一元二次方程知识要点

一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误；因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0 时,=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：0 有两个不等的实根； =0有两个相等的实根；0 无实根；0 有两个实根等或不等.4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 时,如0,有下列公式： 5当ax2+bx+c=0 时,有以下等价命题：1两根互为相反数= 0且0b = 0且0；2两根互为倒数=1且0a = c且0；3只有一个零根= 0且0c = 0且b0；4有两个零根 = 0且=0c = 0且b=0；5至少有一个零根 =0c=0；6两根异号 0 a、c异号；7两根异号,正根绝对值大于负根绝对值0且0a、c异号且a、b异号；8两根异号,负根绝对值大于正根绝对值0且0a、c异号且a、b同号；9有两个正根 0,0且0a、c同号, a、b异号且0；10有两个负根 0,0且0a、c同号, a、b同号且0.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时,二次三项式在实数范围内不能分解.ax2+bx+c=a 或 ax2+bx+c=.7求一元二次方程的公式： x2 -x1+x2x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一 设增长率为x： 第一年为 a ,第二年为a , 第三年为a2.2常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.9分式方程的解法：10. 二元二次方程组的解法：11几个常见转化：；解三角形 1.三角函数的定义：在RtABC中,如C=90,那么sinA=； cosA=；tanA=； cotA=.2余角三角函数关系- 正余互化公式 如A+B=90,那么：sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB.3. 同角三角函数关系：sin2A+cos2A =1； tanAcotA =1. tanA=cotA=4. 函数的增减性：在锐角的条件下,正弦,正切函数随角的增大,函数值增大；余弦,余切函数随角的增大,函数值反而减小.5特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形,通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值,要熟练记忆它们.A 0 30 456090sinA0 1cosA 1 0tanA01不存在 cotA不存在 1 0 6. 函数值的取值范围： 在090时.正弦函数值范围：01；余弦函数值范围: 10；正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0.7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素,可以知二可求三,但知二中至少应该有一个是边.8.关于直角三角形的两个公式：RtABC中: 若C=90,9坡度： i = 1:m = h/l = tan；坡角:.10. 方位角：11仰角与俯角：12解斜三角形：已知SASSSSASAAAS 条件的任意三角形都可以经过斜化直求出其余的边和角. 13解符合SSA条件的三角形：若三角形存在且符合SSA条件,则可分三种情况：1A90,图形唯一可解； 2 A90,A的对边大于或等于它的已知邻边,图形唯一可解；3A90,A的对边小于它的已知邻边,图形分两类可解.14解三角形的基本思路：1斜化直,一般化特殊 - 加辅助线的依据；2合理设辅助元k,并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-转化思想；3三角函数的定义,几何定理,公式,相似形等都存在着大量的相等关系,利用其列方程或方程组是解决数学问题的常用方法-方程思想.函数与其图象一 函数基本概念1.函数定义：设在某个变化过程中,有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值与它对应,那么就说y是x的函数,x是自变量. 2.相同函数三个条件：1自变量范围相同；2函数值范围相同；3相同的自变量值所对应的函数值也相同.3. 函数的确定：对于 y=kx2 , 如x是自变量,这个函数是二次函数；如x2是自变量,这个函数是一次函数中的正比例函数.4.平面直角坐标系：1平面上点的坐标是一对有序实数,表示为: Mx,y,x叫横坐标,y叫纵坐标；2一点,两轴,四半轴,四象限,象限中点的坐标符号规律如右图：3 x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0; 即x轴上的点纵为0,y轴上的点横为0”；反之也成立；4象限角平分线上点M 的坐标特征:x=y M在一三象限角平分线上； x=-y M在二四象限角平分线上.5对称两点M, N 的坐标特征：关于y轴对称的两点 横相反,纵相同；关于x轴对称的两点 纵相反,横相同；关于原点对称的两点 横、纵都相反.5.坐标系中常用的距离几个公式-点求距1如图,轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小 , PQ=|y1-y2|=y大-y小 .2如图,象限上的点Mx,y:到y轴距离：dy=|x|； 到x轴距离: dx=|y|；.3如图,轴上的点M0,y、Nx,0到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.4如图,平面上任意两点Mx2,y2、Nx2,y2之间的距离： 6. 几个直线方程 :y轴直线 x=0 ； x 轴直线 y=0 ；与y轴平行,距离为a的直线直线 x=a；与x轴平行,距离为b的直线直线 y=b.7. 函数的图象： 把自变量x的一个值作为点的横坐标,把与它对应的函数值y作为点的纵坐标,组成一对有序实数对,在平面坐标系中找出点的位置,这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象； 图象上的点都适合函数解析式,适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得图象上的点就能代入-重要代入！ 坐标平面上,横轴叫自变量轴,纵轴叫函数轴；利用已知的图象,可由自变量值查出函数值,也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围,也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围； 函数的图象由左至右如果是上坡,那么y随x增大而增大叫递增函数；函数的图象由左至右如果是下坡,那么y随x增大而减小叫递减函数.8. 自变量取值范围与函数取值范围：一次函数1. 一次函数的一般形式：y=kx+b . 2. 关于一次函数的几个概念：y=kx+b 的图象是一条直线,所以也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点和x轴上的点；注意：如图,这两个点也是画直线图象时应取的两个点. b叫直线y=kx+b在y轴上的截距,b的本质是直线与y轴交点的纵坐标,知道截距即知道解析式中b的值. 3.y=kx+b 中,k,b符号与图象位置的关系：4. 