数学建模常用综合评价方法介绍

数学建模常用综合评价方法介绍数学建模常用综合评价方法介绍第1页/共102页第2页/共102页第3页/共102页第4页/共102页第5页/共102页第6页/共102页第7页/共102页第8页/共102页第9页/共102页第10页/共102页第11页/共102页第12页/共102页出性的评价；（对较大数值的变动更为敏感）。第13页/共102页第14页/共102页第15页/共102页第16页/共102页第17页/共102页100110011100)( nKnnKKfffk ww( )第18页/共102页第19页/共102页第20页/共102页个体指数的计算：个体指数的计算：高优指标的个体指数高优指标的个体指数p，为实测值，为实测值X与标准值与标准值M的商的商pX/M 低优指标的个体指数低优指标的个体指数 pM/X综合指数综合指数I较为复杂，没有统一的表达形式，常见的较为复杂，没有统一的表达形式，常见的有加权求和，算术平均，乘积法等有加权求和，算术平均，乘积法等二、综合指数法第21页/共102页%100 iiiwwkK值）对比标准值（常用平均实际值 ik 评价指数可以为正指标，也可以为逆指标。但必须同向化。一般是把逆指标转化为正指标采用倒数法，此时，综合评价指数才是越大越好。第22页/共102页指标名称计量单位全 国标准数权数报告期指标值甲地区乙地区丙地区（甲）（乙）（1）（2）（3 ）（4）（5）社会总成本增加值社会总成本利税率社会劳动生产率商品流通费用率积累效果系数元/百元元/百元万元/人45202155030252551546252.2163548262.4183845211.81428试比较三个地区的综合经济效益。试比较三个地区的综合经济效益。第23页/共102页三个地区的综合经济效益指数分别为：三个地区的综合经济效益指数分别为：WWXX01数甲地区综合经济效益指WWXX01数乙地区综合经济效益指WWXX01数丙地区综合经济效益指=110.31% =116.67%=99.11%第24页/共102页第25页/共102页1. 设有设有n个评价对象、个评价对象、m个评价指标，原始数据可写个评价指标，原始数据可写为矩阵为矩阵X(Xij)nm 2. 对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换 niijijijXXZ12niijijijXXZ12)/1 (/1三、Topsis法第26页/共102页3. 归一化得到矩阵归一化得到矩阵Z(Zij)nm，其各列最大、最小，其各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别记为值构成的最优、最劣向量分别记为Z(Zmax1 Zmax2 Zmaxm) Z(Zmin1 Zmin2 Zminm) 4. 第第i个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为21max)(mjijjiZZD21min)(mjijjiZZD5. 第第i个评价对象与最优方案的接近程度个评价对象与最优方案的接近程度Ci为为 )(iiiiDDDC三、Topsis法第27页/共102页例例4 某儿童医院某儿童医院19941998年年7项指标的实际值，用项指标的实际值，用Topsis法比较该医院这法比较该医院这5年的医疗质量年的医疗质量 年份出院人数病床使用率平均住院日病死率抢救成功率治愈好转率院内感染率19942158476.77.31.0178.397.52.019952437286.37.40.8091.198.02.019962204181.87.30.6291.197.33.219972111584.56.90.6090.297.72.919982463390.36.90.2595.597.93.6三、Topsis法第28页/共102页1408. 03 .905 .848 .813 .867 .767 .762222212Z变换后，得到矩阵变换后，得到矩阵 3118. 04482. 04776. 08178. 04634. 04805. 04833. 03871. 04473. 04511. 03408. 04634. 04496. 04142. 03508. 04455. 04556. 03298. 04380. 04353. 04324. 05612. 04487. 04556. 02556. 04321. 04592. 04781. 05612. 04464. 03916. 02024. 04380. 04081. 04234. 0Z平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余平均住院日、病死率、院内感染率为低优指标，其余为高优指标，同向化、归一化变换为高优指标，同向化、归一化变换 三、Topsis法第29页/共102页计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为 Z(0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0.4487 0.5612)Z(0.4142 0.4081 0.4321 0.2024 0.3916 0.4455 0.3118)计算各年与最优、最劣向量的距离（以计算各年与最优、最劣向量的距离（以94年为例）年为例）6289. 0)5612. 05612. 0()4234. 04833. 0(221D2497. 0)5612. 03118. 0()4234. 04142. 0(221DC10.2497/(0.62890.2497)0.2842计算接近程度（以94年为例）第30页/共102页年份D+D-Ci排序19940.62890.24970.2842319950.56400.27540.3281219960.53690.15140.2200519970.51410.17620.2552419980.24940.63020.71641可以看出，可以看出，1998 年综合效益最好，其次为年综合效益最好，其次为 1995年，年，随后为随后为 1994年、年、1997年，年，1996 年最差年最差 三、Topsis法第31页/共102页第32页/共102页)(1nmRRSRmjiji四、秩和比(RSR)法第33页/共102页第34页/共102页第35页/共102页第36页/共102页)(1nmRRSRmjiji其中：m为指标个数，n为分组数，Ri为各指标的秩次，RSR值即为多指标的平均秩次，其值越大越优第37页/共102页第38页/共102页nRfRR第39页/共102页RSR值正态性检验：Z=0.4772，双侧检验P=0.9767，说明RSR值呈正态分布第40页/共102页第41页/共102页第42页/共102页将各护士护理考核指标合理分档，分差、良、优三档。