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选修45不等式选讲第1课时绝对值不等式含有绝对值的不等式的解法. 理解绝对值的几何意义. 会解绝对值不等式：|axb|c，|axb|c. 了解绝对值不等式：|xc|xb|a的解法.1. （选修45P5例2改编）解不等式|2x1|3.解：不等式|2x1|3可化为2x13，解得x2.故不等式的解集为x| x2.2. 已知|xa|b（a，bR）的解集为x|2x4，求ab的值.解：由|xa|b，得abxab.又|xa|b（a，bR）的解集为x|2x|5x|，两边同时平方得 4x24x12510xx2，即3x214x240，解得原不等式的解集为（，6）（，）.4. （选修45P6例4改编）若存在实数x满足不等式|x4|x3|k的解集为R，求实数k的取值范围.解：（解法1）根据绝对值的几何意义，设数x，1，2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PAPBk恒成立. AB3，即|x1|x2|3， 故当kk恒成立，从图象中可以看出，只要kbbb，bcac； abacbc； ab，cdacbd； ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd； ab0anbn（nN，且n1）； ab0（nN，且n1）.2. 含有绝对值的不等式的解法 |f（x）|a（a0）f（x）a或f（x）a； |f（x）|0）af（x）0，b0，且a2b2，若abm恒成立.（1） 求m的最小值；（2） 若2|x1|x|ab对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围.解：（1） （a2b2）（1212）（ab）2， ab3，当且仅当，即时取等号. abm恒成立， m3.故m的最小值为3.（2） 要使2|x1|x|ab恒成立，则2|x1|x|3， 或或 x或x. x的取值范围是.1. （2017苏北四市期末）已知a，b，c为正实数，27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x1|2xm.解：因为a，b，c0，所以27abc327abc27abc218，当且仅当abc时，取等号，所以m18.所以不等式|x1|2xm，即|x1|2x18，所以2x18x1，所以原不等式的解集为.2. （2016江苏卷）设a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明： |x1|，|y2|， |2xy4|2（x1）（y2）|2|x1|y2|2a.3. （2017苏北四市期中） 设c0，|x1|，|y1|，求证：|2xy3|c.证明：因为|x1|，所以|2x2|，故|2xy3|2x2y1|2x2|y1|c，故|2xy3|c.4. 已知一次函数f（x）ax2.（1） 当a3时，解不等式|f（x）|4；（2） 解关于x的不等式|f（x）|4；（3） 若不等式|f（x）|3对任意x0，1恒成立，求实数a的取值范围.解：（1） 当a3时，则f（x）3x2， |f（x）|4|3x2|443x2423x6x2， 不等式的解集为.（2） |f（x）|4|ax2|44ax242ax0时，不等式的解集为x|x；当a0时，不等式的解集为x|x.（3） |f（x）|3|ax2|33ax231ax5 x0，1， 当x0时，不等式组恒成立；当x0时，不等式组转化为 5，1， 1a5. a的取值范围为1，5.1. （ 2017苏州期初）已知a2，xR.求证：|x1a|xa|3.证明：因为|m|n|mn|，所以|x1a|xa|x1a（xa）|2a1|.又a2，故|2a1|3.所以|x1a|xa|3.2. 设不等式|x2|3x|a（aN*）的解集为A，且2A，A.（1） 求a的值；（2） 求函数f（x）|xa|x2|的最小值.解：（1） 由题意得所以1a2.因为aN*，所以a2.（2） 因为|x2|x2|（x2）（x2）|4，所以f（x）的最小值是4.3. 已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明：因为3|y|3y|2（xy）（2xy）|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.4. 对于任意的实数a（a0）和b，不等式|ab|ab|a|（|x1|x2|）恒成立，求实数x的取值范围.解：不等式|ab|ab|a|（|x1|x2|）恒成立，即|x1|x2|对于任意的实数a（a0）和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值即可.因为|ab|ab|abab|2|a|，即2，也就是的最小值为2，于是|x1|x2|2， 由绝对值的意义得x.1. |axb|c（c0）和|axb|c（c0）型不等式的解法（1） |axb|ccaxbc.（2） |axb|caxbc或axbc.2. |xa|xb|c（c0）和|xa|xb|c（c0）型不等式的解法方法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法3：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.第2课时不等式证明的基本方法（对应学生用书（理）210214页）重点考查证明不等式的基本方法，考查运算能力和分析解决问题的能力. 了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法. 能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式.1. （选修45P12例2改编）若a，bx|0x1，试比较ab1与ab的大小.解：因为0a1，0b1，所以a10，b10.故ab1ab.2. 若a，b，cR*，且满足abc2，求abc的最大值.解：因为a，b，cR*，所以2abc3，故abc.当且仅当abc时等号成立，所以abc的最大值为.3. 若实数a，b，c满足a2b2c24，求3a4b5c的最大值.解：由柯西不等式得（3a4b5c）2（a2b2c2）（91625）200，所以103a4b5c10，所以3a4b5c的最大值为10.4. 已知x0，y0，aR，bR.求证：.证明： x0，y0， xy0， 要证，即证（axby）2（xy）（a2xb2y），即证xy（a22abb2）0，即证（ab）20.而（ab）20显然成立， .5. 已知a，b0，ab2，x，y0，求证：（axby）（bxay）4xy.证明：已知（axby）（bxay）ab（x2y2）（a2b2）xy，且a，b，x，y0，所以由均值不等式得ab（x2y2）（a2b2）xy（a22abb2）xy（ab）2xy4xy，当且仅当xy时取等号.1. 不等式证明的常用方法（1） 比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的.