第二章整式的加减

第二章 整式的加减2.1 整式（1）目标导向经历从有理数到整式的认知过程，认识单项式的特点。一、新知探究实验 实验1 填表,认识单项式时 间23t路 程1已知正方体的边长，填表：边 长22a表面积体 积2列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，一定时间（单位：小时）行驶的路程（单位：千米）在下表中得到体现：上述1和2中，不仅有具体的数，还有用数与字母的积表示的式子 、 和 ，这些数和字母乘积的式子，叫做 。实验2 认识单项式的特点3单项式中，“6”称为单项式的 ，指数“2” 称为单项式的 ，是一个二次单项式；单项式中，系数是 ，次数是 。单独一个数，称为 数。它不含 ，也可以说关于某个字母的次数为 。二、疑难解剖实验 实验3发现与辨析1、“单项式没有系数”这种说法 。你的理由是 。2、半径是R的圆的面积是，有同学说，这个单项式的系数为1，次数是3。你的看法是 。3、“的系数是2，次数是1”这个说法是错误的，因为不是 。4、的系数是“”号，次数是3。这种说法 。你的理由是 。5、“红富士苹果的单价是每千克3元，购买千克，需要付钱元”，这个说法 ，正确的付钱数表示为 元。三、能力形成实验 实验4夯实基础：1、填空 (10分) .下列式子： x1； ； 2R； a2b； （1）是单项式的为 。（填序号即可）（2）2R的系数是 ，次数是 。（3）的系数是 ，次数是 。2、判断下面各题是否正确（正确的打，错误的打）。(每小题2分) 7xy2的系数是7； （ ） x2y3与x3没有系数； （ ） ab3c2的次数是5； （ ） a3的系数是1； （ ） 32x2y3的次数是7； （ ）四、 达标测试实验 1、填表（每空4分）：单项式10b含字母R系 数次 数22、填空：（每题10分）（1）整式3x，-ab，t1，0.12hb中，单项式是_ _。（2）单项式的系数是分数，那么，系数的 中不能含字母。（3）如果单项式的次数是5，那么n的值为 。（4）已知是关于x、y的5次单项式，且系数是4，则m、n的值分别为 。3、选择题：（1）整式5abc，7x+1,，21，中，单项式共有（ ）。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个（2）下列式子中符合代数式规范书写格式的是（ ）。A、 B、 C、 D、 （3）某市去年销售汽车辆，预测今年的销售量比去年增加%，那么今年可销售汽车( )辆。A、%m B、%m C、（1+m）% D、（1+%）m（4）观察下列单项式：0，3x2，8x3，15x4，24x5，按此规律写出第13个单项式是（ ）。 A、13 B、13 x13 C、168 x13 D、69 x13 五、拓广探究实验问题近年来通信市场竞争激烈，某通信公司话费按原标准每分钟降低元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准是每分钟多少元？2.1 整式（2）目标导向经历从单项式到多项式的认知过程，认识多项式的特点。一、新知探究实验 实验1 实例探究，形成概念1写出合符要求的代数式：（1）芳芳到超市购买钢笔和本子，单价分别是a元和b元。购买2只钢笔和5个本子，共需要 元。（2）a与b的平方和表示为： ；平方差表示为 。（3）在一个直角边为a、b的三角形中，裁剪一个半径为r的圆，剩余部分的面积是 。上述三个问题中的代数式，可以看成几个 的和。2多项式的意义： 叫做多项式，其中每一个单项式叫做多项式的 ，最高次项的次数，作为多项式的 ，不含字母的项，叫做 。单项式和多项式统称为 。3实例解析：是 次 项式，含有的项为 ，其中，最高次项为 ，一次项为 ，常数项为 。二、疑难解剖实验 实验2辨析正误（1）多项式a3a2ab2b3的次数是12。解析多项式的项为 、 、 、 ，其中每一项的次数都是 ，但是把次数作和，当成多项式的次数，是错误的。