随机过程复习题答案

.随机过程习题解答一第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。a分别写出随机变量和的分布密度b试问：与是否独立？说明理由。解：a b由于：因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为：因此与独立。2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。a试求和的相关系数；b与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能,试分别写出条件。解：a利用的独立性,由计算有：b当的时候,和线性相关,即3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为,且是一个周期为T的函数,即,试求方差函数。解：由定义,有：4、考察两个谐波随机信号和,其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。a求的均值、方差和相关函数；b若与独立,求与Y的互相关函数。解：a b第二讲作业：P33/2解：其中为整数,为脉宽从而有一维分布密度：P33/3解：由周期性及三角关系,有：反函数,因此有一维分布：P35/4. 解： 其中由题意可知,的联合概率密度为：利用变换：,及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。2典型样本函数是一条正弦曲线。3给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且所以。4 由于：所以因此当时,当时,由1中的结论,有：P36/7证明： 由协方差函数的定义,有：2P37/10. 解：1当i=j 时；否则令,则有第三讲作业：P111/7解：1是齐次马氏链。经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。2由题意,我们有一步转移矩阵：P111/8解：1由马氏链的马氏性,我们有：2由齐次马氏链的性质,有：,因此：P112/9解：12由1的结论,当为偶数时,递推可得：；计算有：,递推得到,因此有：P112/11解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：,及特征向量：令矩阵,则有：因此有：P112/12解：设一次观察今天及前两天的天气状况,将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态,则此问题就是一个马氏链,它有8个状态。记每天天晴为0,下雨为1,则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000,为状态0；第一天晴,第二天晴,第三天雨为001,为状态1；第一天晴,第二天雨,第三天晴为010,为状态2；第一天晴,后两天阴为011,为状态3,等等。根据题目条件,得到一步转移矩阵如下：第四讲作业：P113/13解：画出状态转移图,有：P113/14. 解：画出状态转移图,有：P113/16解：画出状态转移图,有：1由于三个状态都是相通的,所以三个状态都是常返态。3状态3、4无法和其他状态相通,组成一个闭集,且,所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集,且,故状态0、2是常返态；因为,故,所以状态1为非常返态。40、1相通作成一闭集,且,故0、1为常返态；又,因此,故2为常返态；,故3、4为非常返态。第六讲作业：P115/17解：1一步转移矩阵为：2当时,由计算可得,因此可由以下方程组计算极限分布：解得极限分布即可。P115/18解：由第七题的结果,计算可得：,因此可计算极限分布如下：解以上方程,得极限分布：P115/19解：见课上讲稿。P116/21解：记,则有：1因为： 当时,有：由A可得：当且时,有：由A可得：当且时,有：由A可得：另外：下列等式是明显的因此我们有：即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：2画出转移矩阵图,可得：由：及,并且取,由递归可得：3由于：因此,零状态是正常返的,由相通性,故所有状态都是正常返的,即此马氏链是不可约的。4由马氏链的无后效性,可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：随机过程习题解答二P228/1。证明：由于,有其中所以证毕。P229/3. 解：1因为是一Poission过程,由母函数的定义,有：2有上面1的结果,可得：3当充分小时,由于：因此,当时,有：由2的结果,我们有：P229/4. 解：1由上面3题的结果3,我们有：2由于是随机过程的母函数,且,将函数关于展开成级数形式,我们可得：由母函数与分布函数的唯一性定理,可得：P230/8. 解：由特征函数的定义,我们有：令,则有：*若的概率分布为：则*将*代入*,我们有：P230/7. 解：先求的特征函数：由上面8题的结果,根据特征函数与分布函数的唯一性定理,可知是复合Poission过程。P231/10. 解：由于因为的母函数为：,由独立性,可知的母函数为：,所以是参数为的泊松过程,即因此我们有：P231/12. 解：1由令,有解得2由1知,服从参数为的泊松分布。P232/15. 解：1以表示时刻系统中不正常工作的信道数,则是一马氏过程,其状态空间为：,矩阵为：2令：则前进方程为：3令：写出福克普朗克方程：即有：做Laplace变换,令：则有：由上解得：其中：因此求即可。4P233/16. 解：1令表示时刻系统中正在用电的焊工数,则是一马氏过程,其状态空间为：。2矩阵为：3令：写出福克普朗克方程：4画出状态转移率图,可得时的平衡方程：由此可得：即有：由此可以求得：由,即可确定,最终得到所要的结果。P233/17. 解：1由于：可以得到此过程的矩阵：令：写出福克普朗克方程：初始条件：。2由数学期望的定义：由此,我们有：即可得到描写的微分方程：3解上面的微分方程,我们有：P233/19. 解1根据题意得到矩阵为由福克普朗克方程得：2而因此左边=右边=左边=右边,证毕。3将代入左边。4由,有即进而有所以5令,由的结论其中对应的系数为所以67由的结论,知P236/24解：(1) 根据题意得矩阵由平衡方程,有因此有 ,进而 因为所以,当 时系统平稳。