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第15讲函数与方程题型1函数零点个数的判断(对应学生用书第50页)核心知识储备1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0)，所以nln xx0.令g(x)nln xx，则函数fn(x)的零点与函数g(x)nln xx的零点相同因为g(x)1，令g(x)0，得xn，所以当xn时，g(x)0；当0x0，所以函数g(x)在区间(0，n上单调递增，在区间n，)上单调递减所以函数g(x)在xn处有最大值，且g(n)nln nn.当n1时，g(1)ln 1110，所以函数g(x)nln xx的零点个数为0；当n2时，g(2)2ln 22n(ln e1)0，因为g(e2n)nln e2ne2n2n24n2n2(13)n2n22n213n3n(n1)n210，且g(1)0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)nln xx在区间(1，n)和(n，)内都恰有一个零点所以函数g(x)nln xx的零点个数为2.综上所述，当n1或n2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n3且nN*时，函数fn(x)的零点个数为2.类题通法1.求函数零点个数的两种方法：(1)由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断；(2)由函数的单调性及函数极值的正负来确定.2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.对点即时训练1已知函数f(x)，则函数F(x)ff(x)2f(x)的零点个数是()A4B5C6D7A(数形结合思想)令f(x)t，则函数F(x)可化为yf(t)2t，则函数F(x)的零点问题可转化为方程f(t)2t0有根的问题令yf(t)2t0，即f(t)2t，如图(1)，由数形结合得t10,1t22，如图(2)，再由数形结合得，当f(x)0时，x2，有1个解，当f(x)t2时，有3个解，所以F(x)ff(x)2f(x)共有4个零点故选A.图(1)图(2)2函数f(x)cos 2x在区间3,3上零点的个数为()A3B4C5D6 C设函数g(x)1x，h(x)cos 2x，则f(x)g(x)h(x)，g(x)1xx2x3x2 015x2 016(1x)x2(1x)x2 014(1x)x2 016.当3x1时，显然g(x)0；g(x)1x(x1)x3(x1)x2 015(x1)，当10，所以g(x)在区间3,3上是增函数，又g(1)0，所以g(x)在区间3,3上有且只有1个零点x0(1,0)，且x0.h(x)cos 2x在区间3,3上有4个零点：，所以函数f(x)g(x)h(x)在区间3,3上有5个零点题型强化集训(见专题限时集训T2、T5、T6、T13、T14)题型2已知函数的零点个数求参数的取值范围(对应学生用书第51页)核心知识储备已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数的值或取值范围常用的方法：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解典题试解寻法【典题1】(考查已知函数的零点个数求参数范围)(2017太原二模)已知f(x)x2ex，若函数g(x)f2(x)kf(x)1恰有四个零点，则实数k的取值范围是()A(，2)(2，)B.C.D思路分析f(x)x2ex画f(x)的图象g(x)有四个零点方程t2kt10在和各有1解实数k的取值范围解析(数形结合思想)f(x)xex(x2)，令f(x)0，得f(x)的单调递增区间为(，2)，(0，)，令f(x)0为函数f(x)的极大值，f(0)0为函数f(x)的极小值，故f(x)0，作出其函数图象如图所示因为函数g(x)f2(x)kf(x)1恰有四个零点，令f(x)t，则关于t的方程t2kt10有两个不相同的根，记为t1，t2，且0t14e2,4e2，故选D.答案D【典题2】(考查已知方程根的个数求参数范围)已知函数f(x)，其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_. 【导学号：07804106】思路分析方程f(x)b有三个不同的根函数f(x)与函数yb有三个不同的交点依据m的取值画函数f(x)的图象求m的取值范围解析f(x)当xm时，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其顶点为(m,4mm2)；当xm时，函数f(x)的图象与直线xm的交点为Q(m，m)当即03时，函数f(x)的图象如图(2)所示，则存在实数b满足4mm2bm，使得直线yb与函数f(x)的图象有三个不同的交点，符合题意综上，m的取值范围为(3，)图(1) 图(2)答案(3，)【典题3】(考查导数在函数零点中的应用)(2016全国卷节选)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点，求a的取值范围思路分析求f(x)求函数的单调性及极值确定a的取值范围解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内单调递减，在(1，)内单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且bln ，则f(b)(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在两个零点设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则ln(2a)1，故当x(1，)时，f(x)0，因此f(x)在(1，)内单调递增又当x1时，f(x)0，所以f(x)不存在两个零点若a0，则a的取值范围是() 【导学号：07804108】A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)Bf(x)3ax26x，当a3时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f(x)0；x时，f(x)0，注意f(0)1，f0，则f(x)的大致图象如图(1)所示图(1)不符合题意，排除A、C.当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f，则f(x)的大致图象如图(2)所示图(2)不符合题意，排除D.3.(2017全国卷)已知函数f(x)ae2x(a2)exx.(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解(分类讨论思想)(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)()若a0，则f(x)0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点()若a0，由(1)知，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)1ln a.当a1时，由于f(ln a)0，故f(x)只有一个零点；当a(1，)时，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)没有零点；当a(0,1)时，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)有一个零点设正整数n0满足n0ln，则f(n0)e(aea2)n0en02n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一个零点综上，a的取值范围为(0,1)9
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