2022年高考数学尖子生辅导专题(文理通用)之专题03含参数函数不等式恒成立问题

2022年高考数学尖子生辅导专题(文理通用)之专题03 含参数函数不等式恒成立问题专题三 含参数函数不等式恒成立问题 不等式问题是数学中的重要内容之一，而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难点这类问题既含参数又含变量，与多个知识有效交汇，有利于考察学生的综合解题才能，检验学生思维的灵敏性与创造性，这正符合高考强调才能立意，强调数学思想与方法的命题思想，因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点 模块1 整理方法 提升才能 处理含参数函数不等式一个未知数恒成立问题，从方法上，可考虑别离参数法或猜测最值法必要条件法假如使用别离参数法，那么猜测是没有作用的，对于难一点的别离参数法，可能要使用屡次求导或洛必达法那么假如使用猜测法，那么后续有3种可能：一是猜测没有任何作用；二是利用猜测减少分类讨论；三是在猜测的根底上强化，从而得到答案从改造的形式上，解答题优先选择一平一曲，可利用别离参数法转化为一平一曲两个函数，也可以把函数化归为一边，考虑函数的图象与轴的交点情况本质上也是一平一曲 洛必达法那么 假如当也可以是时，两个函数和都趋向于零或都趋向于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在假如存在，其极限值也不尽一样我们称这类极限为型或型不定式极限对于这类极限，一般要用洛必达法那么来求 定理1：假设函数和满足条件： 1 2和在的某个去心邻域内可导，且 3存在或为无穷大 那么有 定理2：假设函数和满足条件： 1 2和在的某个去心邻域内可导，且 3存在或为无穷大 那么有 在定理1和定理2中，将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法那么 使用洛必达法那么时需要注意： 1必须是型或型不定式极限 2假设还是型或型不定式极限，且函数和仍满足定理中和所满足的条件，那么可继续使用洛必达法那么，即 3假设无法断定的极限状态，或能断定它的极限振荡而不存在，那么洛必达法那么失效，此时，需要用其它方法计算 4可以把定理中的换为，此时只要把定理中的条件作相应的修改，定理仍然成立 例1 函数 1求在上的最小值； 2假设对恒成立，求正数的最大值 【解析】1定义域为， 当时，函数在为增函数，所以 当时，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减于是在上的最小值为或 i当，即时， ii当，即时， 综上所述，当时，；当时， 2令，那么对恒成立对恒成立 法1：别离参数法当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立 令，那么，令，那么，所以在上递增，于是，即，所以在上递增 由洛必达法那么，可得，于是，所以正数的最大值为 法2：不猜测直接用最值法构造函数，那么 当，即时，所以函数在上递增，所以 当，即时，由可得，所以函数在上递减，于是在上，不合题意 综上所述，正数的最大值为 法3：先猜测并将猜测强化由常用不等式可得，即当时，式子恒成立，当，有恒成立，而，所以 下面证明可以取到，即证明不等式对恒成立构造函数，那么，所以函数在上递增，所以，所以不等式对恒成立，所以正数的最大值为 法4：先猜测并将猜测强化对恒成立，因为所以，即 下同法3 法5：先猜测并将猜测强化当，不等式恒成立，于是对恒成立对恒成立由洛必达法那么，可得，于是 下同法3 【点评】法1别离参数法把恒成立问题转化为求的最小值，法2最值法把恒成立问题转化为求的最小值由此可见最值法与别离参数法本质上是相通的，其本质都是把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，其区别在于所求的函数中是否含有参数 法3、法4和法5都是先求出必要条件，然后将必要条件进展强化，需要解题的敏感度和判断力假如我们将这个必要条件与法2的最值法进展结合，可减少法2的分类讨论 例2 设函数 1求的单调区间； 2假设，为整数，且当时，求的最大值 【解析】1 当时，在上恒成立，所以在上递增 当时，由可得，由可得所以在上递减，在上递增 2当时，所以，即在上恒成立 法1：别离参数法在上恒成立在上恒成立令，那么，令，有在上恒成立，所以在上递增也可由1可知，函数在上递增而，所以在上有唯一根，所以当时，当时，于是在上递减，在上递增，所以在上的最小值为，因为，所以，于是，所以，所以的最大值为 法2：不猜测直接用最值法令，那么，令可得 当，即时，有在上恒成立，于是在上递增，从而在上有，于是在上恒成立 当，即时因为是整数，所以，可知当时，当时，于是在上的最小值是令，那么在上恒成立，所以在上单调递减而，所以当时，有在上恒成立，当时，在上不恒成立 综上所述，的最大值为 法3：先猜测并将猜测强化因为在上恒成立，所以当时，该式子也成立，于是，即下证的最大值为 令，那么，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增所以，于是的最大值为 【点评】由于是整数，所以先猜测再将猜测强化是优先采用的解题方法假如将是整数这个条件去掉，那么得到的必要条件既不能强化又不能减少分类讨论，此时猜测将没有任何作用，只能用法1的别离参数法和法2的最值法进展求解 例3 设函数 1假设，求的单调区间； 2假设当时，求的取值范围 【解析】1当时，由可得，由可得所以的递增区间是，递减区间是 2法1：别离参数法在上恒成立在上恒成立 当时，式子显然成立；当时，别离参数可得在上恒成立令，那么，令，可得 ，所以在上递增，于是，即，所以在上递增，于是，所以，所以在上递增 由洛必达法那么，可得，所以在上有，所以 