第43页/共102页第44页/共102页第45页/共102页层次分析法是一种以定性与定量相结合的、系统化、层次分析法是一种以定性与定量相结合的、系统化、层次化分析问题的方法。它是将半定性、半定量问层次化分析问题的方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的一种行之有效的方法，使人们题转化为定量问题的一种行之有效的方法，使人们的思维过程层次化，通过逐层比较其间的相关因素的思维过程层次化，通过逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据。供了较具说服力的定量依据。五、层次分析法第46页/共102页第47页/共102页第48页/共102页步步1 建立层次结构模型建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究则层（中间层）和方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领导必定会询问为什么要按此比例分配，符析者自行决定分配比例，厂领导必定会询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（1）是否有利于调动企）是否有利于调动企业职工的积极性，（业职工的积极性，（2）是否有利于提高企业的生产能力，（）是否有利于提高企业的生产能力，（3）是否有）是否有利于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准利于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定。的最终确定将由决策者决定。第49页/共102页根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图8.7所示。所示。合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应由决策者决定。由决策者决定。第50页/共102页对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。情况、耗电量大小等等。建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。条件。第51页/共102页第52页/共102页Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和和xj，以以aij表示表示xi和和xj对对Z的影响大小之比，全部比较结果的影响大小之比，全部比较结果用矩阵用矩阵A=(aij)nn表示，称表示，称A为为ZX之间的成对比较之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和和xj对对Z的影响之比为的影响之比为aij，则，则xj和和xi对对Z的影响之比应的影响之比应为为 。1jiijaa第53页/共102页定义定义 7.4 若矩阵若矩阵A=(aij)nn满足满足（i）aij 0，（ii） （i, j = 1,2,n），）， 则称之为正互反矩阵（易见则称之为正互反矩阵（易见aii =1, i = 1, , n）。）。1jiijaa显然判断矩阵是正互反矩阵。第54页/共102页从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用确性，实验结果也表明，采用19标度最为合适。标度最为合适。如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用19及其倒及其倒数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素。法，先比较类，再比较每一类中的元素。关于如何确定关于如何确定aij的值，的值，Saaty等建议引用数字等建议引用数字19及其倒数作及其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用5种判断级种判断级较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度，别程度，aij相应地取相应地取1,3,5,7和和9。在成对事物的差别介于两者。在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时，之间难以定夺时，aij可分别取值可分别取值2、4、6、8。第55页/共102页 i、j、k = 1,2,n ,ijjkika aa满足该关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。满足该关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。第56页/共102页定理定理 若若A A为一致矩阵，则为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵的转置矩阵AT也是一致矩阵。也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，从）大于零，从而而rank（A）=1（同样，（同样，A的任意两列也成比例）。的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根的最大特征根max=n，其中，其中n为矩阵为矩阵A的阶。的阶。A的其余特的其余特征根均为零。征根均为零。（5）若）若A的最大特征根的最大特征根max对应的特征向量为对应的特征向量为W=（w1, wn）I，则则aij=wi /wj， i,j = 1,2,n。定理定理 正互反矩阵正互反矩阵A的最大特征根的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于的其余特征根的模均严格小于max。