平面力系的平衡问题wy课件

理论力学主主 讲：吴莹讲：吴莹 教授教授办公室：东校区教办公室：东校区教1 1楼北楼北3 30909E-mail:E-mail:Tel: Tel: 理论力学2理论力学理论力学kjiFkjiFRRRRzyxziyixiiFFFFFF,nizizniyiynixixFFFFFF1R1R1R,RRRRRRRRR2Rz2R2RR),cos(,),cos(,),cos(FFFFFFFFFFzyxyxkFjFiF理论力学0ixF0iyF0izF0ixF0iyF理论力学理论力学理论力学sin30sin45sin(1803045 )BCABoooooFFWFABFBCW30o45o理论力学0,sin30sin4500,cos30cos450ooxBCABooyBCABFFFFFFWxyFBCFABW45o30o理论力学0,sin15cos3000,cos15cos600ooxBCABooyABFFFWFFWFBCFABWxy理论力学11 例例2 2：如如图所示是汽车制动图所示是汽车制动机构的一部分。已知司机踩机构的一部分。已知司机踩到制动蹬上的力到制动蹬上的力F=212 N， = 45 。当平衡时，。当平衡时，DA铅铅直，直，BC水平，试求拉杆水平，试求拉杆BC所受的力。已知所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm 点点E在铅直线在铅直线DA上上 ，又又B ，C ，D都是光滑铰都是光滑铰链，机构的链，机构的自重不计。自重不计。理论力学12O q q xyABDFFDFB： ， 0 0yxFF 0 sin sin 0 cos cosqqFFFFFDDB41OEDEsin已知N750BF理论力学理论力学14jiFyxRFF)(FMMOO 平面力系向作用面内任选一点平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。点的主矩。得到平面力系平衡的充分必要条件是：得到平面力系平衡的充分必要条件是：00FORM,理论力学150,00,0ORORMFMF或充分性：充分性：当当 时，表明作用于简化中心时，表明作用于简化中心O的汇交力的汇交力系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。系是平衡力系；附加力偶系亦是平衡力系，故原力系平衡。0,0ORMFORMF , 根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或根据力系的简化结果可知道，此时原力系可简化为一个力偶或一个力，与一个力，与“假设原力系平衡假设原力系平衡”的前提条件不符，故只有的前提条件不符，故只有 均均为零，原力系才能平衡。为零，原力系才能平衡。ORMF ,必要性：必要性：当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设当原力系平衡时，我们用反设法说明。假设 有有一个不为零，即一个不为零，即理论力学16平衡条件的解析式：平衡条件的解析式：0)(00FOyxMFF 上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为上面的方程式是力系平衡的充分必要条件，也称为平衡方程的平衡方程的基本方程基本方程。00FORM,平衡条件的矢量式：平衡条件的矢量式：平衡方程基本形式平衡方程基本形式理论力学17二矩式二矩式00)(0)(xBAFMMFFx轴不得垂直于轴不得垂直于A、B的的连线。连线。（3 3）又若该力系又同时满足）又若该力系又同时满足 ，而，而x轴不得垂直于轴不得垂直于AB连线连线时，显然力系时，显然力系不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡 , 0 xF0)(iAMF（1 1）若力系已满足了）若力系已满足了 ，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是作用线通过作用线通过A点点的一个合力，或者是平衡。的一个合力，或者是平衡。0)(iBFM（2 2）若该力系同时满足）若该力系同时满足 ，则该力系合成结果或者是作用线通过，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B两点的一个合力，或者是平衡。两点的一个合力，或者是平衡。平衡方程其他形式平衡方程其他形式理论力学18三矩式三矩式0)(0)(0)(FFFCBAMMMA、B、C三三点不得共线。点不得共线。平衡方程其他形式平衡方程其他形式为什么呢？为什么呢？理论力学191 1根据问题条件和要求，根据问题条件和要求，选取研究对象选取研究对象。2 2分析研究对象的受力情况，画受力图分析研究对象的受力情况，画受力图。画出研究对。画出研究对象所受的全部主动力和约束力。象所受的全部主动力和约束力。3 3根据受力类型根据受力类型列写平衡方程列写平衡方程。平面一般力系只有三。平面一般力系只有三个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和个独立平衡方程。为计算简捷，应选取适当的坐标系和矩心，以使方程中未知量最少。