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课时作业6导数及其应用时间：45分钟A级基础必做题一、选择题1函数yf(x)的图象在点x5处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)等于()A1 B2C0 D.解析：由题意知f(5)583，f(5)1，故f(5)f(5)2.故选B.答案：B2当x(0,5)时，函数yxlnx()A是单调增函数B是单调减函数C在上单调递增，在上单调递减D在上单调递减，在上单调递增解析：ylnx1，令y0，得x.在上y0，yxlnx在上单调递减，在上单调递增故选D.答案：D3函数f(x)exx(e为自然对数的底数)在区间1,1上的最大值是()A1 B1Ce1 De1解析：f(x)ex1，令f(x)0，得x0，令f(x)0得x0，令f(x)0，得x0，则函数f(x)在(1,0)上递减，在(0,1)上递增，f(1)e11，f(1)e1，f(1)f(1)2e2ef(1)故选D.答案：D4(2014大庆质量检测()下列四个图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a24)x1(aR，a0)的导函数yf(x)的图象，则f(1)()A. B.C D1解析：f(x)x22axa24，其对称轴xa0，且 f(x)的图象开口向上，故yf(x)图象为，过(0,0)得a240，解得a2，又对称轴xa0，得a2.从而f(1).答案：C5(2014广东深圳市调研)若函数f(x)x3x2ax在区间(1，)上单调递增，且在区间(1,2)上有零点，则实数a的取值范围是()A. B.C. D(，3解析：由f(x)在区间(1，)上单调递增，可知f(x)x22xa在(1，)上恒大于等于0，又因函数f(x)在(1，)上单调递增，所以只需f(1)12a0，即a3，又f(x)在区间(1,2)上有零点，所以f(1)f(2)0，即a，综上0，则当2a4时，有()Af(2a)f(2)f(log2a)Bf(2)f(2a)f(log2a)Cf(log2a)f(2a)f(2)Df(2)f(log2a)0，当x2时，f(x)0，f(x)是增函数；当x2时，f(x)0，f(x)是减函数；又2a4，1log2a2,42a16；由f(2x)f(2x)，得f(x)f(4x)，f(log2a)f(4log2a)，由1log2a2，得2log2a1，24log2a3；24log2a2a，f(2)f(4log2a)f(2a)，即f(2)f(log2a)f(2a)，故选D.答案：D二、填空题7曲线yx32x3在x1处的切线方程为_解析：当x1时，y2，故切点为(1,2)，又y3x22，所以切线斜率为k1，切线方程为y2x1，即xy10.答案：xy108函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_解析：f(x)x22x3(x1)(x3)，函数在(，1)和(3，)上是增函数，在(1,3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案：39已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1，x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是_解析：由于f(x)3x24bxc，据题意方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2，令g(x)3x24bxc，结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2bc，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc的最值问题，由线性规划易知3f(1)12.答案：3,12三、解答题10(2014沈阳质量检测)已知函数f(x)lnx，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，试求g(x)的表达式；(2)若(x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解：(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)lnx在1，)上是减函数，(x)0在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.11(2013福建卷)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值12(2014全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点B级能力提升题1(2014辽宁五校联考)已知曲线f(x)3mxsinx上存在相互垂直的两条切线，则实数m的值为()A. BC1 D0解析：f(x)3mcosx，因存在相互垂直的切线，所以设(3mcosx1)(3mcosx2)1，整理得方程：9m23(cosx1cosx2)m1cosx1cosx20，关于m的方程有解，所以9(cosx1cosx2)2360恒成立，所以只有在cosx1与cosx2中一个为1另一个为1的时候才能成立，代入方程得9m20，所以m0.答案：D2(2014辽宁卷)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B6，C6，2 D4，3解析：当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当x(0,1时，ax3x24x3，a，amax.设(x)，(x)0，(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6.a6.当x2,0)时，a，amin.仍设(x)，(x).当x2，1)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)2，a2.综上知6a2.答案：C3(2014天津卷)已知函数f(x)x2ax3(a0)，xR.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)f(x2)1，求a的取值范围解：(1)由已知，有f(x)2x2ax2(a0)令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)0所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(，0)，.当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f.(2)由f(0)f0及(1)知，当x时，f(x)0；当x时，f(x)2，即0a时，由f0可知，0A，而0B，所以A不是B的子集当12，即a时，有f(2)0，且此时f(x)在(2，)上单调递减，故A(，f(2)，因而A(，0)；由f(1)0，有f(x)在(1，)上的取值范围包含(，0)，则(，0)B.所以AB.当时，有f(1)0，且此时f(x)在(1，)上单调递减，故B，A(，f(2)，所以A不是B的子集综上，a的取值范围是.- 6 -
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