比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负.比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号.其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述.（2） 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式.（3） 分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”.2. 不等式证明的其他方法和技巧（1） 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法.（2） 放缩法欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得AC1C2CnB，利用传递性达到证明的目的.（3） 数学归纳法3. 柯西不等式的二维形式（1） 柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（aa）（bb）（a1b1a2b2）2（当且仅当a1b2a2b1时，等号成立）.（2） 柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|.（3） 三角形不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，那么.4. 柯西不等式的一般形式设n为大于1的自然数，ai，bi（i1，2，n）为实数，则ab，其中等号当且仅当时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，n）.5. 算术几何平均不等式（a1，a2，anR*），等号当且仅当a1a2an时成立.,1用比较法证明不等式),1)（2017南京、盐城模拟）设ab，求证：a46a2b2b44ab（a2b2）.证明：a46a2b2b44ab（a2b2）（a2b2）24ab（a2b2）4a2b2（a2b22ab）2（ab）4.因为ab，所以（ab）40，所以a46a2b2b44ab（a2b2）.已知m，n是正数，求证：m2n2.证明： m2n2，又m，n均为正实数， 0， m2n2，当且仅当mn时，等号成立.,2用分析法、综合法证明不等式),2)（2017南通、泰州模拟）设x，y，z均为正实数，且xyz1，求证：xyyzzx.证明：因为x，y，z均为正实数，且xyz1，所以xy2yz，yz2xz，xz2xy.所以xyyzzx.变式训练已知a，b，c均为正数.求证：a2b2c26.证明：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以a2b2c2abbcca.同理，故a2b2c2abbcca6.所以原不等式成立.,3均值不等式的应用),3)（2017南通、扬州、泰州模拟）已知a，b，c，d是正实数，且abcd1.求证：a5b5c5d5abcd.证明：因为a，b，c，d是正实数，且abcd1，所以a5bcd44a.同理b5cda4b，c5dab4c，d5abc4d，将式相加并整理，即得a5b5c5d5abcd.变式训练已知x，y，z均为正数，求证：.证明：因为x，y，z均为正数，所以.同理可得，.当且仅当xyz时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式左、右两边分别相加，并除以2，得.已知正数a，b，c满足abc1，求（a2）（b2）（c2）的最小值.解： （a2）（b2）（c2）（a11）（b11）（c11）3332727，当且仅当abc1时等号成立， （a2）（b2）（c2）的最小值为27.,4柯西不等式的应用),4)（2017苏锡常镇一模）已知a，b，c为正数，且abc3，求的最大值.解：由柯西不等式可得（）2（121212）（）2（）2（）2312， 6，当且仅当时取等号. 的最大值是6.变式训练求函数f（x）5的最大值.解：函数定义域为0，4，且f（x）0.由柯西不等式得52（）2（）2（）2（5）2，即274（5）2，所以56.当且仅当5，即x时，取等号.所以函数f（x）5的最大值为6.（2017南京期末）求函数y3sin x2的最大值.解：y3sin x23sin x4.由柯西不等式得y2（3sin x4）2（3242）（sin2xcos2x）25，所以ymax5，此时sin x.所以函数y3sin x2的最大值为5.1. （2017苏州期中）已知a，b，c，d都是正实数，且abcd1，求证：.证明： （1a）（1b）（1c）（1d）（）2（abcd）21，又（1a）（1b）（1c）（1d）5， .2. （2017南京、盐城期末）若实数x，y，z满足x2yz1，求x2y2z2的最小值.解：由柯西不等式，得（x2yz）2（122212）（x2y2z2），即x2yz.因为x2yz1，所以x2y2z2，当且仅当，即xz，y时取等号.综上，（x2y2z2）min.3. （2017镇江期末）已知a0，b0，求证：（a2b2ab）（ab2a2b1）9a2b2.证明：因为a0，b0，由均值不等式知a2b2ab33ab，ab2a2b133ab，所以两式相乘可得（a2b2ab）（ab2a2b1）9a2b2.4. （2017常州期末）已知x0，y0，且2xy6，求4x2y2的最小值.解：（解法1）根据柯西不等式得（2x）2y2（1212）（2xy）2，化简得4x2y218，当且仅当2xy3，即x，y3时取等号.因此，当x，y3时，4x2y2取得最小值18.（解法2）由2xy6得y62x；由x0，y0，得0x3.因此4x2y24x2（62x）28x224x36818.当x，y3时，4x2y2取得最小值18.5. 已知a，b，c0，且1，求证：.证明：因为1，所以2.由柯西不等式，得（）（）（）2，所以.1. 已知x1，x2，x3为正实数，若x1x2x31，求证：1.证明：因为x1，x2，x3为正实数，所以x1x2x32222（x1x2x3）2，当且仅当x1x2x3时取等号.所以1.2. 设a，b，c均为正数， abc1.求证：.证明：由a，b，c均为正数，根据均值不等式，得，.将此三式相加，得2，即.由abc1，则有1.所以.3. （2017苏北三市模拟）已知a，b，c为正实数，且a3b3c3a2b2c2.求证：abc3.证明：因为a3b3c3a2b2c23，所以abc3，所以abc33，当且仅当abc时，取等号.4. 已知a，b，cR，a22b23c26，求abc的最大值.解：由柯西不等式，得a2（b）2（c）2（abc）2.因为a22b23c26，所以（abc）211，所以abc.所以abc的最大值为，当且仅当a2b3c时取得.1010
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