(2) 前次以概率重新排队,第次以概率离开,所以即为所求。26解(1) 设系统状态为不工作机器的数量,则,得矩阵列出平衡方程其中：解得所以P237/28. 解：1设泊松分布第个事件发生与第个事件发生的时间间隔的特征函数为：,则有：由于是独立同分布的,根据 以及特征函数的性质可知：因此可知是服从参数为的泊松分布,即：2由：可知：附：一阶拟线性线性偏微分方程的解法：一阶拟线性方程的一般形式：一阶线性方程的一般形式：称：或：为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解为积分曲面。有以下定理：定理：若特征曲线上一点位于积分曲面上,则整个位于上。初值问题：给定初始曲线：,为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解,使满足。我们有以下定理。定理：设曲线光滑,且,在点处行列式又设在附近光滑,则初始问题：在参数的一邻域内存在唯一解。例：已知初始曲线,求初值问题：解：由于：解常微分方程的初值问题：得：由后两式解出,并代入第一式,解得：P233/9. 解初值问题：由于：解常微分方程的初值问题：解得：在上面式子中消去参数,得初值问题的解：P311/1. 解：1给定时,有2任取我们有：所以Poission过程不是平稳过程。P311/2. 解：1由Poission过程的性质,任取假定事件：则有：,因此有：2由,且仅与有关,可知是平稳过程。P312/3. 解：1由均值的定义,我们有：2由相关函数的定义,任取,我们可得：P312/4. 解：为了解此题,先看下面的引理：引理：设是服从正态分布的二维随机变量,其概率密度为：则和Y取不同符号的概率为：引理的证明：令：则有：以上式子用了变换：由：因此只要求：因此有：由于此时：我们即可得到结论。P313/5. 证明：由于：故是宽平稳过程。分别取,则,因为具有不同分布,所以不满足一级严平稳条件。P314/10. 解：样本函数不连续。令：,下面求相关函数：因为：因此该过程是均方连续的随机过程。P314/11. 证明：令：,则有由车比雪夫不等式：P315/13. 证明：1令：,由上题的结果可知：因此有2由相关函数的定义及1的结果,有P316/17. 解：1由均值函数和相关函数的定义,我们有：由,可得2有上面的结果知是一宽平稳过程。令：,不具有相同的分布,所以不是一级严平稳过程。P318/22. 解：根据题目给定的条件,有：,因为：,因此有：P318/23. 解：根据为一平稳过程,则有：,因此有：P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义,有：P319/28. 解：由题意,我们有：设,则有：令：,则有：,因此有：P319/30. 解：1由于：因此输入不是平稳的。2由计算可得：3计算均值函数和相关函数为：因此输出不是平稳的过程。P445/1解题中给出的是一确定性周期信号,令：,因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：当时,因此有：P445/2. 解：3 4 P445/3. 解：由功率谱密度和相关函数的关系,有：P446/4. 解：1由于：因此,由功率谱密度和相关函数的关系,有：2由功率谱密度和相关函数的关系,有：P446/5. 解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数,我们有：其均方值为：P447/7. 解：1冲激响应为：2由6题的结果,我们有：注意到的定义,当或时,当时,当时,因此有：3由6题的结果,令：,有：P447/8. 解：由Fourier变换,有：因为：则有：因此有：当时,有由于：,显然,所以不关于对称。P448/11. 证明I ：当时,利用实平稳过程相关函数的非负定性以及,取：,；以及,我们有：由此可得：即有：因此有：证明II ：设此随机过程的功率谱密度函数为,由题意可知,下面用归纳法证明结论：当时,有假设当n=k时,结论成立,即则有：即当n=k+1时,结论成立,由归纳法可知有结论成立。P450/14. 解：由样本函数可知,假设为第i个脉冲到达时刻,则有：根据：,由我们有：由于因此,当时, 是平稳过程,且由Fourier变换,可得：P452/16. 解：由,且与的独立性及它们的平稳性,有：P452/17. 证明：1由：由于：因此：由于：,因此输出过程是平稳过程。2由1的结果,有：P454/19. 解：令,我们有：P454/21. 解：1取：,则有：,因此有：2由1的结果,有：由于：因此有：P561/1. 解：只要求矩阵B的逆矩阵即可。我们有：P562/4. 解：由求特征函数的公式：我们有：P563/7. 解：由的密度函数,我们有： 因此有：计算,得：因此是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为,因此变换后的分布密度为：由归一化条件可以确定。P562/6. 解：由特征函数的定义,可知三维正态随机向量的特征函数为：令：则有：1 计算得：因此有：2 计算得：对于次数大于1的那些项,当时,都会变成0,统一记作,有：对于含有的那些项,当时,都会变成0,统一记作,则有：利用=1,可得：3先求得：则有： P563/8. 解：求边缘分布密度,由于：即服从正态分布,同理也服从正态分布。注意到：我们可以求得随机变量的分布密度为：由全概率公式,我们有：因此,当时,我们有：即：显然,上式第一项表示的是正态分布的项,而第二项是非零的,因此和的线性组合不是一维正态分布,由书中P472的定理一,我们可知不是二维正态分布。P564/11. 解：1根据维纳辛钦定理,我们有：则有故两两不相关,由于是高斯过程,因此它们是独立的。令：则有：因此有：的联合概率密度为：2由于故有：P568/18. 解：我们知道,平稳奥斯坦乌伦贝克过程是正态过程,且有：由公式见P466例：我们有：即有：下面计算：当时,有：由于此时当时,有,因此：当时,我们有：因此有：同理可以讨论当和的情形,同样有。由相关函数各态历经性定理可知,平稳奥斯坦乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。P569/23. 解：随机微分方程的解为：P569/24. 解：将微分方程化成标准形式,有：利用上题的结果,有：由于为常数,因此我们有：由于X是正态分布,因此可以写出其一维分布密度为：.