两直线平行：两直线平行 k1=k2 两直线垂直 k1k2=-1.5. 直线的平移：若m0,n0, 那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n个单位长度得y=kx+b-n 直线平移时,k值不变.6.函数习题的四个基本功： 式求点：已知某直线的具体解析式,设y=0,可求出直线与x轴的交点坐标x0 ,0；设x=0,可求出直线与y轴的交点坐标；已知两条直线的具体解析式,可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标；交点坐标的本质是一个方程组的公共解； 点求式： 已知一次函数图象上的两个点,可设这个函数为y=kx+b,然后代入这两个点的坐标,得到关于k、b的两个方程,通过解方程组求出k、b,从而求出解析式-待定系数法； 距求点：已知点M到x轴,y轴的距离和所在象限,可求出点M的坐标；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴,可求出点P的坐标； 点求距：函数题经常和几何相结合,利用点的坐标与它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长,从而使得函数问题几何化.正比例函数1.正比例函数的一般形式：y=kx ；属于一次函数的特殊情况；即b=0的一次函数它的图象是一条过原点的直线；也叫直线y=kx.2画正比例函数的图象：正比例函数y=kx 的图象必过点和1,k点,注意：如图,这两个点也是画正比例函数图象时应取的两个点,即列表如右：3.y=kx 中,k的符号与图象位置的关系：4. 求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点,可设这个正比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后, 可求k, 从而求出具体的函数解析式-待定系数法.二次函数1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过0,c点.3. y=ax2 的特性：当y=ax2+bx+c 中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 ;这个二次函数是一个特殊的二次函数,有下列特性：1图象关于y轴对称；2顶点0,0；3y=ax2 可以经过补0看做二次函数的一般式,顶点式和双根式,即： y=ax2+0x+0, y=a2+0, y=a.4. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与几个重要点的公式： 5. 二次函数y=ax2+bx+c 中,a、b、c与的符号与图象的关系： a0 抛物线开口向上； a0 抛物线开口向下； c0 抛物线从原点上方通过； c=0 抛物线从原点通过；c0 抛物线从原点下方通过； a,b异号 对称轴在y轴的右侧； a,b同号 对称轴在y轴的左侧；b=0 对称轴是y轴； 0 抛物线与x轴有两个交点；=0 抛物线与x轴有一个交点即相切；0 抛物线与x轴无交点.6求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标,可设解析式y=ax2+bx+c,并把这三点的坐标代入,解关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值, 从而求出解析式-待定系数法.8二次函数的顶点式： y=a2+k ； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标h,k,对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值=k.9求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标x0,y0和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a2+ y0,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.注意：习题无特殊说明,最后结果要求化为一般式10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式,然后才好判断图象的平行移动；y=a2+k的图象平行移动时,改变的是h, k的值, a值不变,具体规律如下：k值增大 图象向上平移； k值减小 图象向下平移；x-h值增大 图象向左平移； 值减小 图象向右平移.11. 二次函数的双根式： y=a ；由双根式直接可得二次函数图象与x轴的交点x1,0,x2,0.12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象与x轴的交点坐标x1,0,x2,0和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y= a,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式. 注意：习题最后结果要求化为一般式13二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴,可利用图象的对称性求出已知点的对称点,这个对称点也一定在图象上.反比例函数1. 反比例函数的一般形式：图象叫双曲线.2. 关于反比例函数图象的性质：反比例函数y=kx-1中自变量x不能取0, 故函数图象与y轴无交点; 函数值y也不会是0, 故图象与x轴也不相交.3. 反比例函数中K的符号与图象所在象限的关系：4. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点,即可设解析式y=kx-1, 代入这一点可求k 值,从而求出解析式.函数综合题1数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现,例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题与几何问题相结合时,方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中,当图象与图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时,往往造成函数问题的分类.2数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用,了解这些数学方法是十分必要的.3函数与方程的关系：正比例函数y=kx 、一次函数y=kx+b 都可以看作二元一次方程,而二次函数y=ax2+bx+c 可以看作二元二次方程,反比例函数可以看作分式方程,这些函数图象之间的交点,就是把它们联立为方程组时的公共解.4二次函数与一元二次方程的关系：1如二次函数y=ax2+bx+c 中的0时,图象与x轴相交,函数值y=0,此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 ,这个方程的两个根x1、x2是二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交两点的横坐标,交点坐标为x1,0x2,0；2当研究二次函数的图象与x轴相交时的有关问题时,应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程,此时,一元二次方程的求根公式,值,根系关系等都可用于这个二次函数.3如二次函数y=ax2+bx+c 中的0时,图象与x轴相交于两点Ax1 ,0,Bx2 ,0有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象与y轴交点 C,也有关系式: OC=|c|.5二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,若消去一个未知数,则转化为一元二次方程,此时的值将决定原方程组解的情况,即：0 方程组有两个解； =0方程组有一个解；0 方程组无实解.