矩心，以使方程中未知量最少。4 4求解。求解。校核和讨论计算结果。校核和讨论计算结果。求解步骤：求解步骤：理论力学20 例例3：已知已知, , ,;P q a Mpa求支座求支座A、B处的约束力处的约束力. .理论力学21aqQ2aAD 例例3：已知已知, , ,;P q a Mpa求支座求支座A、B处的约束力处的约束力. .理论力学220)(00FMFFAyx02400aQaPMaFQPFFFBBAyAxqaPFqaPFFBAyAx214123410, 例例3：已知已知, , ,;P q a Mpa求支座求支座A、B处的约束力处的约束力. .理论力学23 例例题题：已知旋转式起重机，自重已知旋转式起重机，自重W=10 kN，被起吊重物，被起吊重物重重Q=40 kN 。求：止推轴承。求：止推轴承A 和径向轴承和径向轴承B 的约束反力。的约束反力。理论力学24理论力学25 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程此时，此时， 自然满足。自然满足。则平面平行力系平衡方程为则平面平行力系平衡方程为 0 xF0)(0iOyMFF思考：思考：理论力学260011niyinixiFF,各力汇交于一点各力汇交于一点A， 自然自然满足。则平面汇交力系平衡方程为满足。则平面汇交力系平衡方程为0F )(iAM思考：思考：理论力学27显然，关于力平衡的方程自然满足。显然，关于力平衡的方程自然满足。 0M理论力学28 例例题题：一种车载式起重机，车一种车载式起重机，车重重P1= 26 kN，起重机伸，起重机伸臂重臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。理论力学29 00FBMF0321PPPPFFBA0 2 81 52 3 52 2 21).(.).(AFPPPPPPFA5 . 55 . 228 . 3121不翻倒的条件是：不翻倒的条件是：FA0。kN 7.52.525 .5121PPP理论力学30理论力学31 对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当对于系统整体画受力图，图上展示的仅是外力；当取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系取系统中的某一部分为研究对象时，此时，该部分与系统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用统其他部分之间的作用力（本来是内力）也变成了作用在该部分上的外力。因此，在该部分上的外力。因此，对不同的研究对象而言，外对不同的研究对象而言，外力、内力是相对的力、内力是相对的。理论力学32系统平衡的特点系统平衡的特点系统整体是平衡的；系统整体是平衡的； 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3 3个平个平衡方程，整个系统可列衡方程，整个系统可列3 3n n个方程（设物系中有个方程（设物系中有n n个个物体物体, ,每个物体都受有平面一般力系作用）每个物体都受有平面一般力系作用）求解刚体系统的平衡问题，主要依据前求解刚体系统的平衡问题，主要依据前面给出的平衡理论。面给出的平衡理论。理论力学33已知：已知：a、P、Q。求。求A、B 的约束的约束反力。反力。例例题题理论力学34解：解：(1)(1)考虑整体考虑整体, ,受力如图所示，受力如图所示，0212120aPaQaFMByA0212320aQaPaFMAyB00QFFFBxAxx列平衡方程如下：列平衡方程如下：(2)(2)考虑左半部，受力分析如图考虑左半部，受力分析如图0210aFaPaFMAyAxC这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！理论力学35)(),(),(QPFPQFQPFQPFByBxAyAx41341414341理论力学36求解方法二求解方法二（1 1）选取研究对象：左刚架，）选取研究对象：左刚架， 受力分析如图所示。受力分析如图所示。列平衡方程：列平衡方程：0200000aPaFaFMPFFFFFFAyAxCCyAyyCxAxx理论力学37（1 1）选取研究对象：右刚架，）选取研究对象：右刚架， 受力分析如图所示。受力分析如图所示。求解方法二求解方法二列平衡方程：列平衡方程：6 6个方程可解出个方程可解出6 6个未知量个未知量思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？总结两种方法的特点。总结两种方法的特点。0200000aQaFaFMFFFQFFFByBxCCyByyCxBxxCyCyCxCxFFFF,理论力学38研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点：研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点： 分清分清内力和外力内力和外力。 灵活灵活选取研究对象和列写平衡方程选取研究对象和列写平衡方程。 