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第47讲两条直线的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2015湖南卷，132014四川卷，142014江苏卷，11确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题.分值：35分1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_k1k2_；当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_平行_.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1l2_k1k21_；如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为_垂直_.2两条直线的交点3三种距离点P1( x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离_点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d_两条平行线Ax ByC10与AxByC20间的距离d_4必会结论(1)与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：垂直：BxAym0；平行：AxByn0.(2)与对称问题相关的两个结论：点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P(2ax0,2by0)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)则有可求出x，y.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交()(2)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()解析 (1)错误当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合(2)错误应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为.(3)正确因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离(4)正确两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离(5)正确根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上2已知l1的倾斜角为45，l2经过点P(2，1)，Q(3，m)，若l1l2，则实数m(B)A6B6C5D5解析 由已知得k11，k2.l1l2，k1k21，11，即m6.3点(0，1)到直线x2y3的距离为(B)ABC5D解析 d.4点(a，b)关于直线xy10的对称点是(B)A(a1，b1)B(b1，a1)C(a，b)D(b，a)解析 设对称点为(x，y)，则解得xb1，ya1.5直线l1：xy0与直线l2：2x3y10的交点在直线mx3y50上，则m的值为(D)A3B5C5D8解析 由得l1与l2的交点坐标为(1,1)，所以m350，m8.一两条直线的平行与垂直问题两条直线平行与垂直问题中的注意点(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论【例1】 已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解析 (1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.(*)又l1过点(3，1)，3ab40.(*)由(*)(*)联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.二两条直线的交点问题常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系是AxBym0(mC) (2)与直线AxByC0垂直的直线系是BxAym0.(3)过直线l1：A1xB1yC1 0与l2：A2xB2yC20的交点的直线系是A1xB1yC1m(A2xB2yC2)0，但不包括l2.【例2】 求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程解析 先解方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)，由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.三距离公式的应用利用距离公式应注意的问题(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d，到直线yb的距离d.(2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x，y的系数化为相等【例3】 已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解析 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.四对称问题及其应用两种对称问题的处理方法(1)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求的直线方程(2)关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称，若两点P1 (x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，列出方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称，此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行【例4】 (1)已知直线l：x2y20.求直线l1：yx2关于直线l对称的直线l2的方程；求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程(2)光线由点A(5，)入射到x轴上点B(2,0)，又反射到y轴上的M点，再经y轴反射，求第二次反射线所在直线l的方程解析 (1)由解得交点P(2,0)在l1上取点M(0，2)，M关于l的对称点设为N(a，b)，则解得N，kl27，又直线l2过点P(2,0)，l2的方程为7xy140.设所求的直线方程为x2ym0.在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，m4，即所求的直线方程为x2y40.(2)点A(5，)关于x轴的对称点A(5，)在反射光线所在的直线BM上，可知lBM：y(x2)，M.又第二次反射线的斜率kkAB，第二次反射线所在直线l的方程为yx，即xy20.1(2018福建厦门联考)“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的(B)A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析 点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3等价于3，解得C5或C25，所以“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的充分不必要条件，故选B2(2018河南郑州二模)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则点P的坐标为(C)A(1,3)B(1,3)C(1,3)或(1,3)D(1，3)解析 f(x)3x21.