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第二节参 数 方 程【教材基础回顾】1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数_,并且对于t的每一个 x f t ,y g t 允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做_,简称_.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程F(x,y)=0叫_方程.参变数参数普通2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数.(2)普通方程化参数方程:如果x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),则得曲线的参数方程 x f ty g t .（），（）3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹轨迹普通方程普通方程参数方程参数方程直线直线y yy y0 0=tan (x=tan (xx x0 0) )( ( ，点斜式，点斜式) )_(t(t为参数为参数) )圆圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2_(为参数为参数) )椭圆椭圆 =1 =1(ab0)(ab0)_( (为参数为参数) )00 xxtcos ,yytsin2x a rcos ,y b rsin 2222xyabx acos ,y bsin【金榜状元笔记】1.参数方程化普通方程(1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减消元等.(2)常用公式:cos 2+sin 2=1,1+tan 2= 21.cos 2.直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是 若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则00 x xtcos ,y ytsin .(1)|M1M2|=|t1-t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t= 中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|= (3)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.12tt2，12tt|.2【教材母题变式】1.把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线?(1) (t为参数)(2) (为参数)x 3t 2,y t 1 x 5cos ,y 4sin【解析】(1)由y=t-1得t=y+1,代入x=3t+2得x=3(y+1)+2,故所求普通方程为x-3y-5=0,这是一条直线.(2)曲线方程化为 所以 这是椭圆.xcos ,5ysin ,422xy125 16 ，2.已知曲线C的参数方程是 (t为参数,aR),点M(-3,4)在曲线C上.(1)求常数a的值.(2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上?2x 1 2t,y at 【解析】(1)将M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程 消去参数t,得a=1.22x 1 2t,3 1 2t,y at4 at 得(2)由(1)可得,曲线C的参数方程是 把点P的坐标(1,0)代入方程组,解得t=0,因此P在曲线C上,把点Q的坐标(3,-1)代入方程组,得到这个方程组无解,因此点Q不在曲线C上.2x 1 2t,y t , 23 1 2t,1 t 3.已知点P是椭圆 +y2=1上任意一点,求点P到直线l:x+2y=0的距离的最大值.2x4【解析】因为椭圆 +y2=1的参数方程为(为参数),故可设点P的坐标为(2cos ,sin ),又直线l:x+2y=0.因此点P到直线l的距离d= 2x4x2cos ,y sin222 2|sin()|2cos2sin |4.512又0,2),所以dmax= 即点P到直线l:x+2y=0的距离的最大值为 2 22 1055，2 10.5【母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1参数方程化普通方程参数方程化普通方程P25P25例例3 32 2用参数方程研究点与曲用参数方程研究点与曲线的位置关系线的位置关系P22P22例例1 13 3参数方程研究最值问题参数方程研究最值问题P28P28例例1 1考向一 参数方程与普通方程的互化【典例1】将下列参数方程化为普通方程. 221xt1(t).1yt1tx2 sin 2().y1 cos 2 ，为参数为参数【解析】(1)由t2-10t1或t-10 x1或-1x0,所以t1t2=-11,即|PA|PB|=11.3x 1t,21y 2t2 2231(1t)(2t)1622，3考向三 极坐标方程和参数方程的综合应用 高频考点【典例3】(1)(2017全国卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 (t为参数),直线l2的参数方程为 (m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.x 2 ty kt ，x2 mmyk ，写出C的普通方程;以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交点,求M的极径.2(2)(2018衡水模拟)已知曲线C的极坐标方程是2=4cos +6sin -12.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为 (t为参数).1x 2t,23y 1t2 写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程,并判断它们的位置关系;将曲线C向左平移两个单位,再向下平移三个单位得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换 得到曲线E,设曲线E上任一点为M(x,y),求 的取值范围.xx,y2y13xy2(3)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为(为参数).求过椭圆的右焦点,且与直线 (t为参数)垂直的直线l的普通方程;求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值.x4cosy7sin，x4 2ty 3 t ，【解析】(1)直线l1的普通方程为y=k(x-2),直线l2的普通方程为x=-2+ky,消去k得x2-y2=4,即C的普通方程为x2-y2=4.l3的直角坐标方程为x+y= 联立 所以2=x2+y2= 所以l3与C的交点M的极径为 2,223 2xx y22xy42y.2 ，得，18 25,445.(2)直线l的普通方程为 曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-3)2=1.因为 所以直线l和曲线C相切.3x y 2 3 1 0, 2|23 3 2 3 1|1,31 曲线D为x2+y2=1,曲线D经过伸缩变换 得到曲线E的方程为x2+ =1.则其参数方程为 (为参数),xx,y2y2y4x cos ,y 2sin代入 得,所以 的取值范围为-2,2.13xy213xy3cossin2sin(),2313xy2(3)椭圆方程为 椭圆的右焦点为(3,0),已知直线的斜率k= ,于是所求直线l的方程可设为y=-2x+b,又直线过(3,0)所以所求直线方程为:y=-2x+6.22xy1,16712设A(4cos , sin ),则椭圆C的内接矩形ABCD面积S=4|xy|=16 |sin cos |=8 |sin 2|,面积最大为8 .7777【技法点拨】极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标系方程,然后求解.(2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程,然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.【同源异考金榜原创】命题点1求交点坐标、距离、线段长1.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:2-4cos +3=0,0,2,曲线C2:= 0,2.3,4sin()6(1)求曲线C1的一个参数方程.(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.【解析】(1)由2-4cos +3=0可知:x2+y2-4x+3=0,所以(x-2)2+y2=1.令x-2=cos ,y=sin ;所以C1的一个参数方程为 (R).x2 cosy sin ，(2)C2: 所以 即2x- -3=0,因为直线2x- -3=0与圆(x-2)2+y2=1相交于A,B两点,所以圆心到直线的距离为d= 所以 4 (sin coscos sin ) 366 ，134( xy) 322 ，2 3y2 3y14，211515AB 21 ( )2.442 命题点2判断位置关系2.在极坐标系中,已知三点O(0,0), (1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程.(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为 (是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.A(2),B(2 2, ).24，x1 acos ,y1 asin 【解析】(1)O(0,0), 对应的直角坐标分别为O(0,0),A(0,2),B(2,2),则过O,A,B的圆的普通方程为x2+y2-2x-2y=0,又因为 代入可求得经过O,A,B的圆C1的极坐标方程为= A(2),B(2 2, )24，xcosysin，2 2cos().4(2)圆C2: (是参数)对应的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2,当圆C1与圆C2外切时,有 +|a|=2 ,解得a= .x1 acos ,y1 asin 222命题点3求最值和取值范围问题3.(2018唐山模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C2: (为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x 1 cosy sin ，(1)求曲线C1,C2的极坐标方程.(2)若射线l:=(0)分别交C1,C2于A,B两点,求 的最大值.OBOA【解析】(1)因为在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C1的极坐标方程为(cos +sin )=4,C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以曲线C2的极坐标方程为=2cos .(2)设A(1,),B(2,), 则1= 2=2cos , 2cos (cos +sin )当= 时, 取得最大值 42 ，4,cossin21OB1OA411(cos 2sin 21) 2cos(2) 1444 ，8OBOA12 1 .4（）核心素养系列（六十一）数学建模参数方程中的核心素养建立有关曲线的参数方程,研究解析几何中位置关系、交点坐标、弦长和最值问题.【典例】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .x acos ty 1 asin t，(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(2)C2:=4cos ,两边同乘,得2=4cos ,因为2=x2+y2,cos =x,所以x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.C3:化为直角坐标方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共弦所在直线即为C3.-得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.
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