如系统由如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下个物体组成，而每个物体在平面力系作用下平衡，则平衡，则有有3n个独立的平衡方程，可解个独立的平衡方程，可解3n个个未知量未知量。理论力学39 A，B，C，D处均为光滑铰链，物块重为处均为光滑铰链，物块重为P，通过，通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的的E点，各构件自重不点，各构件自重不计，试求计，试求B处的约束力。处的约束力。 P例例题题理论力学40解：取整体为研究对象。受力分析解：取整体为研究对象。受力分析如图。如图。列平衡方程列平衡方程FAyFAxFCxFCy025AxFrPr , 0FCMPFAx5 . 2解得解得 P理论力学41再取杆再取杆AB为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。022EByBxrFFrFr , 0FAM0EBxAxFFF, 0 xF列平衡方程列平衡方程,5 . 1 PFBxPFBy2联立求解可得联立求解可得FAyFAxFByFBxP是否还有其他分析方法？是否还有其他分析方法？理论力学42例例题题平面结构如图所示，不计各杆自平面结构如图所示，不计各杆自重。重。(作为作业题作为作业题) 5 kNP 12 kN mM 12 kN mq2mL 060q已知已知：试求：支座试求：支座A、C处的约束反力处的约束反力理论力学43FDYFDXFEPED解：先解：先取取ED为研究为研究对象，受力如图。对象，受力如图。列平衡方程列平衡方程020Fqsin)(LPLFMEDkN435EF理论力学44PFEEQ2L2LFCCDBFBYFBX(b)（2）取）取EDCB组合体为研究对象，画受力图组合体为研究对象，画受力图列平衡方程列平衡方程思考：怎么列方程简单？思考：怎么列方程简单？理论力学452L(c)PFCFEEQ2LCDBMFAYFAXMA（3 3）取整体为研究对象，画出受力图）取整体为研究对象，画出受力图列平衡方程，求解出列平衡方程，求解出FAX、FAY、MA思考：该题还可思考：该题还可以怎么做？以怎么做？理论力学46 齿轮传动机构如图所示齿轮传动机构如图所示。齿轮。齿轮的半径为的半径为r，自重，自重P1。齿轮齿轮的半径为的半径为R=2r，其上固，其上固定一半径为定一半径为r的塔轮的塔轮，轮，轮与与共重为共重为P2 = 2P1。齿轮压。齿轮压力角为力角为 =20 被提升的物体被提升的物体C重为重为P = 20P1。求求：（：（1）保持物保持物C匀速上升时匀速上升时，作用于轮上力偶的矩，作用于轮上力偶的矩M ； （2）光滑轴承）光滑轴承A，B的约的约束力。束力。ABrrRMCPP1P2例例题题理论力学47nFqnFqABrrRMCPP1P2啮合力与齿轮分度圆切线的夹角。啮合力与齿轮分度圆切线的夹角。理论力学48解：解：( (1). 1). 取取，轮及重物为研轮及重物为研究对象，受力分析如图所示。究对象，受力分析如图所示。ABrrRMCIIIPP1P2CBKPFBxFByqFnP2列平衡方程列平衡方程 0cos, 00cos, 00sin, 0n2nnqqqRFrPFMPFPFFFFFBByyBxx解得解得1211n326436410PFPPFPFPRPrFByBx,.,.cosq理论力学492. 2. 再取再取轮为研究对象，轮为研究对象，受力分析如图所示。受力分析如图所示。ABrrRMCIIIPP1P2AKMP1FAxFAyqnF列平衡方程列平衡方程解得解得 0cos , 00cos, 00sin , 0n1nnqqqrFMFMPFFFFFFAAyyAxxrPrFMPFPFPFFAyAx1n1n11n10cos9cos64. 3sinqqq理论力学50 结构由结构由杆杆AB与与BC在在B处铰接而成。结构处铰接而成。结构A处为固处为固定端，定端，C处为辊轴支座。结构在处为辊轴支座。结构在DE段承受均布载荷作段承受均布载荷作用，载荷集度为用，载荷集度为q；E处作用有外加力偶，其力偶矩为处作用有外加力偶，其力偶矩为M。若。若q、l、M等均为已知，试求等均为已知，试求A、C二处的约束力。二处的约束力。例例题题理论力学51解：解：以整体为研究对象，受力如图：以整体为研究对象，受力如图：分布力化成了集中力分布力化成了集中力Q，且，且Q=2ql，作用在，作用在B点。点。列平衡方程列平衡方程00000240QFFFFFMlQlFMMCyAyyAxxCyAA理论力学52 以以BC杆为研究对象，从铰链杆为研究对象，从铰链B处把处把BC取出来，则取出来，则BC杆必然受杆必然受到铰链的作用力，如图：到铰链的作用力，如图：把分布力化为集中力把分布力化为集中力P，P=ql，作作用在用在G处。得到处。得到BC杆的受力图：杆的受力图：列平衡方程列平衡方程0)2(20MllPlFMCyBlMqlFlMqlFFMqlMCyAyAxA241247032解得解得2lBG 理论力学53图示结构图示结构，Fp和和 l 均已知，分别均已知，分别求两种情况下的求两种情况下的约束力。约束力。（参考）（参考）例例题题理论力学54FP第一种情形第一种情形 MA ( F ) = 0 :FBC d - FP 2l = 0P2 2BCFF解：解：该系统中，该系统中，BCBC为二力杆。