设点P的坐标为(x0，xx03)，由导数的几何意义知3x12，解得x01，点P的坐标为(1,3)或(1,3)，故选C3(2018浙江杭州质检)设不同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C4(2018河北名校联考)直线ya分别与直线y3x3，曲线y2xln x交于A，B两点，则|AB|的最小值为(A)AB1CD4解析 设A(x1，a)，B(x2，a)，则3x132x2ln x2，x1(2x2ln x23)，|AB|x2x1(x2ln x2)1，令f(x)(xln x)1，则f(x)，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，x1时，f(x)取最小值，即|AB|min.易错点忽略直线过定点错因分析：不熟悉直线方程形式，忽略直线过定点这一特性，致使解题过程复杂化，从而造成解题错误【例1】 已知0k4，直线l1：kx2y2k80与直线l2：2xk2y4k240与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_.解析 l1，l2均恒过点P(2,4)l1与y轴交点为A(0,4k)，l2与x轴交点为B(2k22,0)，则SSPAOSPOB(4k)2(2k22)44k4k244k2k8，且0k4，k时，面积最小答案 【跟踪训练1】 设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，求的最大值解析 易知A(0,0)，B(1,3)，且PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210，|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时取“”)课时达标第47讲解密考纲对直线方程与两条直线的位置关系的考查，常以选择题或填空题的形式出现一、选择题1若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a(D)A1BCD2解析 由a1210得a2，故选D2直线2xy10关于直线x1对称的直线方程是(C)Ax2y10B2xy10C2xy50Dx2y50解析 由题意可知，直线2xy10与直线x1的交点为(1,3)，直线2xy10的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数直线2xy10的斜率为2，故所求直线的斜率为2，所以所求直线方程是y32(x1)，即2xy50.3已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m(B)A0B8C2D10解析 kAB2，则m8.4“m1”是“直线xy0和直线xmy0互相垂直” 的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 因为m1时，两直线方程分别是xy0和xy0，两直线的斜率分别是1和1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线xy0和直线xmy0互相垂直时，有11(1)m0，所以m1，所以必要性成立故选C5若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(A)A3B2C3D4解析 由条件知点M的轨迹是直线xy0，即xy60，所以最小距离为3.6在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP(D)A2B1CD解析 以AB为x轴，AC为y轴建立如图所示的直角坐标系，由题设知B(4,0)，C(0,4)，则直线BC方程为xy40，设P(t,0)(0t4)，则P1(4,4t)，P2(t,0)，根据反射定理可知直线P1P2就是光线RQ所在直线，直线P1P2的方程为y(xt)，设ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有，即3t24t0.因为0t4，所以t，即|AP|.故选D二、填空题7经过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是_2xy40_.解析 解析y6x4，y|x12，所求直线方程为y22(x1)，即2xy40.8过点(1,1 )的直线被圆x2y22x4y110截得的弦长为4，则该直线的方程为_x1或3x4y10_.解析 圆x2y22x4y110，即(x1)2(y2)216，则圆心为点M(1,2)，半径r4.由条件知，点(1,1)在圆内，设过点N(1,1)的直线为l，当l的斜率k不存在时，l：x1，则交点A(1,22)，B(1，22)，满足|AB|4.当l的斜率k存在时，设l：y1k(x1)，即kxyk10，则圆心M(1,2)到直线l的距离d.则d2(2)216，即d216124，解得k.此时，y1(x1)，即3x4y10.综上所述，直线l为x1或3x4y10.9已知定点A(1,1)，B(3,3)，动点P在x轴上，则|PA|PB|的最小值是_2_.解析 点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1，1)，则|PA|PC|，设BC与x轴的交点为M，则|MA|MB|MC|MB|BC|2.由三角形两边之和大于第三边知，当P不与M重合时，|PA|PB|PC|PB|BC|，故当P与M重合时，|PA|PB|取得最小值三、解答题10正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解析 点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.综上知正方形的其他三边所在直线的方程分别为x3y70，3xy30,3xy90.11已知ABC中，A(2，1)，B(4,3)，C(3，2)，求：(1)BC边上的高AD所在直线方程的一般式；(2)求ABC的面积解析 (1)因为kBC5，所以BC边上的高AD所在直线的斜率k.所以AD所在直线方程为y1(x2)，即x5y30.(2)由题意得BC的直线方程为y25(x3)，即5xy170.点A到直线BC的距离d，|BC|，SABC3.12(1)在直线l：3xy10上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大(2)在直线l：3xy10上求一点Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小解析 (1)如图(1)，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1kBB1，即31.图(1)a3b120.又由于线段BB的中点坐标为，且在直线l上，310.即3ab60 .解得a3，b3，B(3,3)于是AB的方程为，即2xy90.解得即l与AB的交点坐标为P(2,5)，此时|PA|PB|最大(2)如图(2)，设C关于l的对称点为C，求出C的坐标为.图(2)AC所在直线的方程为19x17y930，AC和l的交点坐标为，故Q点坐标为，此时|QA|QC|最小13
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