初三数学应知应会的知识点 几何A级概念：要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明1.垂径定理与推论: 如图：有五个元素,知二可推三；需记忆其中四个定理,即垂径定理中径定理弧径定理中垂定理.几何表达式举例： CD过圆心CDAB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.角、弦、弧、距定理：同圆或等圆中等角对等弦； 等弦对等角； 等角对等弧； 等弧对等角；等弧对等弦；等弦对等弧；等弦对等弦心距；等弦心距对等弦.几何表达式举例： AOB=COD AB = CD AB = CDAOB=COD4圆周角定理与推论:1圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；2一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；3等弧对等角等角对等弧；4直径对直角直角对直径；5如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.1 23 4几何表达式举例：1 ACB=AOB2 AB是直径ACB=903 ACB=90 AB是直径4 CD=AD=BDABC是Rt5圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形CDE =ABCC+A =1806切线的判定与性质定理:如图：有三个元素,知二可推一；需记忆其中四个定理.1经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2圆的切线垂直于经过切点的半径；3经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；4经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：1 OC是半径OCABAB是切线2 OC是半径AB是切线OCAB3 7切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例： PA、PB是切线 PA=PBPO过圆心APO =BPO8弦切角定理与其推论:1弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；2如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等；如图3弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.如图1 2几何表达式举例：1BD是切线,BC是弦CBD =CAB2 ED,BC是切线CBA =DEF9相交弦定理与其推论:1圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等；2如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.1 2几何表达式举例：1 PAPB=PCPD2 AB是直径PCABPC2=PAPB10切割线定理与其推论:1从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；2从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.1 2几何表达式举例：1 PC是切线,PB是割线PC2=PAPB2 PB、PD是割线PAPB=PCPD11关于两圆的性质定理:1相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；2如果两圆相切,那么切点一定在连心线上.1 2几何表达式举例：1 O1,O2是圆心O1O2垂直平分AB2 1 、2相切O1 、A、O2三点一线12正多边形的有关计算:1中心角an ,半径RN ,边心距rn ,边长an ,内角bn ,边数n；2有关计算在RtAOC中进行.公式举例： an =； 几何B级概念：要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内外公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正多边形的中心角.二 定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆.3正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三 公式：1.有关的计算：1圆的周长C=2R；2弧长L=；3圆的面积S=R2.4扇形面积S扇形 =；5弓形面积S弓形 =扇形面积SAOBAOB的面积.如图2.圆柱与圆锥的侧面展开图：1圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2rh； 2圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. L=2r,R是圆锥母线长；r是底面半径四 常识：1 圆是轴对称和中心对称图形.2 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.4 直线与圆的位置关系：其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径直线与圆相交 dr ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 dr.5 圆与圆的位置关系：其中d表示圆心到圆心的距离,其中R、r表示两个圆的半径且Rr两圆外离 dR+r； 两圆外切 d=R+r； 两圆相交 R-rdR+r；两圆内切 d=R-r； 两圆内含 dR-r.6证直线与圆相切,常利用：已知交点连半径证垂直和不知交点作垂直证半径 的方法加辅助线.7关于圆的常见辅助线：已知弦构造弦心距.已知弦构造Rt.已知直径构造直角.已知切线连半径,出垂直.圆外角转化为圆周角.圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形.两圆内切,构造外公切线与垂直.两圆内切,构造外公切线与平行.两圆外切,构造内公切线与垂直.两圆外切,构造内公切线与平行.两圆同心,作弦心距,可证得AC=DB.两圆相交构造公共弦,连结圆心构造中垂线.PA、PB是切线,构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等,一对相似.圆的外切四边形对边和相等.若ADBC都是切线,连结OA、OB可证AOB=180,即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心 和切点,并构造相似形.RtABC的内切圆半径：r=.补全半圆.AB=.AB=.PC过圆心,PA是切线,构造双垂、Rt.O是圆心,等弧出平行和相似.作ANBC,可证出:.13 / 13