吉林省长外国语学校高三上第二次质检数学试卷理科解析版

2015-2016学年吉林省长春外国语学校高三（上）第二次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A=1，0，1，B=x|x=|a+1|，aA，则AB=（）A0B1C0，1D0，1，22（5分）一个物体的运动方程为s=1t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒3（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（）A2BCD24（5分）设f（x）=xsinx，则f（x）（）A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数5（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x3，那么f（2）的值是（）ABC1D16（5分）下列选项中，说法正确的是（）A命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”B命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件C命题“若am2bm2，则ab”是假命题D命题“在ABC中，若sinA，则A”的逆否命题为真命题7（5分）定积分dx的值为（）A2eBeCeD2+e8（5分）已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程是x2y+1=0，若g（x）=则g（1）=（）ABCD29（5分）若关于x的不等式axb0的解集是（，2），关于x的不等式0的解集为（）A（2，0）（1，+）B（，0）（1，2）C（，2）（0，1）D（，1）（2，+）10（5分）若向量=（cos，sin），=（cos，sin），则一定满足（）A的夹角等于B（）（）CD11（5分）将函数f（x）=sin（2x）的图象上所有的点向左平移个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（）Ay=cos2xBy=cos2xCy=sin（2x）Dy=sin（2x+）12（5分）函数f（x）=x12sinx的所有零点之和等于（）A4B5C6D7二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知tanx=3，则=14（5分）如图，圆O：x2+y2=内的余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是15（5分）若实数x，y满足，则目标函数z=的最大值是16（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足对于任意的xR，都有f（x+9）=f（x）+1，且x0，9）时，f（x）=x+2，则f（2015）的值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17（10分）已知向，满足|=1，|=6，且（）=2，求：（1）与的夹角；（2）|2|的模18（12分）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积19（12分）已知在递增等差数列an中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项（）求数列an的通项公式；（）若bn=，Sn为数列bn的前n项和，是否存在实数m，使得Snm对于任意的nN+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由20（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积21（12分）已知函数f（x）=sin2xcos2x，（xR）（1）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值22（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x1（）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（）证明：f（x）g（x）；（）若不等式f（x）ag（x）对于任意的x（1，+）均成立，求实数a的取值范围2015-2016学年吉林省长春外国语学校高三（上）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015秋商丘期末）已知集合A=1，0，1，B=x|x=|a+1|，aA，则AB=（）A0B1C0，1D0，1，2【分析】集合B中的自变量属于集合A，把集合A中的元素代入函数求出值域，确定出集合B，注意集合的互异性【解答】解：x=|a+1|，aA当a=1时，x=0；a=0时，x=1；a=1时，x=2；根据集合的互异性可知B=0，1，2，AB=0，1；故选C【点评】本题主要考查了交集的运算，注意元素a的讨论2（5分）（2009湖北校级模拟）一个物体的运动方程为s=1t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A7米/秒B6米/秒C5米/秒D8米/秒【分析】求出s的导函数s（t）=2t1求出s（3）【解答】解：s（t）=2t1，s（3）=231=5故答案为C【点评】考查求导法则及导数意义3（5分）（2011临沂一模）函数的零点为1，则实数a的值为（）A2BCD2【分析】根据函数的零点为1，即方程f（x）=0的根是1，代入即可求得实数a的值【解答】解：函数的零点为1，即解得a=，故选B【点评】此题是个基础题考查函数的零点与方程的根之间的关系，体现了转化的思想4（5分）（2015陕西）设f（x）=xsinx，则f（x）（）A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论【解答】解：由于f（x）=xsinx的定义域为R，且满足f（x）=x+sinx=f（x），可得f（x）为奇函数再根据f（x）=1cosx0，可得f（x）为增函数，故选：B【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题5（5分）（2016春通渭县期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x3，那么f（2）的值是（）ABC1D1【分析】由f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x3，可求得f（2）的值，从而可得f（2）的值【解答】解：x0时，f（x）=2x3，f（2）=223=1又f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=f（2）=1故选D【点评】本题考查函数的奇偶性，着重考查函数奇偶性的概念与应用，属于基础题6（5分）（2014秋辽宁期末）下列选项中，说法正确的是（）A命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