（证明从略）。（证明从略）定理定理 n阶正互反矩阵阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根为一致矩阵当且仅当其最大特征根 max=n，且当正互反矩阵，且当正互反矩阵A非一致时，必有非一致时，必有maxn。第57页/共102页根据定理，我们可以由根据定理，我们可以由max是否等于是否等于n来检验判断矩阵来检验判断矩阵A是否为一致矩是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于阵。由于特征根连续地依赖于aij，故，故max比比n大得越多，大得越多，A的非一致性的非一致性程度也就越为严重，程度也就越为严重，max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出映出X=x1,xn在对因素在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。 为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下办法：等人采用了如下办法：（1）求出）求出 ，称，称CI为为A的一致性指标。的一致性指标。max1nCIn容易看出，当且仅当容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，为一致矩阵时，CI = 0。CI的值越大，的值越大，A的非一的非一致性越严重。利用线性代数知识可以证明，致性越严重。利用线性代数知识可以证明，A的的n个特征根之和等于其个特征根之和等于其对角线元素之和（即对角线元素之和（即n）故）故CI事实上是事实上是A的除的除max以外其余以外其余n1个特征个特征根的平均值的绝对值。若根的平均值的绝对值。若A是一致矩阵，其余是一致矩阵，其余n1个特征根均为零，个特征根均为零，故故CI=0；否则，；否则，CI0，其值随，其值随A非一致性程度的加重而连续地增大。非一致性程度的加重而连续地增大。当当CI略大于零时（对应地，略大于零时（对应地，max稍大于稍大于n），），A具有较为满意的一致性；具有较为满意的一致性；否则，否则，A的一致性就较差。的一致性就较差。第58页/共102页（2）上面定义的）上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此，量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵等人又研究了他们认为最不一致的矩阵用从用从19及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值得最大特征根的平均值 ， 并定义并定义maxmax1nRIn称称RI为平均随机一致性指标。为平均随机一致性指标。对对n =1,11,，Saaty给出了给出了RI的值，如表所示。的值，如表所示。N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第59页/共102页（3）将）将CI与与RI作比较，定义作比较，定义CICRRI称称CR随机一致性比率。经大量实例比较，随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在认为，在CR0.10时可时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出中应先求出A的最大特的最大特征根征根max及及max对应的特征向量对应的特征向量W=（w1, wn）T，进行标准化，进行标准化，使得使得 。再对再对A作一致性检验：计算作一致性检验：计算 ，查表得到对应于查表得到对应于n的的RI值，求值，求 ，若若CR0.1，则一致性较为满意，以，则一致性较为满意，以 i作为因子作为因子xi在上层因子在上层因子Z中所具有中所具有的权值。否则必需重新作比较，修正的权值。否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满中的元素。只有在一致性较为满意时，意时，W的分量才可用作层次单排序的权重。的分量才可用作层次单排序的权重。11niiwmax1nCInCICRRI第60页/共102页现对本节例现对本节例7.13（即合理利用利润问题的例子）进行层次单排序。（即合理利用利润问题的例子）进行层次单排序。为求出为求出C1、C2、C3在目标层在目标层A中所占的权值，构造中所占的权值，构造OC层的成对比较矩层的成对比较矩阵，设构造出的成对比较判断知阵阵，设构造出的成对比较判断知阵A=111535131313于是经计算，于是经计算，A的最大特征根的最大特征根max=3.038，CI=0.019，查表得，查表得RI = 0.58，故故CR = 0.033。因。因CR0.1，接受矩阵，接受矩阵A，求出，求出A对应于对应于max的标准化特的标准化特征向量征向量W= ( 0.105, 0.637， 0.258)T，以，以W的分量作为的分量作为C1、C2、C3在目在目标标O中所占的权重。中所占的权重。311153C1C2C3C1 C2 C30131315五、层次分析法第61页/共102页类似求措施层中的类似求措施层中的P1、P2在在C1中的权值，中的权值，P2、P3在在 C2中的权值中的权值及及P1、P2在在C1中的权值：中的权值： 1P231P1P2P1C113max=2，CI = CR = 0W = (0.75, 0.25)T15P31P2P3P2C215max=2，CI = CR = 0W = (0.167, 0.833)T1P221P1P2P1C312max=2，CI = CR = 0W = (0.66, 0.333)T第62页/共102页经层次单排序，得到图经层次单排序，得到图7.8。合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332第63页/共102页设上一层次（设上一层次（A层）包含层）包含A1,Am共共m个因素，它们的层次总排序权值个因素，它们的层次总排序权值分别为分别为a1,am。又设其后的下一层次（。又设其后的下一层次（B层）包含层）包含n个因素个因素B1,Bn，它们关于它们关于Aj的层次单排序权值分别为的层次单排序权值分别为b1j,bnj（当（当Bi与与Aj无关联系时，无关联系时，bij = 0）。