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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲传真1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为90，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面内所有直线都适用1直线的倾斜角和斜率k之间的对应关系：00909090180k0k0不存在k02.当时，越大，l的斜率越大；当时，越大，l的斜率越大基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程yy0k(xx0)表示()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知两点A(3，)，B(，1)，则直线AB的斜率是()A.BC. DDkAB，故选D3(教材改编)过点(1,2)且倾斜角为30的直线方程为()A.x3y60Bx3y60C.x3y60Dx3y60A直线的斜率ktan 30.由点斜式方程得y2(x1)，即x3y60，故选A.4如果AC0且BC0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限C法一：由AxByC0得yx.又AC0，BC0，故AB0，从而0，0，故直线不通过第三象限故选C.法二：取AB1，C1，则直线xy10，其不过第三象限，故选C.5过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_4x3y0或xy10若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设1，即xya，则a3(4)1，所以直线方程为xy10.直线的倾斜角与斜率的应用【例1】(1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. BC. D(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_(1)B(2)(，1，)(1)直线2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)如图，kAP1，kBP，要使过点P的直线l与线段AB有公共点，只需k1或k，即直线l斜率的取值范围为(，1，)母题探究(1)若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围(2)若将本例(2)中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围解(1)P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.(2)如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图像知l的倾斜角的范围为0，45135，180)规律方法1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率ktan 的取值范围(2)利用三角函数的单调性，借助图像，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在2斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率 (1)已知点(1,2)和在直线l：axy10(a0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是()A. BC. D(2)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P的横坐标的取值范围为()A. B1,0C0,1 D(1)D(2)A(1)由题(a21)0，即(a1)(a)0，所以a1，又直线l的斜率ka，即k1，所以倾斜角的取值范围为，故选D(2)由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0k1，即02x021.所以1x0.故选A.直线方程的求法【例2】已知ABC的三个顶点分别为A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程； (3)BC边的垂直平分线DE的方程解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(2,3)两点，得BC的方程为，即x2y40.(2)设BC边的中点D(x，y)，则x0，y2.BC边的中线AD过A(3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为1，即2x3y60.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k22.所求直线方程为y22(x0)，即2xy20.规律方法求直线方程应注意以下三点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).(3)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解. (1)若直线经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_(2)若直线经过点A(，3)，且倾斜角为直线xy10的倾斜角的一半，则该直线的方程为_(1)x2y10或2x5y0(2)xy60(1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为ykx，将(5,2)代入ykx中，得k，此时，直线方程为yx，即2x5y0.当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，此时，直线方程为x2y10.综上所述，所求直线方程为x2y10或2x5y0.(2)由xy10得此直线的斜率为，所以倾斜角为120，从而所求直线的倾斜角为60，故所求直线的斜率为.又直线过点A(，3)，所以所求直线方程为y3(x)，即xy60.- 6 -
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