（2）多项式3n42n21的次数为4，常数项为1，这个多项式不含三次项和一次项。解析上述说法 。多项式不含三次项和一次项，说明三次项和一次项的系数为 。三、能力形成实验 实验3基础训练1、指出下列多项式的项和次数：（1）12x5x2 （2）4x32x2y2。2、用整式表示：（1）一批运动服按原价八五折出售，每套售价为y元，则这批运动服装原价为多少元？（2）一条河流的水流速度为每小时2千米，已知轮船在静水中的速度，如何表示轮船在顺水和逆水中行驶的速度？如果轮船在静水中的速度是30km/h，那么轮船在顺水和逆水中行驶的速度各是多少？实验4综合训练3、已知代数式3xn(m1)x1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。四、达标测试实验1、判断题（对的画“”，错的画“”）（每题10分）：（1）是整式； （ ）（2）单项式6ab3的系数是6，次数是4； （ ）（3）是多项式； （ ） （4）a32a2a6是三次四项式。 （ ）2、指出下列多项式的项和次数：（1）x3x1 （2）x32x2y23y23、用整式表示：（1）“比a的平方的一半小1的数”是 。（2）如右图所示，环形花坛需要铺草坪,需要铺草皮面积为 。4、有一两位数,其十位数字为a，个位数字为b，交换十位数字和个位数字，得到一个新的两位数，那么这个新两位数与原两位数的和一定能被一个数k整除，求k得值。5、 已知x+3y5，求下式的值：5（x3y）8（x3y）5. 6、观察下列算式：；若字母表示自然数，请把你观察到的规律用含的式子表示出来： 。五、拓广探究实验问题如图所示，在下面由火柴棒拼出的一系列的图形中，第n个图形由n个正方形组成（1）第2个图形中，火柴棒的根数是 ；（2）第3个图形中，火柴棒的根数是 ；（3）第4个图形中，火柴棒的根数是 ； （4）第n个图形中，火柴棒的根数是 。分析 观察与分析，是我们学习数学非常重要的一环。设火柴棒的根数为y，那么：当n=1时，y=4；当n=2时，y=7；当n=3时，y=10；当n=4时，y=13；从对应的数据，发现规律：14：1314；27：2317；310：33110；413：43113；以此类推，得到：ny：n31y.所以有：y=3n1.类比训练 用火材棍铺成由三角形组成的图形如下。如果图中含2个三角形，需要火材棍 根；如果图中含3个三角形，需要火材棍 根；如果图中含4个三角形，需要火材棍 根；如果图中含n个三角形，需要火材棍 根。 2.2 整式的加减（1）目标导向经历同类项的认知过程，能合并同类项。一、新知探究实验 实验1 温故知新1计算下式： 1815815思考你采用的方法是 。解：原式 . 0.31513.715415解：原式 .2类比思维：18a8a 0.3a213.7a24a2 在上述四个计算题中，采用的运算定律是 。实验2 质疑探新某同学认为：2a2+5a3(2+5)a2+37a5。你赞成这个做法吗？小刚：令a=1，那么：2a2+5a3=2125137，而7a57157. 所以2a2+5a37a5是对的。芳芳：令a=2，那么2a2+5a3=22252348而7a5725224 所以2a2+5a37a5是错的。要解决这个问题，先学习新概念：同类项。多项式中，所含字母 ，并且相同字母的指数也 的项，叫做同类项，几个常数项也是 。 多项式中，只有 ，才能合并。二、疑难解剖实验 实验3辨析及运用（1）下列各组，是不是同类项？说明理由。 xy2与x2y： 。 16与123： 。（2）计算：4x22x73x8x224x28x22x3x72(4x28x2)(2x3x)(72)(48)x2(23) x(72) x2 x . 上述计算中，第一个等号，使用了 律，第二个等号，使用了 律，第三个等号，使用了 律。归纳 在多项式计算中，合理使用运算法则，利用合并同类项的方法进行。计算的最后结果，是按照某个字母的降幂排列的（也可以是升幂排列）。三、能力形成实验 实验4基础训练1、合并下列各式的同类项：（1） （2）2x23x+13x2+5x7实验5综合训练2、求多项式的值，其中.