现求）。现求B层中各因素关于总目标的权值，即求层中各因素关于总目标的权值，即求B层各因素的层次层各因素的层次总排总排序权值序权值b1,bn，计算按表，计算按表7.11所示方式进行所示方式进行,即即 ，i =1,n。1miijjjbb a表表7.11bn mbn2bn1BnB2 mb22b21B2B1mb12b11B1B层总排序权值层总排序权值Ama m A2a 2A1a1层层A层层Bmjjjab11mjjjab12mjjnjab1步步4 层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验最后，在步骤（最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值。第64页/共102页例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施层层次单排例如，对于前面考察的工厂合理利用留成利润的例子，措施层层次单排序权值的计算如表序权值的计算如表7.12所示。所示。 层层C层层PC1C2C3层层P的总排序权的总排序权值值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。的非一致性。第65页/共102页设设B层中与层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为求得单排序一致性指标为CI(j)，(j =1,m)，相应的平均随机一致性指标，相应的平均随机一致性指标为为RI(j) (CI(j)、RI(j)已在层次单排序时求得已在层次单排序时求得)，则，则B层总排序随机一致性比层总排序随机一致性比率为率为CR = 11( )( )mjjmjjCI j aRI j a当当CR0，k=0。（步（步2）迭代计算）迭代计算 ，k = 0,1,。(1)( )kkWAW若若 ，i = 1,n，则取则取W= 为为A的对应于的对应于max的特征向量的近似，的特征向量的近似，否则转步否则转步2。(1)( )kkiiWW(1)kW（步（步3） 将将 标准化，即求标准化，即求 其中其中 为为 的第的第i个分量。个分量。(1)(1)(1)1/nkkkiiWWW(1)kiW(1)kW(1)kW第70页/共102页（步（步4）求）求max的近似值的近似值max1()1niiiAWnW对前面例子中的对前面例子中的OC判断矩阵，判断矩阵，若取若取 ， =0.001，利用幂法求近似特征向量如下：，利用幂法求近似特征向量如下：(0)1 1 1,3 3 3TW（第一次迭代）（第一次迭代） (0) = (0.511,3,1.444)T， = 4.955，求得，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)TW3(1)1iiW（第二次迭代）（第二次迭代） (2) = (0.321,1.993,0.802)T， = 3.116，求得，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)TW3(2)1iiW第71页/共102页（第三次迭代）（第三次迭代） (3) = (0.316,1.925,0.779)T， = 3.02，求得，求得W(3) = (0.105,0.637,0.258)TW3(3)1iiW（第四次迭代）（第四次迭代） (4) = (0.318,1.936,0.785)T， = 3.04，求得，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)TW3(4)1iiW因因 ，取，取W = W(4)。进而，可求得。进而，可求得 。(4)(3)0.001iiWWmax3.0373、和积法、和积法（步（步1）将判断矩阵）将判断矩阵A的每一列标准化，即令的每一列标准化，即令1/nijijkjkaaa , i, j =1, ,n令令 。()ijAa第72页/共102页（步（步2）将）将 中元素按行相加得到向量中元素按行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，i = 1, , n。AW1niijjWa（步（步3）将）将 标准化，得到标准化，得到W，即，即 W1/niijjWWW，i = 1, , nW即为即为A的（对应于的（对应于max的）近似特征向量。的）近似特征向量。（步（步4）求最大特征根近似值）求最大特征根近似值 。max1()1niiiAWnW第73页/共102页仍以前面例子中的仍以前面例子中的OC判断矩阵为例：判断矩阵为例：111535131313按列标准化按列标准化 0.1110.1300.0770.5560.6520.9620.3330.2170.2310.3171.9000.781W标准化标准化0.1060.6340.261W，max3.036以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一的非一致性越弱相差越小，而当致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。为一致矩阵时两者完全相同。按行相加按行相加第74页/共102页三、层次分析法应用举例三、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何将某些定性）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进的量作比较接近实际的定量化处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除至多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（决策者个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构再分析若干实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。第75页/共102页例例7.14 招聘工作人员招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图7.9所示。所示。