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第55讲排列与组合考纲要求考情分析命题趋势1.理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能用排列与组合解决简单的实际问题.2017全国卷，62017浙江卷，162016全国卷，122016四川卷，4两个计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，以考查基本概念、基本方法(如“含”“不含”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力.分值：5分1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照_一定的顺序_排成一列组合合成一组2排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用_A_表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_所有不同组合_的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用_C_表示3排列数、组合数的公式及性质公式A_n(n1)(n2)(nm1)_，C_性质0！_1_，A_n！_，CC，C_CC_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)An(n1)(n2)(nm)()(3)若组合式CC，则xm成立()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()(5)CCCCC.()2用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(C)A8B24C48D120解析 CA243248.3A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(B)A24种B60种C90种D120种解析 可先排C，D，E三人，共有A种，剩余A，B两人只有一种排法故满足条件的排法共有A160种4方程3A2A6A的解为_5_.解析 由排列数公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3且xN，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，(3x2)(x5)0，x5.5已知，则C_28_.解析 由已知得m的取值范围为m|0m5，mZ，整理可得m223m420，解得m21(舍去)或m2.故CC28.一排列问题(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法【例1】 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有_2_520_种不同的排法(2)将某大学4名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学生，且学生A不分到甲校，则不同的实习安排方案共有_18_种解析 (1)问题即为从7个元素中选出5个全排出，有A2 520种排法(2)先将A分配到乙校，再分配另外3个学生，有A种方法，同理可得，将A分配到丙丁各有A种，则共有3A18(种)二组合问题(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理【例2】 (1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(D)A60B63C65D66(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有_36_种不同选法解析 (1)因为1,2,3，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有CCCC66种不同的取法(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C36种选法三排列组合的综合问题利用先选后排法解决问题的三个步骤【例3】 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(C)A300B216C180D162解析 分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CCA72(个)没有重复数字的四位数；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有CC(AA)108(个)没有重复数字的四位数根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72108180(个)四分组分配问题分组分配问题的处理策略(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”【例4】 (1)(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(D)A12种B18种C24种D36种(2)(2017浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_660_种不同的选法(用数字作答)解析 (1)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C6种，再分配给3个人，有A6种，所以不同的安排方式共有6636(种)(2)分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步乘法计算原理知共有5512660种不同的选法1从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有_96_个解析 依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除将这6个数字按照被3除和余数分类，共分为3类：0,3，1,4，2,5，若四位数含0，则另外3个数字分别为1,4之一，2,5之一，3，此时有CCCA72种；若四位数不含0，则4个数字为1,2,4,5，此时有A24种，由分类计数原理，这样的四位数有722496个2“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为_1_359_.解析 “渐升数”由小到大排列，形如的“渐升数”共有65432121个；形如的“渐升数”共有5个；形如的“渐升数”共有4个，故此时共有215430个，因此按从小到大的顺序排列的四位“渐升数”的第30个数为1 359.3由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？解析 (1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空位，有A个，即有AA个；而0在首位时，有AA个，即有AAAA252个含有2,3，但它们不相邻的五位数(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A个，去掉0在首位，即有AA个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有AA100个六位数.4从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解析 (1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A种情况所以符合题意的七位数有CCA100 800个(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有CCAA14 400个(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA5 760个易错点错用“隔板法”错因分析：不熟悉“隔板”法所处理问题的两个基本特点：元素必须相同；必须保证每组至少1个元素当问题不具备这些特点时，不能完成转化【例1】 (1)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？(2)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种？(3)12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种？