解： （ ）x2+（ ）x+（ ） .当时，原式= 。四、 达标测试实验1、判断题（对的画“”，错的画“”）（每题5分，共20分）：（1）与是同类项. （ ） （2）2ab与ba的和是ba（ ）（3）1与能够合并同类项（ ） （4）100t+252=352t （ ）2、计算：（每题10分，共20分）（1）5a-6b-7a+9b （2）-2xy-3y+xy+2.5y3、选择题（每题5分，共20分）：（1）如果与是同类项，那么m、n的值分别为（ ）A、m=-2，n=3 B、m=2，n=3 C、m=-3，n=2 D、m=3，n=2（2）已知，则( )A、. B、.C、. D、.（3）若2与1互为相反数，则等于（ ）A、1 B、1 C、 D、（4）计算-4x-3y+4x-2y=（ ）A、5y B、8x C、5y D、8x5y4、计算：（每题10分，共20分）（1） （2）5、填空（每题8分，共24分）：（1）若与的和仍是单项式,那么_。（2）若, 则代数式= _。（3）已知三角形第一边长为2，第二边比第一边长，第三边比第二边短，这个三角形的周长为 。6、解下列各题：（每题8分）（1）长方形长为8cm,宽为4cm,E是线段CD的中点，线段BF=cm.用代数式表示阴影部分面积S.ABCDEF（2）若干个棱长为a的正方体摆成如图的形状，求它的表面积。五、拓广探究实验M1M2问题如图，由若干个相同的小正方形，能够拼成大正方形。用M1表示拼成的第一个正方形，M2表示拼成的第一个正方形，这样拼下去，图形Mn比Mn1多几个小正方形？分析M1=4=(1+1)2M2=9=(2+1)2M3=16=(3+1)2M(n-1)= Mn= 继续试验：M2 M1=94=5M3 M2=169=7M4 M3=2516=9 Mn M(n-1) = 反思我们学会了类比、归纳的思维方法。2.2 整式的加减（2）目标导向经历去括号的认知过程，能利用去括号、合并同类项进行整式化简。一、新知探究实验 实验1 温故知新1观察下列各式：（1）（23）=（1）2+（1）（3）=23（1）（23）=（1）2+（1）（3）=2+3（1）（a+b）= = a+b（1）（a+b）= = ab归纳上述方法，运用了 。去括号： （a+b）= （a+b）= 2（a+b）= 3（a+b）= 2试验：将、组合成新的算式。(13分)+(a+b)(a+b)= + = + = + = 二、疑难解剖实验 实验2 新知运用1、化简下列各式：（1）8a+3b+（3ab） （2）（5a3b）2（a2b）2、若多项式（2mx25x23x1）(6x24y23x)化简后不含x2项，求2m33m3(4m5)m的值解：（2mx25x23x1）(6x24y23x)= (2m+56) x2(33) x(14y2)=(2m1) x2(14y2)由于化简后不含x2项，故 2m1= m= 。2m33m3(4m5)m=2m33m34m5m=2m33m34m5m= .把m= 代入上式，得：反思如果一个式子中含有多重括号，那么先去小括号，再去中括号。三、能力形成实验 实验3基础训练1、化简：（1）12（x0.5） （2）（3）x+(2x2) (3x5)实验4综合训练2、一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，小红买这种笔记本3个，圆珠笔2支；小明买这种笔记本4个，圆珠笔3支。买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？思考你的思路是 。 解：回顾还有没有其它方法？3、已知A=a2+b2c2，B=4a2+2b2+3c2，且A+B+C=0，求C。分析 根据A+B+C=0，可得C=AB.四、达标测试实验1、去括号（每题10分，共20分）：（1）3（xy） （2）2（x22xy+y2）2、选择题（每题10分）（1）下列整式的运算中，结果正确的是（ ） A、3+x3x B、y+y+y=y C、6abab=6 D、st+0.25st=0（2）如果是三次多项式，是三次多项式，那么一定是（ ）A、六次多项式. B、次数不高于三的整式.C、三次多项式. D、次数不低于三的整式。