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第三讲不等式、线性规划考点一不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解对点训练1(2018湖南衡阳一模)若a，b，c为实数，且ab0，则下列结论正确的是()Aac2bc2 B Da2abb2解析c为实数，取c0，得ac20，bc20，此时ac2bc2，故选项A不正确；，ab0，ab0，0，即，故选项B不正确；ab0，取a2，b1，则，2，此时，故选项C不正确；ab0，a2ab，又abb2b(ab)0，abb2，故选项D正确，故选D答案D2(2018福建六校联考)已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，) B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析易知f(x)在R上是增函数，f(2x2)f(x)，2x2x，解得2x1，则实数x的取值范围是(2,1)故选D答案D3(2018贵阳一模)关于x的不等式axb0的解集是()A(，1)(3，)B(1,3)C(1,3)D(，1)(3，)解析关于x的不等式axb0即axb的解集是(1，)，ab0可化为(x1)(x3)0，解得1x1时不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是()A(，3 B3，)C(，2 D2，)解析x1，xx11213，当且仅当x1，即x2时等号成立，所以最小值为3，a3，即实数a的取值范围是(，3故选A答案A快速审题(1)看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：图象法；分离参数法；更换主元法考点二基本不等式的应用1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)当且仅当ab时取等号(2)ab2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(3)2(a，bR)，当且仅当ab时取等号(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号对点训练1下列结论中正确的是()Algx的最小值为2B的最小值为2C的最小值为4D当00，22，当且仅当，即x1时取等号；对于C，当且仅当sin2x，即sinx2时取等号，但sinx的最大值为1；对于D，x在(0,2上为增函数，因此有最大值故选B答案B2(2018吉林长春二模)已知x0，y0，且xy2xy，则x4y的最小值为()A4 B C D5解析由xy2xy得2.由x0，y0，x4y(x4y)(54)，当且仅当时等号成立，即x4y的最小值为.故选C答案C3(2018海淀期末)已知正实数a，b满足ab4，则的最小值为_解析ab4，a1b38，(a1)(b3)(22)，当且仅当a1b3，即a3，b1时取等号，的最小值为.答案4(2018河南洛阳一模)若实数a，b满足，则ab的最小值为_解析依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立因为，所以，即ab2，所以ab的最小值为2.答案2快速审题看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”利用基本不等式求函数最值的3个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax(ab0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法考点三线性规划问题1线性目标函数zaxby最值的确定方法把线性目标函数zaxby化为yx，可知是直线axbyz在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值2常见的目标函数类型(1)截距型：形如zaxby，可以转化为yx，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；(2)斜率型：形如z，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；(3)距离型：形如z(xa)2(yb)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如z|AxByC|，表示区域内的动点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍对点训练1(2018天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为()A6 B19 C21 D45解析由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)作出初始直线l0：3x5y0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax325321，故选C答案C2(2018广东肇庆二模)已知实数x，y满足约束条件若z2xy的最小值为3，则实数b()A B C1 D解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示由z2xy得y2xz，平移初始直线y2x，由图可知当直线y2xz经过点A时，直线y2xz的纵截距最小，此时z最小，为3，即2xy3.由解得即A，又点A也在直线yxb上，即b，b.故选A答案A3(2018江西九江二模)实数x，y满足线性约束条件若z的最大值为1，则z的最小值为()A B C D解析作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a2)时，z取得最大值1，故1，解得a2，则C(2,0)当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin.故选D答案D4设x，y满足约束条件则z(x1)2y2的取值范围是_解析由解得即C.(x1)2y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(1，0)间距离的平方由图可知，点(1,0)到直线AB：2xy10的距离最小，为，故zmin；点(1,0)到点C的距离最大，故zmax22.所以z(x1)2y2的取值范围是.答案快速审题(1)看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解(2)看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如z(xa)2(yb)2和形如z，想到其几何意义(3)看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义求目标函数的最值问题的3步骤(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值1(2016全国卷)设集合Ax|x24x30，则AB()A BC D解析x24x30(x1)(x3)01x3，Ax|1x0x，B，AB.