悬崖跳水问题的数学模型

悬崖跳水问题的数学模型摘要本文探讨的是悬崖跳水水池安全深度的问题，为了保证运动员的人身安全，水池建立必须有足够的深度，另一方面，尽量节约水池建设的成本可避免无意义的浪费。所以水池深度设定必须在满足不造成运动员人身伤害的同时达到最低成本消耗的要求。又因为运动员的跳水主要是在竖直方向上的运动，为了便于求解，在对运动员进行受力分析时不考虑水平方向的受力情况，同时我们将人体看做圆柱体。对运动员跳水过程进行分析，将跳水过程分为四个阶段（空中，刚接触水面，入水，完全进入水中）。在问题一中，本文只考虑其从跳台至刚与水面接触的过程，运用MATLAB软件求解可得刚与水面接触时男运动员到水面的速度为，女运动员到水面的速度为。再运用动能定理： 代入数据得20501J的能量；同样可求女运动员从跳台到水平面时所做功为11728J。数据显示运动员从高为20多米的高崖跳水至刚接触水时瞬间的碰撞能量超过头部所能承受的能量。若是头先入水很可能会造成脑震荡，所以必须脚先入水。在问题二中，本文在第一阶段分有空气阻力和无空气阻力的情况，运用经典物理学中的牛顿第二定律、常微分方程以及功能守恒定理建立模型，得出在无阻力时男子跳水水池至少深度为=17.44148m，女子跳水水池至少深度为=15.1348m；在有阻力时男子跳水水池深度为=17.04148m，女子跳水水池深度为=15.0348m。在问题三中，本文已知人体密度不变，若要分析体重不同人的水池深度问题，只需考虑三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。建立方程求解得出：体重越大的人跳水时需要更深的水。关键字：悬崖跳水 牛顿第二定律 常微分方程 功能守恒定理 MATLAB软件 一、问题重述近年来世界上新兴一种跳水比赛叫红牛悬崖跳水世界杯比赛。悬崖跳水，即运动员从高空悬崖跳下来，身体在重力的作用下快速自由下落，这是一种非常危险、挑战人类极限的比赛，所以比赛中安全问题显得非常重要。比赛规定男子跳台高度为23至28米，女子为18至23米。我国福建连城的冠豸山就举行过这样的比赛，那里的跳台高度是男子28米，女子20米。由于它具有极大的危险性，因此我们考虑如何减小跳水当中的危害，提高安全性？带着这个疑惑我们建立数学模型来解决以下问题：1、计算、分析并回答，悬崖跳水选手是脚先入水，还是头先入水。2、跳台下面的水池跳水要多深才能安全，请大家分两种情况给以计算：（1）在悬崖到水面之间，不考虑空气阻力；（2）在悬崖到水面之间，考虑空气阻力；提示要求：在计算的过程中要求将人体看成圆柱形状。3、分别就上述两种情分析析两个体重不同的人跳水时哪个需要更深的水。二、问题分析要探讨水深的安全的问题，需要分析在跳水者进入水之后继续下落的深度，考虑到绝对的安全，那么在运动员下落至水底之前，速度减为足够小，而不至于因撞击池底而受伤。在本问题中，要确保运动员的绝对安全，此处所需深度恰好是运动员在水下首次静止时的深度。针对问题一：我们只需考虑运动员在空中下落的过程，求出其刚接触水面时的功，进而分析判断得出结果。针对问题二：空气中的下落按照质点下落分析，则还需分析整个入水以及入水后触底过程。且运动员跳水模型存在触水碰撞，故将整个入水过程分成四个阶段：空中下落、接触水面碰撞、人体与水面碰撞完毕后整个身体进入水中、整个身体刚好完全进入水中到触底。第一个过程，从跳板到刚要和水面接触时中间的过程； 第二个过程，人水短暂碰撞过程按照流固撞击处理，运用动力学原理能量和动量分析；第三个过程，人的身体处于进入水的过程，建立运动状态方程；第四个过程，由于身体完全进入水中，同样建立第二个状态方程。而后，在此基础上我们对问题二进行了有阻力和无阻力的情况分析。针对问题三：在问题二的基础上，我们同样把人体看作圆柱体进行分析求解。