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第十一节导数与函数的单调性考纲传真了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f (x)0，则f(x)在这个区间上是增加的；(2)若f (x)0，则f(x)在这个区间上是减少的；(3)若f (x)0，则f(x)在这个区间上是常数函数1在某区间内f (x)0(f (x)0()(2)如果函数在某个区间内恒有f (x)0，则函数f(x)在此区间上没有单调性()(3)f (x)0是f(x)为增函数的充要条件()(4)若函数f(x)在区间(a，b)上满足f (x)0，则函数f(x)在区间(a，b)上是减函数()答案(1)(2)(3)(4)2f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)Af (x)3x212x3x(x4)，由f (x)0，得0x4，递减区间为(0,4)3(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f (x)的图像，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A当x(3,0)时，f (x)0，则f(x)在(3,0)上是减函数其他判断均不正确4(教材改编)函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数D减函数Df (x)sin x1，又x(0，)，所以f (x)0，因此f(x)在(0，)上是减函数，故选D.5已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的取值范围是_(，3f (x)3x2a，由题意知f (x)0，即a3x2对x1，)恒成立又当x1，)时，3x23，所以a3.不含参数的函数的单调性1函数yx2ln x的递减区间为()A(1,1)B(0,1)C(1，)D(0，)B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，得0x1，所以递减区间为(0,1)，故选B2已知函数f(x)xln x，则f(x)()A在(0，)上递增B在(0，)上递减C在上递增D在上递减D因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f (x)ln x1(x0)，当f (x)0时，解得x，即函数的递增区间为；当f (x)0时，解得0x，即函数的递减区间为，故选D.3已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的递增区间是_和f (x)sin xxcos xsin xxcos x，令f (x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的递增区间为和.规律方法求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f (x)；(3)在定义域内解不等式f (x)0，得递增区间；(4)在定义域内解不等式f (x)0，得递减区间易错警示：(1)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f(x)x3，f (x)3x20(x0时，f (x)0)，但f(x)x3在R上是增函数含参数的函数的单调性【例1】讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f (x)2ax.当a1时，f (x)0，故f(x)在(0，)上递增；当a0时，f (x)0，故f(x)在(0，)上递减；当0a1时，令f (x)0，解得x，则当x时，f (x)0；当x时，f (x)0，故f(x)在上递减，在上递增规律方法解决含参数的函数单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点 (1)已知函数f(x)x3x2ax1(aR)，求函数f(x)的单调区间解f (x)x22xa开口向上，44a4(1a)当1a0，即a1时，f (x)0恒成立，f(x)在R上递增当1a0，即a1时，令f (x)0，解得x11，x21，令f (x)0，解得x1或x1；令f (x)0，解得1x1，所以f(x)的递增区间为(，1)和(1，)；f(x)的递减区间为(1，1)综上所述：当a1时，f(x)在R上递增；当a1时，f(x)的递增区间为(，1)和(1，)，f(x)的递减区间为(1，1)(2)已知函数f(x)ex(ax22x2)(a0)求f(x)的区间解由题意得f (x)exax2(2a2)x(a0)，令f (x)0，解得x10，x2.当0a1时，f(x)的递增区间为(，0)和，递减区间为；当a1时，f(x)在(，)内递增；当a1时，f(x)的递增区间为和(0，)，递减区间为.函数单调性的应用考法1比较大小【例2】(2019莆田模拟)设函数f (x)是定义在(0,2)上的函数f(x)的导函数，f(x)f(2x)，当0x时，若f(x)sin xf (x)cos x0，af ，b0，cf ，则()AabcBbcaCcbaDcabA由f(x)f(2x)，得函数f(x)的图像关于直线x对称，令g(x)f(x)cos x，则g(x)f (x)cos xf(x)sin x0，所以当0x时，g(x)在(0，)内递增，所以gggg，即abc，故选A考法2根据函数的单调性求参数【例3】(1)(2017江苏高考)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_因为f(x)(x)32(x)exx32xexf(x)，所以f(x)x32xex是奇函数因为f(a1)f(2a2)0，所以f(2a2)f(a1)，即f(2a2)f(1a)因为f (x)3x22exex3x2223x20，所以f(x)在R上递增，所以2a21a，即2a2a10，所以1a.(2)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上递减，求a的取值范围解h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1，所以a1，即a的取值范围为(1，)由h(x)在1,4上递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)1，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是.规律方法根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f (x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题 (1)已知函数yf(x)对任意的x满足f (x)cos xf(x)sin x0(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()Af f Bf f Cf(0)2f Df(0)f (2)已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是减函数，则a的取值范围是()ABCD(1)A(2)C(1)令g(x)，则g(x)0，即g(x)在区间上是增函数，则有gg，即，即2f f .即f f ，故选A(2)f (x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意知当x1,1时，f (x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，则有即解得a，故选C1(2016全国卷)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上递增，则a的取值范围是()A1,1BCDC取a1，则f(x)xsin 2xsin x，f (x)1cos 2xcos x，但f (0)110，不具备在(，)递增的条件，故排除A，B，D.故选C2(2018全国卷节选)已知函数f(x)aexln x1.设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间解f(x)的定义域为(0，)，f (x)aex.由题设知，f (2)0，所以a.从而f(x)exln x1，f (x)ex.当0x2时，f (x)2时，f (x)0.所以f(x)在(0,2)上是减少的，在(2，)上是增加的3(2017全国卷节选)已知函数f(x)ex(exa)a2x.讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(，)，f (x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上递增若a0，则由f (x)0得xln a.当x(，ln a)时，f (x)0；当x(ln a，)时，f (x)0.故f(x)在(，ln a)上递减，在(ln a，)上递增若a0，则由f (x)0得xln.当x时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f(x)在上递减，在上递增综上所述，若a0时，f(x)在(，)上递增若a0时，f(x)在(，ln a)上递减，在(ln a，)上递增若a0时，f(x)在上递减，在上递增- 9 -
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