故选D答案D2(2018北京卷)设集合A(x，y)|xy1，axy4，xay2，则()A对任意实数a，(2,1)AB对任意实数a，(2,1)AC当且仅当a.结合四个选项，只有D说法正确故选D答案D3(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0log0.210，blog20.3log210，ab0，排除C0log0.20.3log0.20.21，log20.3log20.51，即0a1，b1，ab0，排除Dlog20.2，blog20.3log20.2log21，b1abab，排除A故选B解法二：易知0a1，b1，ab0，ab0，log0.30.2log0.32log0.30.41，即ab，abab0有解，则m的取值范围为()Am4 Bm5 Dm0在区间(1,2)上有解，需满足f(1)0或f(2)0，即m50或2m80，解得m5.故选C答案C2(2018海淀模拟)当0m时，若k22k恒成立，则实数k的取值范围为()A2,0)(0,4 B4,0)(0,2C4,2 D2,4解析因为0m，所以2m(12m)2，所以8，又k22k恒成立，所以k22k80，所以2k4.所以实数k的取值范围是2,4故选D答案D专题跟踪训练(九)一、选择题1如果ab0，那么下列不等式成立的是()A Babb2Caba2 D解析解法一(利用不等式性质求解)：由ab0，ab0，故0，即，故A项错误；由ab0，故abb2，故B项错误；由ab0，即a2ab，故aba2，故C项错误；由ab0，得ab0，故0，即1，ab21b2，ab24a2，1.故A，B，C项错误，D正确答案D2已知aR，不等式1的解集为p，且2p，则a的取值范围为()A(3，) B(3,2)C(，2)(3，) D(，3)2，)解析2p，1或2a0，解得a2或af(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析由题意得，f(1)3，所以f(x)f(1)3，即f(x)3，如果x3，可得3x3，可得x3或0x0的解集是(，2)，则关于x的不等式0的解集为()A(2,0)(1，) B(，0)(1,2)C(，2)(0,1) D(，1)(2，)解析关于x的不等式axb0的解集是(，2)，a0，2，b2a，.a0，0，解得x0或1x0，a恒成立，则a的取值范围是()Aa BaCa0，a恒成立，所以对x(0，)，amax，而对x(0，)，当且仅当x时等号成立，a.答案A6(2018江西师大附中摸底)若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为()A或 B或C1或 D1或解析由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k0或1，当k0时，表示区域的面积为；当k1时，表示区域的面积为，故选A答案A7(2018昆明质检)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()A4 B6 C10 D17解析解法一(图解法)：已知约束条件所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)根据目标函数的几何意义，可知当直线yx过点B(3,0)时，z取得最小值23506.解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2)，B(3,0)，C(1,3)将A，B，C三点的坐标分别代入z2x5y，得z10,6,17，故z的最小值为6.答案B8(2018合肥一模)在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是()A(3,5) B(2,4)C3,5 D2,4解析关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时，不等式的解集为1xa；当a1时，不等式的解集为ax1.要使得解集中至多包含2个整数，则a4且a2，所以实数a的取值范围是2,4，故选D答案D9若实数x，y满足则z的取值范围是()A BC2,4 D(2,4解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示，其中A(1,2)，B(0,2)z，则z的几何意义是可行域内的点P(x，y)与点M所连直线的斜率可知kMA，kMB4，结合图形可得z0，b0，且2abab，则a2b的最小值为()A52 B8C5 D9解析解法一：a0，b0，且2abab，a0，解得b2.则a2b2b12(b2)4529，当且仅当b3，a3时等号成立，其最小值为9.解法二：a0，b0，ab0.2abab，1，(a2b)552549.当且仅当时，等号成立，又2abab，即a3，b3时等号成立，其最小值为9.答案D11(2018湖南湘东五校联考)已知实数x，y满足且zxy的最大值为6，则(x5)2y2的最小值为()A5 B3 C D解析如图，作出不等式组对应的平面区域，由zxy，得yxz，平移直线yx，由图可知当直线yxz经过点A时，直线yxz在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即xy6.由得A(3,3)，直线yk过点A，k3.(x5)2y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(5,0)的距离的平方，由可行域可知，(x5)2y2min等于D(5,0)到直线x2y0的距离的平方则(x5)2y2的最小值为25.故选A答案A12(2018广东清远一中一模)若正数a，b满足：1，则的最小值为()A16 B9 C6 D1解析正数a，b满足1，abab，10，10，b1，a1，则226，的最小值为6，故选C答案C二、填空题13已知集合，则MN_.解析不等式0等价于(x2)(x3)0，解得2x3，故不等式0的解集为(2,3)，即M(2,3)由log(x2)1，可得解得2x，所以N.故MN.答案14(2018全国卷)若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)当直线xyz0经过点A(5,4)时，zxy取得最大值，最大值为9.答案915(2018安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为_千元解析设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则z2xy，作出表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2xy0，平移该直线，当直线z2xy经过直线2x3y480与直线6xy960的交点(150,60)(满足xN，yN)时，z取得最大值，为360.答案36016(2018郑州高三检测)若正数x，y满足x23xy10，则xy的最小值是_解析对于x23xy10可得y，xy2(当且仅当x时，等号成立)，故xy的最小值是.答案19
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