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第八节函数与方程考纲传真结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数1函数的零点(1)定义：把函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)三个等价关系：方程f(x)0有实数解函数f(x)的图像与x轴有公共点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点2二次函数yax2bxc(a0)的图像与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101函数f(x)在区间a，b上的图像是连续不断的曲线，则“f(a)f(b)0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件2若函数f(x)在区间a，b上是单调函数，且f(a)f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)f(b)0()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()(4)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1C2 D3Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点3下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()Aycos xBysin xCyln xDyx21A由于ysin x是奇函数，yln x是非奇非偶函数，yx21是偶函数但没有零点，只有ycos x是偶函数又有零点4函数f(x)3xx2的零点所在区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)Df(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，故选D.5函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(1)f(1)0，(3a1)(1a)0，解得a1，实数a的取值范围是.判断函数零点所在的区间1若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内Aabc，f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A2设x0是方程的解，则x0所在的范围是()ABCDB构造函数f(x)，因为f(0)10，f 0，f 0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)在上存在零点，即x0，故选B3设函数y1x3与y2的图像的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_(1,2)设f(x)x3，则f(x)在R上是增函数，又f(1)1210，f(2)8170，则x0(1,2)4已知x表示不超过实数x的最大整数，g(x)x为取整函数，x0是函数f(x)ln x的零点，则g(x0)_.2f(2)ln 210，f(3)ln 30，则x0(2,3)，故g(x0)2.规律方法判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数yf(x)在区间a，b上的图像是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)图像法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断判断函数零点(或方程根)的个数【例1】(1)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4(2)(2019兰州模拟)已知函数f(x)满足：定义域为R；任意xR，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1.则方程f(x)log2|x|在区间3,5内解的个数是()A5 B6C7 D8(3)函数f(x)的零点个数是_(1)B(2)A(3)3(1)令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|.设g(x)|log0.5x|，h(x)，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点(2)由f(x2)f(x)知函数f(x)是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y1f(x)与y2log2|x|的图像，如图所示由图像可得方程解的个数为5，故选A(3)当x0时，作函数yln x和yx22x的图像，由图知，当x0时，f(x)有2个零点；当x0时，令x220，解得x(正根舍去)所以在(，0上有一个零点，综上知f(x)有3个零点规律方法判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 (1)函数f(x)的零点个数为()A3 B2C1 D0(2)(2019泰安模拟)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_(1)B(2)(1，)(1)法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点法二：函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数f(x)共有2个零点(2)问题等价于函数yf(x)与yxa的图像有且只有一个交点，作出函数f(x)的图像(如图所示)，结合函数图像可知a1.函数零点的应用考法1根据零点的范围求参数【例2】若函数f(x)log2xxk(kZ)在区间(2,3)上有零点，则k_.4函数f(x)log2xxk在(2,3)上单调递增，所以f(2)f(3)0，即(log222k)(log233k)0，整理得(3k)(log233k)0，解得3k3log23，而43log235，因为kZ，故k4.考法2已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】(2019青岛模拟)已知函数f(x)其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_(3，)作出f(x)的图像如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.规律方法已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解 (1)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)(2)已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0,1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)(1)C(2)D(1)函数f(x)2xa在区间(1,2)上是增加的，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，(a)(41a)0，即a(a3)0，0a3，故选C(2)函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)mx的根，在同一坐标系中画出函数f(x)和ymx的图像，如图所示，由图像知，当m0或m1时方程f(x)mx有根，即函数g(x)f(x)xm有零点，故选D.1(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()ABCD1C法一：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C法二：f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C2(2014全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)Bf (x)3ax26x，当a3时，f (x)9x26x3x(3x2)，则当x(，0)时，f (x)0；x时，f (x)0，注意f(0)1，f 0，则f(x)的大致图像如图(1)所示图(1)不符合题意，排除A、C当a时，f (x)4x26x2x(2x3)，则当x时，f (x)0，x(0，)时，f (x)0，注意f(0)1，f ，则f(x)的大致图像如图(2)所示图(2)不符合题意，排除D.- 9 -
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