建立模型分析得出水池深度大小改变与高度有关，与体积无关，故而我们将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变。最终求得体重越大的人其跳水时需要更深的水。三、问题假设1、假设跳水运动员跳水状态形似圆柱体下落，质量分布均匀，其中跳水运动员的高度即圆柱体高度，人的脚部为圆柱体底部，人体的肩宽即圆柱体直径（如下图示）；2、假设忽略跳水运动员的蹬板过程；3、假设风速水速为零，不影响运动员下落；4、假设忽略水的湍流作用；5、假设男女跳水运动员身高、质量及肩宽符合20-25岁跳水运动员国际标准；6、假设运动员的双脚与水池底部接触时速度刚好为零达到安全临界；7、假设人的平均密度和水的密度相等，即；8、假设水池底部是平面；9、比赛高度以我国福建连城的冠豸山的高度为准，即跳台高度男子是28米，女子为20米；10、假设空气阻力的大小为KSV,K为系数，S为迎风面积，V为速度；11、假设不考虑入水时暴露在空气中的部分的空气阻力；12、假设运动员跳水的跳台没有弹力，运动员作类似初速度为零的自由落体运动；13、假设阻力与速度的平方成正比，比例系数为k(0)。四、定义与符号说明符号意义说明跳台与水面的距离人即将与水面接触时的速度人完全进入水时的速度人水碰撞之后水的速度S人体等效圆柱体的底面积R柱体底面半径人水撞击持续的时间H人的高度A柱体表面积柱体部分进入水面时底面与水面的距离柱体完全进入水面后底面与水面的距离跳台距水面的高度（i=1或2）运动员的身高（i=1或2）运动员完全入水后脚底与水池底部的深度（i=1或2）人的脚底（圆柱底部）与水面距离物体相对应的特征长度即人的高度H人体的一半肩宽（圆柱半径）水池深度（i=1或2）人体质量流体的密度流体粘滞系数流体阻力男运动员落体瞬时速度（i=1,2）女运动员落体瞬时速度（i=1,2）雷洛系数阻力系数重力加速度（）水中受到的浮力五、模型的建立与求解5.1模型的准备通过对20-25岁跳水运动员国际标准查询，男女跳水运动员对应跳台高度、身高、质量及肩宽平均为： 水和空气所对应的密度与粘滞系数以及人的密度如下：，； ， ；=。5.2问题一的求解因为此时要考虑空气阻力，所以运动员的运动情况受空气阻力和重力的影响，重力竖直向下空气阻力竖直向上。根据空气运动学定理，运动员在空气中的阻力和速度二次方成正比。由于跳台高度一定，运动员落水过程做变加速度运动，到达水面时速度最大，整个过程符合了能量守恒定律。当雷诺系数大于10-3时，阻力系数为0.4，且与成正比；当雷诺系数小于10-3大于1时，阻力系数为，且与成正比；当雷诺系数小于1时，阻力系数为，且与成正比。运动员在空中下落的过程受到重力与空气阻力的综合作用，根据经典物理学中的牛顿第二定律建立运动状态方程如下所示：图一 运动员由跳台至水面过程（左至右） 运动员在空气中的阻力的作用，根据流体力学可知。运动员在空气中所的受流体阻力为 由以上公式可得：整理可得： 当0Re时符合以下公式： 用MATLAB绘图软件绘出Cd和Re的关系图如下：图二 Cd和Re的关系图从图形可以得出当Re=4时,Cd趋近于0.42。把Re代入可得v=0.004m/s。根据牛顿第二定理可知：物体自由落体时物体速度为0.4m/s时的位移很小，相对于跳水台的高度可以忽略不计。即运动员整个下落过程可视为Re1的情况。随着速度变大,Re变大，根据图形可知。将,，的值代入分别式，将公式与数据输入MATLAB软件，得到图像如下：图三 运动员由跳台至水面过程时速度与高度关系通过MATLAB求解可得：男运动员到水面的速度为；女运动员到水面的速度为再运用动能定理： 代入数据得20501J的能量；同样可求女运动员从跳台到水平面时所做功为11728J。 由以上模型可知一个国际标准运动员从高为20多米的高崖跳水至刚接触水时瞬间的碰撞能量超过头部所能承受的能量。