解析 (1)将12个小球排成一排，中间11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若记作“|”看作隔板，则如图00|0000|0000|00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1,2,3,4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同放法有C165种即每盒至少有一个小球，有165种不同放法(2)先将1个，2个，3个小球分别放在编号为2,3,4的盒子中，再将余下的6个小球分别放在四个盒子中，每个盒子至少一个小球，有C10种放法所以放球数不小于编号数的放法总数为C10种(3)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型：添加4个球与原来的12个球排成一排，中间有15个间隔，从这15个间隔中选出3个，放上“隔板”，有C个放法，隔成4组后，再将每组中去掉一个球即可，所以，允许空盒的放法有C455(种)【跟踪训练1】 (2016全国卷)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m4，则不同的“规范01数列”共有(C)A18个B16个C14个D12个解析 当m4时，数列an共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k8，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，则必有a10，a81，a2可为0，也可为1.(1)当a20时，分以下3种情况：若a30，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C4种情况；若a31，a40，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C3种情况；若a31，a41，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C2种情况；(2)当a21时，必有a30，分以下2种情况：若a40，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C3种情况；若a41，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C2种情况综上所述，不同的“规范01数列”共有4323214个，故选C课时达标第55讲解密考纲本考点考查用排列与组合的知识解决计数问题，一般以选择题或填空题的形式出现一、选择题1在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有(C)A34种B48种C96种D124种解析 设6个程序分别是A，B，C，D，E，F，A安排在第一步或最后一步，有A种方法将B和C看作一个元素，它们自身之间有A种方法，与除A外的其他程序进行全排列，有A种方法，由分步计数原理得实验顺序的编排方法共有AAA96(种)，故选C2甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法种数为(A)A150B180C240D540解析 分为两类，第一类为221，即有2所大学分别保送2名同学，方法种数为CC90，第二类为311，即有1所大学保送3名同学，方法种数为CA60，故不同的保送方法种数为150，故选A3在55的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为(D)A150B200C600D1 200解析 首先放入3颗黑子，在55的棋盘中，选出三行三列，共CC种方法，然后放入3颗黑子，每一行放1颗黑子，共321种方法，然后在剩下的两行两列放2颗白子，所以不同的方法种数为CC321211 200，故选D4市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(D)A180种B360种C720种D960种解析 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)5“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为(D)A13B24C18D72解析 可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有A种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有A种排法根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为CAA72.62017年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位的数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金鸡卡”享受一定优惠政策例如后四位数为“2663”或“8685”，则为“金鸡卡”，则这组号码中“金鸡卡”的张数为(C)A484B972C966D486解析 当后四位数中有两个“6”时，“金鸡卡”共C99486(张)；当后四位数中有两个“8”时，“金鸡卡”共有C99486(张)但这两种情况都包含了后四位数是由两个“6”和两个“8”组成的这种情况，所以要减掉C6(张)，即“金鸡卡”共有48626966(张)二、填空题74个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有_144_种(用数字作答)解析 4个球分成3组，每组至少1个，即分成小球个数分别为2,1,1的3组，有种，然后将3组球放入4个盒中的3个，分配方法有A种，因此，方法共有A144(种)8数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_240_.解析 (元素优先法)由题意知6必在第三行，安排6有C种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，这个最大数安排在第二行，有C种方法，剩下的两个数字有A种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是CACA240.9由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有_120_个解析 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻的情况，运用插入法可得有AA144种，而当第四位是4的情况如图所示，要使奇数不相邻，偶数只能放在第2,5,6号位处，且5,6号位只能放一个偶数，因此偶数的放法有22种，其余的奇数放在1,3,5(或6)号位处，共有A6(种)，共有22624(种)，因此符合题意的六位数共有14424120(个)三、解答题10将7个相同的小球放入4个不同的盒子中(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解析 (1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C20种不同的放入方式(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C120(种)放入方式11某班举行的联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，求该班联欢会节目的演出顺序的编排方案共有多少种？解析 若乙排在第一个或最后一个，则甲只能排在第二个或第四个，此时有AA12种不同编排方案；若乙排在第二个或第四个，则甲只能排在第三个，此时有AA12种不同编排方案；若乙排在第三个，则甲可能排在第二个或第四个，此时有AA12种不同编排方案，故该班联欢会节目的演出顺序的编排方案共有36种12用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数，其中：(1)能被25整除的数有多少个？(2)设x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，满足xyz的数有多少个？(3)偶数必须相邻的数有多少个？解析 (1)能被25整除的数有两类：后两位是50时，总的个数是A120；后两位是25时，先排首位有4种方法，其他四位有A种方法，共有4A96(个)数所以能被25整除的数有12096216(个)(2)0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数有6A个，满足x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，且xyz的数共有720(个)(3)先把四个偶数放在一起，共有A种排法，再把四个偶数看作一个元素与三个奇数组成四个元素进行排列，有A种排法，总的排法有AA576(种)，由于此种排法会出现0在首位的现象，故从总的计数中减去0在首位的排法个数，0在首位时，三个偶数的排法有A种，三个奇数排在个、十、百位也有A种方法，故0在首位的排法有AA36(种)所以偶数必须相邻的数有57636540(个)10
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