法2：不猜测直接用最值法， 当，即时，有，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增，所以 当，即时，由可得时，于是在上递减，所以，所以，所以在上递减，于是，于是不恒成立 综上所述，的取值范围是 法3：先猜测并将猜测强化当时，在上恒成立 当时，在上恒成立在上恒成立由洛必达法那么，可得，所以 ，所以在上递增，所以，所以，所以在上递增，所以 【点评】对于恒成立问题，最值法与别离参数法是两种最常用的方法假如别离后的函数容易求最值，那么选用别离参数法，否那么选用最值法最值法主要考察学生分类讨论的思想，一般遵循“构造函数分类讨论”两部曲来展开一些稍难的恒成立问题，假如用别离参数法来处理，往往需要屡次求导和使用洛必达法那么此题中，法2的最值法比法1的别离参数法要简单，这是因为处理 的最小值要比处理的最小值要容易 猜测最值法的形式是解决恒成立问题的重要形式，猜测的一般方法有：特殊值代入，不等式放缩，洛必达法那么，端点效应 模块2 练习稳固 整合提升 练习1：函数 1求曲线在点处的切线方程； 2求证：当时，； 3设实数使得对恒成立，求的最大值 【解析】1，因为，所以，于是切线方程为 【证明】2构造函数，因为，所以在上递增，所以于是当时， 【解析】3法1：不猜测直接用最值法构造函数，那么 当时，所以在上递增，所以 当时，所以在上递增，所以 当时，由可得，于是在上递减，所以，于是在上不恒成立 综上所述，的最大值为 法2：先猜测并将猜测强化由2可知，猜测的最大值为下面证明当 时，在上不恒成立 构造函数，那么当时，由可得，于是在上递减，所以，于是在上不恒成立 练习2：设函数 1证明：在单调递减，在单调递增； 2假设对于任意、，都有，求的取值范围 【证明】1，令，那么，所以在上递增，而，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增 【解析】2由1可知，在上递减，在上递增，所以，于是对于任意、，都有，即构造函数，那么，由可得，由可得，所以在上递减，在上递增又因为，所以的取值范围是 练习3：函数 1当时，求曲线在处的切线方程； 2假设当时，求的取值范围 【解析】1的定义域为当时，所以，于是曲线在处的切线方程为 2法1：别离参数法当时，令，那么，令，那么，于是在上递增，所以，于是，从而在上递增 由洛必达法那么，可得，于是于是的取值范围是 法2：不猜测直接用最值法 当，即时，所以在上递增，所以 当时，令，那么，所以即在上递增，于是 i假设，即时，于是在上递增，于是 ii假设，即时，存在，使得当时，于是在上递减，所以 综上所述，的取值范围是 法3：变形后不猜测直接用最值法当时，令，那么，记，那么是以为对称轴，开口方向向上的抛物线 当，即时，所以，于是在上递增，因此 当，即时，的判别式为，于是有两根，不妨设为、，且由韦达定理可得，于是，所以，于是，当时，所以，于是在上递减，即 综上所述，的取值范围是 法4：通过猜测减少分类讨论当时，因为，所以，即 ，记，那么是以为对称轴，开口方向向上的抛物线当时，所以，于是在上递增，因此所以的取值范围是 法5：通过猜测减少分类讨论当时，由洛必达法那么，可得，于是 下同法4 练习4：函数，曲线在点处的切线方程为 1求、的值； 2假如当，且时，求的取值范围 【解析】1，因为，所以，于是 2法1：别离参数法由可得，令且 ，令，那么，令，那么，令，那么 当时，在上递增，于是，即，所以在上递减，于是，即，所以在上递增，所以，于是，所以在上递减 当时，在上递增，于是，即，所以在上递增，于是，即，所以在上递增，所以，于是，所以在上递增 由洛必达法那么，可得，同理，所以当且时，有，于是 法2：不猜测直接用最值法由1知，所以，考虑函数，那么，此时有 ，令，当时，其判别式为 当时，所以，于是，于是在上递减，而，所以当时，于是；当时， ，于是所以当，且时，即恒成立 当时，是开口方向向下，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数因为，所以当时，所以，于是在上递增，所以而时，所以，于是不恒成立 当时，所以在上是增函数，所以当时，而，所以，于是不恒成立 当时，是开口方向向上，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数因为，所以在上恒成立，所以在上是增函数，以下同，于是不恒成立 当时，是开口方向向上，以为对称轴，与轴最多有一个交点的二次函数，所以在上恒成立，所以在上是增函数，以下同，于是不恒成立 综上所述，的取值范围为 法3：通过猜测减少分类讨论由1知，所以因为，所以 考虑函数，那么，此时有 ，令，这是开口方向向下的抛物线，其判别式为 当时，所以，于是，于是在上递减，而，所以当时，于是；当时，于是所以当，且时，即恒成立 当时，是开口方向向下，以为对称轴，与轴有两个交点的二次函数因为，所以当时，所以，于是在上递增，所以而时，所以，于是不恒成立 综上所述，的取值范围为 法4：通过猜测减少分类讨论由可得，由洛必达法那么，可得，于是，所以 下同法2，只需讨论法2的三种情况即可 法5：通过猜测减少分类讨论由可得，由洛必达法那么，可得，所以 下同法2，只需讨论法2的即可 【点评】法1的别离参数法，利用了高阶导数以及洛必达法那么，减少理解题的技巧性法2的最值法构造了函数，只需由在上恒成立，求出的取值范围即可但的表达式比拟复杂，其复杂的根在于前面带有，直接求导只会让式子变得更复杂，因此我们提取，让变得“纯粹”一点的正负取决于与的正负，由此可找到的3个界：0、1、2，从而对的范围作出不重不漏的划分 法3、法4和法5都是猜测最值法，分别通过特殊值代入和洛必达法那么得到相应的必要条件，有效缩小了参数的取值范围，此时只需讨论法2分类当中的假设干情况即可，减少了分类讨论，从而降低题目的难度 第 12 页 共 12 页