线上,m2过点Q作QKx轴于点K,则K(8,0),QK2,AK6,AQ又B(6,0)与A(2,0)关于对称轴l对称,PQPB的最小值AQCAMBxyODEQPK图lCAMBxyODE图(3)如图,连结EM和CM由已知,得EMOC2CE是M的切线,DEM90,则DEMDOC又ODCEDM故DEMDOCODDE,CDMD又在ODE和MDC中,ODEMDC,DOEDEODCMDMC则OECM设CM所在直线的解析式为ykxb,CM过点C(0,2),M(4,0),解得直线CM的解析式为又直线OE过原点O,且OECM,则OE的解析式为yx29. (07内江市)25.如图(13),已知平行四边形的顶点的坐标是,平行于轴,三点在抛物线上,交轴于点,一条直线与交于点,与交于点,如果点的横坐标为,四边形的面积为(1)求出两点的坐标;(2)求的值;(3)作的内切圆,切点分别为,求的值图(13)解:(1)点A的坐标为(0,16),且ABx轴B点纵坐标为4,且B点在抛
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