若是头先入水很可能会造成脑震荡，所以必须脚先入水。5.3问题二的求解5.3.1不考虑空气阻力时模型的建立因为此时不考虑空气阻力的因素，所以运动员在下落过程中做自由落体运动。又跳台高度一定，故运动员落水过程做加速度为g的匀加速运动，到达水面时速度最大，整个过程符合了能量守恒定律。以下是其四个过程的解答：从跳板至水平面过程中： 又已知 解得碰撞过程分析：从能量角度分析，人水系统总能量守恒：当取0时，求解得到、的碰撞关系。入水过程中：人体进入以及完全进入后的阶段分别满足微分方程：m将代入得： 其中水的浮力为：，整理可得： 运动员从空气至水中过程当Re=4时Cd变化不大且趋近于0.42，其中为物体横截面积相对应的特征长度即人的高度H.把Re、代入方程得：v=0.0000712m/s0 m/s。即运动员整个空气到水中的过程可视为Re1Pas的情况，从而得出。将相应数据代入公式，通过将公式与相应数据输入MATLAB软件，得到图像如下：图四 男运动员从空气至水中过程时速度与高度关系图五 女运动员从空气至水中过程时速度与高度关系通过MATLAB计算可得：运动员完全入水后男性运动员速度12.4263m/s ，女性运动员速度11.1269m/s。完全进入水中至池底的过程由于物体的浮力等于物体所排出的水的体积的重力，运动员入水后所受到的水的浮力不再改变。从运动状态分析，运动员受竖直向下的重力、竖直向上的浮力和竖直向上的水的阻力。由于人的密度近似于水的密度，可把人的密度看做和水的密度相等，水的阻力和运动员的速度的二次方成正比，运动员所受的合力向上，做减速运动。建立运动状态方程：，代入可得： 图六 运动员完全入水至池底的过程将相应数据代入公式，通过将公式与相应数据输入MATLAB软件，得到图像如下： 图七 男子由水面至水池底部过程时速度与高度关系图八 女子由水面至水池底部过程时速度与高度关系通过MATLAB求解可得运动员完全入水后脚底与池底的距离：男运动员到水池底部的高度15.66648m，女运动员到水池底部的高度13.4848m。所以可得，男子跳水水池深度为=17.44148m，女子跳水水池深度为=15.1348m。5.3.2考虑空气阻力时模型的建立因为此时要考虑空气阻力，所以运动员的运动情况受空气阻力和重力的影响，重力竖直向下空气阻力竖直向上。根据空气运动学定理，运动员在空气中的阻力和速度二次方成正比。由于跳台高度一定，运动员落水过程做变加速度运动，到达水面时速度最大，整个过程符合了能量守恒定律。运动员在空中下落的过程运动员在空中下落的过程受到重力与空气阻力的综合作用，根据经典物理学中的牛顿第二定律建立运动状态方程如下所示： 运动员在空气中的阻力的作用，根据流体力学可知。运动员在空气中所的受流体阻力为 由以上公式可得：令S(t)=H结合上式可得从跳板到刚接触水面的时间t和入水前的瞬时速度整理可得： 运动员由跳台至水面过程（左至右）碰撞过程分析：从能量角度分析，人水系统总能量守恒：当取0时，求解得到、的碰撞关系。入水过程中：人体进入以及完全进入后的阶段分别满足微分方程：m将代入得： 其中水的浮力为：，整理可得： 运动员从空气至水中过程当Re=4时Cd变化不大且趋近于0.42，其中为物体横截面积相对应的特征长度即人的高度H.把Re、代入方程得：v=0.0000712m/s0 m/s。即运动员整个空气到水中的过程可视为Re1Pas的情况，从而得出。将相应数据代入公式，通过将公式与相应数据输入MATLAB软件，得到图像如下：图九 男运动员从空气至水中过程时速度与高度关系图十 女运动员从空气至水中过程时速度与高度关系通过MATLAB计算可得：运动员完全入水后男性运动员速度12.1263m/s ，女性运动员速度10.9621m/s。