3、去括号（每题10分）：（1）（m+2n）（m2n） （2）2(x3)（x+4）4、计算（每题10分）：（1） 8m4m2m(2m5m)（2）先化简，再求值：3xy5xy（4xy3）+2xy，其中x=3，y=2.5、解下列各题（每题20分）（1）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题,但她不小心把一滴墨水滴在了上面： ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分.那么被墨汁遮住的一项应是什么？（2）已知A、B、C的值如下：Ax2y+3xy+xy3xy+4； B=yx4xy3xy3xy+3；C=y+xy+2xy+6xy6。试说明对于x、y、z的任何值A+B+C是常数。五、拓广探究实验问题日历中的学问下图是某月日历。日 一 二 三 四 五 六2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 2930 31（1）每一列上下两个数相差是 ；每一列连续三个数中，若设中间一个为x，那么上面一个是 ，下面一个是 ，这三个数的和一定被 整除。（2）如上图所示，选中一个含有9个数的区域，这9个数的和与中间一个数“12”，有上面关系？解析 要回答这个问题，你不妨再另外选择几个区域试一试。日 一 二 三 四 五 六2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 2930 31要说明问题，仅仅从实验的方式完成是不够的，必须从数学道理上突破。设9个数最中间的一个为x，那么，其余几个数在图中的位置上表示为：x8 x7 x6x1 x x1x6 x7 x8所以，这9个数的和为 。于是，这三个数的和一定能被 整除。根据上述探究方法，说明以下几个问题：1、任意横向、纵向、斜对角线上的3个数，它们的和都能被 整除。日 一 二 三 四 五 六2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 2930 31（1）横向三个数：设中间一个数为x，那么，左边一个数为 ，右边一个数为 。这三个数的和是： x 。所以三个数的和能被 整除。思考为什么我们不依次设第一个数为x，第二个数为x1，第三个数为x2呢？（2）纵向三个数：设中间一个数为x，那么，上边一个数为 ，下边一个数为 。 这三个数的和是： x 。所以三个数的和能被 整除。（3）斜对角线上三个数（如图）x8 x7 x6x1 x x1x6 x7 x8斜向下的三个数，分别为 、 、 ，其和为 。斜向上的三个数，分别为 、 、 ，其和为 。所以，三个数的和能被 整除。综合上述（1）、（2）、（3），得到结论：任意横向、纵向、斜对角线上的3个数，它们的和都能被 整除。2、探究：任意相邻矩形区域内的4个数，有什么关系？日 一 二 三 四 五 六2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 2930 313、若日历中方形区域内的9个数之和是126，求这9个数。2.2 整式的加减（3）目标导向经历利用整式解决实际问题的数学运用过程，进一步感知数学的应用性。一、新知探究实验 实验1 游戏中的数学自己随意设想一个百位数字比个位数字大2的三位数，按照以下程序进行实验：百位数字比个位数字大2交换百位数字与个位数字大数减去小数=A交换A的个位与百位=BA+B结果自己再另外设计一个三位数，按照程序再试一试，看结果又是多少？结果是 。与同学交流，结果 。你能解释其中的原因吗？设个位上的数字是a,十位上的数字是b,百位上的数字则为 ,所以这个三位数为100(a+2)+10b+a.交换百位上的数字与个位上的数字，可得到一个较小的三位数即：100a+10b+(a+2).