招聘人员综合情况招聘人员综合情况知识知识能力能力外表外表经经济济知知识识外外语语知知识识法法律律知知识识组组织织能能力力公公关关能能力力计计算算机机操操作作气气质质身身高高体体形形C层层B层层A层层0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9第76页/共102页该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立而在能力方面则应有稍强一些的要求。根据以上看法，建立AB层成层成对比较判断矩阵对比较判断矩阵0.250.50.25W 求得求得max =3，CR = 0。1211121B1B2B3B3B2B1A1212第77页/共102页类似建立类似建立BC层之间的三个成对比较矩阵层之间的三个成对比较矩阵: 注：权系数是根据后面的计算添加上去的注：权系数是根据后面的计算添加上去的 1513181C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21517121C921C8751C7C9C8C7B3W = (0.186,0.737,0.077)Tmax = 3.047, = 3.047, CRCR = 0.08 = 0.08W = ( , , )T131313W = (0.738,0.168,0.094)T = 3.017, = 3.017, CRCR = 0.08 = 0.08max第78页/共102页经层次总排序，可求得经层次总排序，可求得C层中各因子层中各因子Ci在总目标中的权重分别为：在总目标中的权重分别为：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作九项指标作19级评分。设其得分为级评分。设其得分为X= (x1,x9)T，用公式，用公式y = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4 + x5 + x6 )+ 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9 计算总得分，以计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用。第79页/共102页例例7.15 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某（挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图8.10所示所示。工作满意程度工作满意程度研研究究课课题题发发展展前前途途待待遇遇同同事事情情况况地地理理位位置置单单位位名名气气工作工作1工作工作2工作工作3目标层目标层A准则层准则层B方案层方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3第80页/共102页该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：0.160.190.190.050.120.30W133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A12121213131214141513第81页/共102页由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。（方案层）（方案层） 0.140.620.24W0.100.330.57W0.320.220.46W12C3314C21C1C3C2C1B1141312125C314C21C1C3C2C1B214151211C311C231C1C3C2C1B31313第82页/共102页(层次总排序层次总排序)如表如表7.13所示。所示。 表表7.13准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气总排序权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30方案层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1。（由于篇幅限。（由于篇幅限止，本例省略了一致性检验）止，本例省略了一致性检验）第83页/共102页例例7.16 作品评比。作品评比。 电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为11151113531A由此可求得由此可求得W = (0.158,0.187,0.656)T，CR = 0.048 ( 0.1)max3.028第84页/共102页本例的层次结构模型如图本例的层次结构模型如图7.11所示所示 电影或文学作品评比教育性艺术性娱乐性作品1作品n0.1580.1870.656在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。根据作品的得分数根据作品的得分数X = (x1, x2, x3)T，利用公式，利用公式y = 0.158x1 + 0.187x2 +0.656x3 计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序。读者不难看出，读者不难看出，A矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个矩阵的建立对评比结果的影响极大。事实上，整个评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者的满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，的满意程度来排序的。这也说明，为了使评比结果较为理想，A矩阵矩阵的建立应尽可能合理。的建立应尽可能合理。第85页/共102页例例7.17 教师工作情况考评。教师工作情况考评。某高校为了做好教师工作的综合评估，使晋级、奖励等尽可能科学合理，某高校为了做好教师工作的综合评估，使晋级、奖励等尽可能科学合理，构造了图构造了图7.12所示的层次结构模型。所示的层次结构模型。