完全进入水中至池底的过程由于物体的浮力等于物体所排出的水的体积的重力，运动员入水后所受到的水的浮力不再改变。从运动状态分析，运动员受竖直向下的重力、竖直向上的浮力和竖直向上的水的阻力。由于人的密度近似于水的密度，可把人的密度看做和水的密度相等，水的阻力和运动员的速度的二次方成正比，运动员所受的合力向上，做减速运动。建立运动状态方程：，代入可得： 运动员完全入水至池底的过程将相应数据代入公式，通过将公式与相应数据输入MATLAB软件，得到图像如下： 图11 男子由水面至水池底部过程时速度与高度关系图12 女子由水面至水池底部过程时速度与高度关系通过MATLAB求解可得运动员完全入水后脚底与池底的距离：男运动员到水池底部的高度15.26648m，女运动员到水池底部的高度13.3848m。所以可得，男子跳水水池深度为=17.04148m，女子跳水水池深度为=15.0348m。5.4问题三的求解若两人体重不同，由于人体密度保持不变，则存在三种情况：人的底面积相，高度不同；人的高度相同，底面积不同；人的底面积与高度都不同。结合运动员悬崖跳水三个具体物理运动的总方程进行分析，得出高度、底面积与质量之间的联系，从而判断体重不同者的水池深度大小。圆柱体质量计算公式：建立运动状态方程：； ； ； 由上述公式可得，水池深度大小改变与高度有关，与体积无关，所以本文将人体重不同定义为底面积不变，密度不变，高度改变。可知不同高度的人在相同高度跳台跳水的时候速度变化不大，其影响可以忽略不计。结合问题二得模型可得：可判定当高度增大时，末速度（入水初速度）增大。综上所述：体重越大的人跳水时需要更深的水。六、模型优缺点6.1 模型的优点：1、本模型建立过程将物理过程细化分析，简化了过程中不必要的计算，使问题易于处理，同时使人易懂；2、充分结合了物理学、理论力学以及微分方程学解决本文问题，使得解题过程简化；3、该模型应用图形表现结果，形象易理解。6.2 模型的缺点：1、本文未考虑天气以及运动员发挥是否正常等影响因素；2、文中男女身高、肩宽与质量的选定具很强的主观性，与实际可能存在一些偏差；3、本文对于流体力学的内部作用力分析的不够好。参考文献1 姜启源，谢金星，数学建模案例选集，北京：高等教育出版社，2006。2 郑诒余，鲁钟琪，流体力学，北京：机械工业出版社，1980。3 韩炳耀，流体力学基本方程及其阻力公式的归纳，上海冶金高等专科学校学报，第20卷第4 期：第244246页，1999。4 张圣勤等，MATLAB实用教程，北京：机械工业出版社，2006。5 韩中庚，数学建模方法及其应用（第二版）。北京：高等教育出版社，20096 罗固源，梁智权，流体力学。重启大学出版社，2002附录附件一：雷洛系数和阻滞系数的关系代码（图二）Re雷洛系数 Cd阻滞系数syms Re CdCd=24/Re+6/(1+Re(1/2)+2/5;hold onezplot(Cd,0,100000);syms Re CdCd=24/Re+6/(1+Re(1/2)+2/5;hold onezplot(Cd,0,100000)附件二：运动员下降的高度和速度的关系MATLAB代码（图三）P1空气的密度；p2水的密度；H人的高度；g重力加速度；C1粘滞系数；t1男运动员跳台的高度；t2女运动员跳台的高度；S1男运动员下降至水面的速度；s2女运动员下降至水面的速度；clear,clf,clcy=dsolve(Dv+(p1*c1*v)/(2*H*p2)-g/v=0,v(0)=0,l)syms p1 p2 v H c1 g l t1 t2 s s1 s2p1=1.165;p2=1000;H=1.78;g=9.8;c1=0.42;s = 1/p1/c1*(p1*c1*(2*g*H*p2-2*exp(-p1*c1/H/p2*l)*g*H*p2)(1/2)t1=28;t2=20;s1=subs(s,l,t1)s2=subs(s,l,t2)ezplot(s,0,30)hold