按图示所给定程序，得:100(a+2)+10b+a-100a+10b+(a+2)=100a100a+10b10b+200+aa2=198=A则B= 故A+B= = 。实验2 生活中的数学青藏铁路上，格尔木到拉萨有一段很长的冻土地段。列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，那么：（1）列车在冻土地段行驶2小时的路程是 千米；行驶t小时的路程是 千米。（2）从西宁到拉萨路段，列车通过非冻土路段的时间是通过冻土路段时间的2.1倍。如果通过冻土路段需要t小时，那么这段铁路的全长用含t的式子表示为 千米。（3）在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土路段比通过非冻土路段多用0.5小时。如果通过冻土路段需要n小时，这段铁路的全长为 千米，冻土路段与非冻土路段相差 千米。二、疑难解剖实验 实验3 合理选择方法1、求的值，其中.（10分） 小刚看到题后，高兴的说“好做”直接将x，y的值代入求值式，变成有理数的计算；小明先将原式进行化简，再将x，y的值代入化简的结果进行计算。你会选择哪种方法呢？解：2、一种笔记本的售价是2.5元/本，如果买100本以上（不包括100本），售价为2.4元/本，列式表示购买n本笔记本所需钱数（注意对n的大小有所考虑）。解：当n不超过100（n100）本，所需钱数为 元；当n超过100（n100）本，那么所需钱数为 元。探究1 按照题中的规定，会不会出现多买比少买付的钱反而少的情况？举实例说明。探究2如果需要100笔记本，你认为最省钱的购买方法是什么？三、能力形成实验 实验4基础训练1、 填空：（1）某地冬季一天的温差是15C0，这天的最低气温是t C0,最高气温是 C0。（2） 购买单价a元的球拍m个，支付100元，找回 元。实验5综合训练2、列式计算：（1）体校里男生认识占总人数的60%，女生认识为x人，那么男生人数是多少？（2）礼堂第一排座位是a个，以后每一排都比前一排多1个座位。第n排的座位数为m。 用n、a表示m。 当a=20，n=17，求m的值。四、达标测试实验1、填空（每题20分，共40分）：（1）用含k（k是整数）的字母表示：任意一个奇数为 ，任意一个偶数为 。（2）一件衬衣原价为a元，打八折出售，售价是 元。2、填空（每题20分，共40分）（1）一个两位数，个位数字是x,十位数字比个位数字大2，这个两位数用含x的字母表示为 。（2）甲乙两车同时、同地、同向出发。甲的速度是a千米/时，乙的速度是b千米/时，出发2小时后，它们之间相 千米。3、列式（每题20分，共40分）（1）n只球队举行单循环赛，共需进行的场次是多少？如果有6只球队参加比赛，共需进行多少场比赛？（2）三角形的内角和等于1800，已知三角形第一个内角是第二个内角的2倍，第三个内角比第一个内角大300，三角形的每个内角各是多少度？六、拓广探究实验问题 已知：x=2，y=,求kx2（x）+（x+）的值。小刚在做题时，把x的值看成x=2，但是最后也算出了正确结果，已知计算过程无误，由此断定，k的值是多少？2.3 本章测试A 卷一、选择题（每题5分，共40分）1下列各式中不是单项式（ ）A、 B、 C 、0 D、2.下列说法正确的是( )A、的系数为； B、的系数为； C、的系数为； D、的系数为.3、下列各组的两个式子是同类项的一组是（ ） A、 B、 C、 D、4、下列式子中符合代数式的书写格式的是（ ）A、 B、 C、 千克 D、千米5. 下列去括号正确的是（ ）A、 B、C、 D、6、计算-4x-3y+4x-2y=（ ）A、5y B、8x C、-5y D、-8x-5y7甲数比乙数的2倍大3，若乙数为x，则甲数为（ ）A、 B、 C、 D、8如果与是同类项，那么m、n的值分别为（ ）A、m=-2，n=3 B、m=2，n=3 C、m=-3，n=2 D、m=3，n=2二、填空题（每题5分，共25分）9、单项式的系数是 ，次数是 。