教育工作评估教育工作评估教学工作量教学工作量指导研究生数指导研究生数教学内容教学内容教学效果教学效果主要刊物发表论文主要刊物发表论文数数一般论文数一般论文数国家级获奖项目国家级获奖项目省部级获奖项目省部级获奖项目出版著作字数出版著作字数翻译著作字数翻译著作字数数量数量质量质量论文论文项目项目著作著作教学教学科研科研OA1A2B1B2B3B4B5C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10图7.12第86页/共102页在在C层中共列出了十项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示层中共列出了十项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示（如教学效果只能分为若干等级）。即使对于可以定量表示的指标，由（如教学效果只能分为若干等级）。即使对于可以定量表示的指标，由于各指标具有不同的量纲，例如一篇论文并不等同于一个获奖项目，互于各指标具有不同的量纲，例如一篇论文并不等同于一个获奖项目，互相之间不能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化相之间不能直接进行比较。为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量。如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适成无量纲量。如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数。然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确的得分数。然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权。定各因子的权。在评估某教师时，只要根据该教师的各项指标，利用由层次分析得到的在评估某教师时，只要根据该教师的各项指标，利用由层次分析得到的评估公式计算其最终得分即可。评估公式计算其最终得分即可。上述诸例有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果上述诸例有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果关系，这些因果关系又可以分成若干个层次。同一层次中的各因素间相关系，这些因果关系又可以分成若干个层次。同一层次中的各因素间相互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系。传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系。更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多的数学知识，本处不准备再作进一步的介绍，有兴趣的读者可以查阅有的数学知识，本处不准备再作进一步的介绍，有兴趣的读者可以查阅有关的书籍和文献。关的书籍和文献。第87页/共102页 设设U = u1, u2, , un 为为n种因素种因素( (或指标或指标),),V = v1, v2, , vm 为为m种评判种评判( (或等级或等级).). 由于各种因素所处地位不同由于各种因素所处地位不同, ,作用也不一样作用也不一样, ,可用权可用权重重A = (a1, a2, , an )来描述来描述, ,它是因素集它是因素集U 的一个模糊子的一个模糊子集集. .对于每一个因素对于每一个因素ui , ,单独作出的一个评判单独作出的一个评判 f (ui), ,可看可看作是作是U到到V 的一个模糊映射的一个模糊映射 f , ,由由 f 可诱导出可诱导出U 到到V 的一的一个模糊关系个模糊关系 Rf , ,由由Rf可诱导出可诱导出U 到到V 的的一个模糊线性变一个模糊线性变换换TR(A)= A R = B, ,它是评判集它是评判集V 的一个模糊子集的一个模糊子集, ,即为综合评判即为综合评判. . ( (U, V, R ) )构成模糊综合评判决策模型构成模糊综合评判决策模型, , U, V, R是此是此模型的三个要素模型的三个要素. .六、模糊综合评判决策第88页/共102页模糊综合评判决策的方法与步骤是：模糊综合评判决策的方法与步骤是： 建立因素集建立因素集U = u1, u2, , un 与决断集与决断集V = v1, v2, , vm. 建立模糊综合评判矩阵建立模糊综合评判矩阵. . 对于每一个因素对于每一个因素ui , ,先建立单因素评判：先建立单因素评判：( (ri1, ri2, , rim) )即即rij(0(0rij1)1)表示表示vj对因素对因素ui所所作的评判作的评判, ,这样就得到这样就得到单因素评判矩阵单因素评判矩阵R =( (rij) )nm. . 综合评判综合评判. . 根据各因素权重根据各因素权重A =( (a1, a2, , an ) )综合评判综合评判: : B = A R = (b1, b2, , bm )是是V上的一个模糊子集上的一个模糊子集, ,根据运算根据运算的不同定义的不同定义, ,可得到不同的模型可得到不同的模型. . 第89页/共102页bj = (airij), 1in ( j = 1, 2, , m ). 由于综合评判的结果由于综合评判的结果bj的值仅由的值仅由ai与与rij (i = 1, 2, , n )中的某一个确定中的某一个确定(先取小先取小, ,后取大运算后取大运算), ,着眼点是考虑主要因素着眼点是考虑主要因素, ,其他因素对结果影响不其他因素对结果影响不大大, ,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.第90页/共102页模型模型：M ( , )主因素突出型主因素突出型bj = (ai rij), 1in ( j = 1, 2, , m ). M ( , )与模型与模型M (,) 较接近较接近, 区别在于区别在于用用ai rij代替了代替了M (,) 中的中的airij . 在模型在模型M ( , )中中,对对rij乘以小于乘以小于1的权重的权重ai表明表明ai是在考虑多因素时是在考虑多因素时rij的修正值的修正值,与主要因素与主要因素有关有关,忽略了次要因素忽略了次要因素.第91页/共102页bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型也突出了主要因素也突出了主要因素. . 