为二力杆。以以ABAB为研究对象，作出受力图为研究对象，作出受力图 Fy = 0 :FAy - FP + FBC sin45 = 0FAy= - FPFPFAyFAxFBC Fx = 0 :FAx+FBCcos = 0FAx=-2FP理论力学55解：解：以整体为研究对象，作出以整体为研究对象，作出受力图受力图第二种情形第二种情形M=FP lM=FP lFAFC00lFMMAPFlMFA理论力学56已知：四连杆机构已知：四连杆机构ABCD 受力受力P、Q 作用。作用。 求求: 机构平衡时机构平衡时P、Q 的关系。的关系。(技巧题技巧题 参考参考)例三例三理论力学57解：以整体为研究对象，解：以整体为研究对象，受力分受力分析如图所示。析如图所示。列平衡方程列平衡方程030cos0AEQBEPMoE理论力学58前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。注意到：前面讨论了平面问题中几种力系的平衡问题。注意到：平面任意力系有平面任意力系有3 3个，个，平面力偶系只有平面力偶系只有1 1个。个。平面汇交力系和平面平行力系各有平面汇交力系和平面平行力系各有2 2个，个，因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。因此，对于每一种力系，能求解的未知数的数目也是一定的。 若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数若系统中的未知约束力数目恰好等于独立平衡方程的数目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称目，则这些未知数就可全部由平衡方程求出，这类问题称为静定问题。为静定问题。 若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用若未知约束力的数目多于独立平衡方程的数目，仅仅用刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题刚体静力学平衡方程不能全部求出那些未知数，这类问题称为超静定（或静不定）问题。称为超静定（或静不定）问题。理论力学59 图（图（a） ，（，（c）均为静定问题；而图（）均为静定问题；而图（b），（），（d）均）均为超静定问题。为超静定问题。理论力学60判断下面结构是否静定？判断下面结构是否静定？理论力学61AqBMAqBMAqBMq qBMqABq q qAB判断下面结构是否静定？判断下面结构是否静定？理论力学62ABCDF上图结构是静定？还是超静定？上图结构是静定？还是超静定？理论力学63 需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，需要指出的是，超静定问题并不是不能求解的问题，而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。如果而只是不能仅仅用静力学平衡方程来解决的问题。如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的考虑到物体受力后的变形，在平衡方程外，加上足够的补充方程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、补充方程也可求出全部未知约束力。这将在材料力学、结构力学等课程中加以研究。结构力学等课程中加以研究。 工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了工程上很多结构都是超静定的。由于结构增加了多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用多余约束后，使结构具有更大的刚度，更经济地利用材料，使安全更可靠。材料，使安全更可靠。理论力学64（1 1）平面力系是静力学的重点内容，要特别注意研究方法和解题技巧）平面力系是静力学的重点内容，要特别注意研究方法和解题技巧及步骤及步骤. .在解系统平衡问题时，通常需按题意考虑选取整个体系，或选在解系统平衡问题时，通常需按题意考虑选取整个体系，或选取体系中某几个物体组成的（子）体系，或选取体系中的单个物体为取体系中某几个物体组成的（子）体系，或选取体系中的单个物体为研究对象。注意研究对象。注意每个研究对象的受力图应分别画出，不应混每个研究对象的受力图应分别画出，不应混在一张图上画。在一张图上画。（3 3）列平衡方程时，总是希望一个方程式中只含一个未知量，这样既）列平衡方程时，总是希望一个方程式中只含一个未知量，这样既能迅速解出未知量，又不致因计算差错而相互影响。因此，应根据具能迅速解出未知量，又不致因计算差错而相互影响。因此，应根据具体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心。体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心。（2 2）平面力系平衡方程的三种形式。）平面力系平衡方程的三种形式。理论力学653. 3. 平面力系的平衡问题平面力系的平衡问题