10、多项式是_次_项式。11、买一个足球需要元，买一个篮球要元，则买4个足球、7个篮球共需要 元。12、一根铁丝的长为，剪下一部分围成一个长为宽为的长方形，则这根铁丝还剩下 。13、如果某市去年销售汽车辆，预测今年的销售量比去年增加%，那么今年可销售汽车 辆.三、解答题（每题7分，共35分）14、 15、16、 17、18、先化简，再求值：，其中。B 卷一、选择题（每题4分共32分）1、下列式子中正确的是( )A、a22ab+c=a2(2ab+c) B、(a+b) (d+c)=a+b+c+dC、2a-7b+3c-1=2a7b-(3c-1) D、a(b+cd)=ab+cd2、若与的和是单项式，则的值为（ ）A、4 B、4 C、 D、3、已知2=5，那么：的值为（ ）A、50 B、10 C、210 D、404、某种手机卡的市话费上次已按原收费标准降低了元/分钟，现在再次下调20%，使收费标准为元/分钟，那么原收费标准为（ ）A、元/分钟 B、元/分钟C、元/分钟 D、元/分钟5、有一两位数,其十位数字为a，个位数字为b，将两个数颠倒，得到一个新的两位数，那么这个新两位数十位上的数字与个位数字的和与这个新两位数的积用代数式表示( )A、ba(a+b) B、(a+b)(b+a) C、(a+b)(10a+b) D、(a+b)(10b+a)6、在排成每行七天的日历表中取下一个方块。若所有日期数之和为189，则n的值为（ ）A、21 B、11 C、15 D、97、已知，则的值为（ ）A、 B、 C、0 D、48、对于式子10+10的解释，错误的是（ ）A、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，10h后甲、乙相遇，甲每小时行，乙每小时行，则A、B两地的距离为（10+10）.B、甲、乙两个工程队分别从A、B两地修路，10个月修完，甲工程队每月修，乙工程队每月修，则A、B两地的距离为（10+10）.C、甲型计算器每个元，乙型计算器每个元，则买甲、乙两种计算器各10个的总钱数为（10+10）元.D、两个长方形宽都是10，长分别为和，则这两个长方形的面积和为（10+10）.二、填空题（每题5分，共30分）9、多项式与多项式的和不含常数项，则= 。10、如下图是某年10月日历，现用一长方形在日历中任意框出4个数如图，请用一个等式表示、之间的关系： .日 一 二 三 四 五 六2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 2930 31 11、观察下列按顺序排列的等式：90+1=1；91+2=11；92+3=21；93+4=31；94+5=41；95+6=51；猜想第个等式（为正整数）应为 。12、一件商品成本是a元，按照成本增加30%定价出售，每件的定价是 元，后来为了减少库存，商场决定打七折出售，则每件还能盈利 元。aa13、一块三角尺的形状和尺寸如图所示。圆孔的半径是r，三角尺的厚度是h，这块三角尺的体积表示为 。14、填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是 。三、化简、计算或解答，共38分）.15、，其中.（8分）15、其中，.（8分）16、国庆放假两位老师带10个学生去迪斯尼游玩,若单独购票，老师票价每人a元,学生每人b元；现购团体票,老师按七折优惠,学生按六折优惠。（7分）(1) 列整式表示总的费用; (2) 计算当a=300,b=200时的总费用。17、某公司的年销售额为元，成本为销售额的60%，税额和其他费用合计为销售额的P%.（1）用关于、的代数式表示该公司的年利润；（2）若=8000万，P=7，则该公司的年利润为多少万元？（7分）18、如图所示，是用花朵摆成的三角形图案，每条边上有（1）个点（即花朵），每个图案的总点数即花朵总数用S表示.（8分）（1）观察图案，当=6时，S= ；（2）当=100时，猜想S= ；（3）你能得出怎样的规律？（用表示S）- 24 -