在实际应用中在实际应用中, ,如果主因素在综合评判中如果主因素在综合评判中起主导作用起主导作用, ,建议采纳建议采纳, , 当模型当模型失失效时可采用效时可采用,.,.第92页/共102页模型模型：M( , )加权平均模型加权平均模型bj = (ai rij) ( j = 1, 2, , m ). . 模型模型M( , )对所有因素依权重大小均衡对所有因素依权重大小均衡兼顾兼顾, ,适用于考虑各因素起作用的情况适用于考虑各因素起作用的情况. .第93页/共102页 因素集因素集U = u1( (花色花色), ), u2( (式样式样), ), u3( (耐穿程度耐穿程度), ), u4( (价格价格)； 评判集评判集V = v1( (很欢迎很欢迎), ), v2( (较欢迎较欢迎), ), v3( (不太欢不太欢迎迎), ), v4( (不欢迎不欢迎).). 对各因素所作的评判如下：对各因素所作的评判如下：u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)u2 ：(0.7, 0.2, 0.1, 0 )(0.7, 0.2, 0.1, 0 )u3 ：( 0, 0.4, 0.5, 0.1)( 0, 0.4, 0.5, 0.1)u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 )(0.2, 0.3, 0.5, 0 )第94页/共102页05 . 03 . 02 . 01 . 05 . 04 . 0001 . 02 . 07 . 01 . 02 . 05 . 02 . 0R 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4), ,分分别用各种模型所作的评判如下：别用各种模型所作的评判如下：M(,)： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1)M( ,)： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03)M(, )：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2)M( , )： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04)第95页/共102页05 . 03 . 02 . 01 . 05 . 04 . 0001 . 02 . 07 . 01 . 02 . 05 . 02 . 0R 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.4, 0.35, 0.15, 0.1), ,分别用各种模型所作的评判如下：分别用各种模型所作的评判如下：M(,)： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1)M( ,)： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04)M(, )：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M( , )： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055)第96页/共102页 以高校老师晋升教授为例：因素集以高校老师晋升教授为例：因素集U = 政治政治表现及工作态度表现及工作态度, ,教学水平教学水平, ,科研水平科研水平, ,外语水平外语水平,评判集评判集V= 好好, ,较好较好, ,一般一般, ,较差较差, ,差差. . 因素因素 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及工作态度政治表现及工作态度 4 2 1 0 04 2 1 0 0教学水平教学水平 6 1 0 0 0 6 1 0 0 0 科研水平科研水平 0 0 5 1 1 0 0 5 1 1 外语水平外语水平 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 第97页/共102页7 / 17 / 17 / 17 / 27 / 27 / 17 / 17 / 5000007 / 17 / 6007 / 17 / 27 / 4R 给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用分别用M(,)、 M( , )模型所作的评判如下：模型所作的评判如下： M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04)第98页/共102页 在模糊综合评判决策中在模糊综合评判决策中, ,权重是至关重要的权重是至关重要的, ,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用位或所起的作用, ,它直接影响到综合决策的结果它直接影响到综合决策的结果. . 凭经验给出的权重凭经验给出的权重, ,在一定的程度上能反映在一定的程度上能反映实际情况实际情况, ,评判的结果也比较符合实际评判的结果也比较符合实际, ,但它往往但它往往带有主观性带有主观性, ,是不能客观地反映实际情况是不能客观地反映实际情况, ,评判结评判结果可能果可能“失真失真”. . 加权统计方法加权统计方法因素因素 uj 权重权重 aij 1第99页/共102页 (1) (1) 对每一个因素对每一个因素uj , ,在在k个专家所给的权重个专家所给的权重aij中找出最大值中找出最大值Mj和最小值和最小值mj , ,即即Mj =maxaij|1 i k, j =1, 2 , n;mj =minaij|1 i k, j =1, 2 , n. . (2) (2) 选取适当的正整数选取适当的正整数p, ,将因素将因素uj所对应的所对应的权重权重aij从小到大分成从小到大分成p组组, ,组距为组距为( (Mj - - mj)/)/p. . (3) (3) 计算落在每组内权重的频数与频率计算落在每组内权重的频数与频率 (4) (4) 取最大频率所在分组的组中值取最大频率所在分组的组中值( (或邻近或邻近的值的值) )作为因素作为因素uj的权重的权重. . (5) (5) 将所得的结果归一化将所得的结果归一化. .第100页/共102页第101页/共102页