offbox on xlabel(l)ylabel(v)title(fontsize10运动员下降的高度和速度的关系图) 附件三：男运动员入水时的速度关系MATLAB代码（图9）H1男运动员的高度；Cd粘滞系数；g重力加速度；%模型二 男子入水时的速度及图形clear,clf,clcy=dsolve(Dv+Cd*v)/(2*H1)+(g*h)/(H1*v)-g/v=0,v(0)=23.3815,h)syms v g Cd H1 g h s1 t1H1=1.78;Cd=0.42;g=9.8;y =(-1/4000000*exp(-2*Cd*h)*(4000000*g+8000000*g*H1*Cd-2186778169*Cd2)-2*g*h*Cd+g+2*g*H1*Cd)(1/2)/Cd;t1=1.78;s1=subs(y,h,t1)ezplot(y,0,2)hold offbox onxlabel(h)ylabel(v)title(fontsize10男运动员入水时速度变化图)附件四：女运动员入水时的速度关系MATLAB代码（图10）H2女运动员的高度；Cd阻滞系数；g重力加速度%模型二 女子入水时的速度及图形clear,clf,clcy=dsolve(Dv+Cd*v)/(2*H2)+(g*h)/(H2*v)-g/v=0,v(0)=19.7718,h)syms v g Cd H2 g h s2 t2H2=1.65;Cd=0.42;g=9.8;y = (-1/25000000*exp(-2*Cd*h)*(25000000*g+50000000*g*H2*Cd-9773101881*Cd2)-2*g*h*Cd+g+2*g*H2*Cd)(1/2)/Cdt2=1.65;s2=subs(y,h,t2)ezplot(y,0,2)hold offbox onxlabel(h)ylabel(v)title(fontsize10女运动员入水时速度变化图)附件五：男运动员完全入水后下降的速度和高度的关系MATLAB代码（图11）Cd阻滞系数；H1男运动员的高度；v运动员的速度；h运动员完全入水后下降的高度；S1男运动员完全入水后安全着陆高度；%男运动员跳水的水池深度clear,clf,clcdsolve(Dv+(Cd*v)/(2*H1)=0,v(0)=12.1263,L1)syms Cd H1 t1 s1 v L1Cd=0.42;H1=1.78;y =1211263/100000*exp(-1/2*Cd/H1*L1)ezplot(y,0,20)hold offbox onxlabel(L1)ylabel(v)title(fontsize8男运动员完全入水高度,6848455068356287/562949953421312*exp(-21/178*L1)=v,的关系图)附件六：女运动员完全入水后下降的速度和高度的关系MATLAB代码（图12）Cd粘滞系数；H2女运动员的高度；v运动员的速度；h运动员完全入水后下降的高度；S2女运动员完全入水后安全着陆高度%女运动员跳水的水池深度clear,clf,clcdsolve(Dv+(Cd*v)/(2*H2)=0,v(0)=10.9621,L2)syms Cd H2 t2 s2 v L2Cd=0.42;H2=1.65;y=54933/5000*exp(-1/2*Cd/H2*L2)ezplot(y,0,20)hold offbox onxlabel(L2)ylabel(v)title(fontsize8女运动员完全入水高度,54933/5000*exp(-7/55*L2)=v,的关系图)s2=solve(54933/5000*exp(-7/55*L2)=2,L2)