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第五节椭圆考纲传真1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质1椭圆的定义(1)我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；当2a|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；当2a|F1F2|时，M点的轨迹不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2与椭圆定义有关的结论以椭圆1(ab0)上一点P(x0，y0)(y00)和焦点F1(c,0)，F2(c,0)为顶点的PF1F2中，若F1PF2，则(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .(3)S|PF1|PF2|sin ，当|y0|b，即P为短轴端点时，S取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(ac)(5)已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)设P是椭圆1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10D依椭圆的定义知：|PF1|PF2|2510.3若方程1表示椭圆，则m的取值范围是()A(3,5)B(5,3)C(3,1)(1,5)D(5,1)(1,3)C由方程表示椭圆知解得3m0)的左焦点为F1(4,0)，则m()A2 B3 C4 D9B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5，25m216，解得m3或3.又m0，故m3.5(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为_1设椭圆的标准方程为1(ab0)因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆的标准方程为1.椭圆的定义与标准方程1已知ABC的顶点B，C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2B6C4D12C由椭圆的方程得a.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|BF|CA|CF|2a，所以ABC的周长为|BA|BC|CA|BA|BF|CF|CA|(|BA|BF|)(|CF|CA|)2a2a4a4.2(2019济南调研)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C1 D1D设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)168|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.3(2019徐州模拟)已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_.3设|PF1|r1，|PF2|r2，则 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以Sr1r2b29，所以b3.4已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_1设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.规律方法1.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题2求椭圆标准方程的常用方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式椭圆的几何性质 考法1求离心率的值或取值范围【例1】(1)(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A. B. C D(2)若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为21，则此椭圆离心率的取值范围是()A. B. C D(1)B(2)D(1)椭圆方程为1，a3，c.e.故选B.(2)设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k2a，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k2c，2a6c，即e.又0e1，e0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为_(1)C(2)(1)如图所示，线段PF1的中垂线经过F2，|PF2|F1F2|2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|2c，ac2cac.e.(2)因为椭圆y21(a0)的焦点在x轴上，所以c，又过右焦点且垂直于x轴的直线为xc，将其代入椭圆方程中，得y21，则y ，又|AB|1，所以21，得，所以该椭圆的离心率e(负值舍去)直线与椭圆的位置关系【例3】已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点规律方法 直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法(1)类型：一是判断位置关系；二是根据位置关系确定参数的取值范围(2)解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪训练 直线ykx1与椭圆1相切，则k，a的取值范围分别是()Aa(0,1)，k Ba(0,1，kCa(0,1)，k Da(0,1，kB直线ykx1是椭圆的切线，且过点(0，1)，点(0，1)必在椭圆上或其外部，a(0,1由方程组消去x，得(a4k2)y22aya4ak20.直线和椭圆相切，(2a)24(a4k2)(a4ak2)16ak2(a14k2)0，k0或a14k2.0a1，014k21，k2，k1(2018全国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.B.CDC不妨设a0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c2，所以a2448，所以a2，所以椭圆C的离心率e.2(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1B2C D1D由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D3(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C DB不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e.故选B.4(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)A法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A.法二：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)故选A.- 10 -
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