”B命题“pq为真”是命题“pq为真”的充分不必要条件C命题“若am2bm2，则ab”是假命题D命题“在ABC中，若sinA，则A”的逆否命题为真命题【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论【解答】解：对于A，命题“xR，x2x0”的否定是“xR，x2x0”，故错误；对于B，命题“pq为真”是命题“pq为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2bm2，则ab”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在ABC中，若sinA，则A或A”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题7（5分）（2014秋长春校级期末）定积分dx的值为（）A2eBeCeD2+e【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：dx=（x2ex）|=1e（01）=2e故选：A【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题8（5分）（2015秋高安市校级期末）已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程是x2y+1=0，若g（x）=则g（1）=（）ABCD2【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可【解答】解：函数y=f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程是x2y+1=0，f（1）=1，f（1）=，g（x）=，g（x）=，则g（1）=，故选：A【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线平行的斜率关系，求函数的导数利用导数的几何意义是解决本题的关键，比较基础9（5分）（2015秋长春校级月考）若关于x的不等式axb0的解集是（，2），关于x的不等式0的解集为（）A（2，0）（1，+）B（，0）（1，2）C（，2）（0，1）D（，1）（2，+）【分析】由已知得到a0，并且=2，将所求不等式化简为一次因式积的形式，解不等式【解答】解：由已知得到a0，并且=2，所以关于x的不等式0化简为，即为x（ax+b）（x1）0，所以解集为（，0）（1，2）；故选：B【点评】本题考查了分式不等式的解法；由已知得到a的符号以及是解答的关键10（5分）（2009秋英德市校级期末）若向量=（cos，sin），=（cos，sin），则一定满足（）A的夹角等于B（）（）CD【分析】此题中的与没限制条件，可用排除法排除A，C，D选项，再根据向量垂直检验B选项正确即可【解答】解：角，为全体实数，也为全体实数，而两向量的夹角（0，），故A不对当=45，=30时，与不平行，也不垂直，故C，D不对=11=0，故选B【点评】本题考查了向量的垂直关系并于三角相结合考查向量的摸的运算是一道好题11（5分）（2014秋长春校级期末）将函数f（x）=sin（2x）的图象上所有的点向左平移个单位（纵坐标不变），则所得图象的解析式是（）Ay=cos2xBy=cos2xCy=sin（2x）Dy=sin（2x+）【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：将函数f（x）=sin（2x）的图象上所有的点向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：B【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题12（5分）（2016呼伦贝尔一模）函数f（x）=x12sinx的所有零点之和等于（）A4B5C6D7【分析】由f（x）=x12sinx=0得x1=2sinx，分别作出函数y=x1和y=2sinx的图象，利用对称性结合数形结合进行求解即可【解答】解：由f（x）=x12sinx=0得x1=2sinx，分别作出函数y=x1和y=2sinx的图象如图：则两个函数都关于点（1，0）对称，由图象知，两个函数共有5个交点，其中x=1是一个零点，另外4个零点关于点（1，0）对称，设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=21=2，5个交点的横坐标之和为2+2+1=5故答案为：5【点评】本题主要考查函数交点个数以及数值的计算，根据函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，综合性较强，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2015秋长春校级月考）已知tanx=3，则=2【分析】原式分子分母除以cosx，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanx的值代入计算即可求出值【解答】解：tanx=3，原式=2故答案是：2【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键14（5分）（2012吉林二模）如图，圆O：x2+y2=内的余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是【分析】先利用定积分求出余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域M的面积，以及圆的面积，再利用几何概型的概率公式求出点A落在区域M内的概率即可【解答】解：余弦函数y=cosx的图象与x轴围成的区域M的面积为=sinx=sinsin（）=2而圆O：x2+y2=内的面积为=根据几何概型的概率公式可知点A落在区域M内的概率是=故答案为：【点评】本题主要考查了定积分在求面积的应用，以及几何概型的概率计算，同时考查了计算能力，属于基础题15（5分）（2015秋长春校级月考）若实数x，y满足，则目标函数z=的最大值是2【分析】先画出平面区域，再把目标函数转化为平面区域内的点与定点（1，0）组成连线的斜率；结合图象求出平面区域内的点与定点（1，0）组成连线的斜率的最大值即可得到结论【解答】解：实数x，y满足，对应的平面区域如图：因为目标函数z=相当于平面区域内的点与定点（1，0）组成连线的斜率；而由图可得，当过点C时，平面区域内的点与定点（1，0）组成连线的斜率最大联立：可得C（0，2）kpc=2此时目标函数z=的最大值是：2故答案为：2【点评】本题考查线性规划知识的延伸，解决本题的关键在于把目标函数转化为平面区域内的点与定点（1，0）组成连线的斜率16（5分）（2015秋长春校级月考）已知定义在R上的函数f（x）满足对于任意的xR，都有f（x+9）=f（x）+1，且x0，9）时，f（x）=x+2，则f（2015）的值为233【分析】利用f（x+9）=f（x）+1，逐步化简，结合x0，9）时，f（x）=x+2，可得答案【解答】解：x0，9）时，f（x）=x+2，f（x+9）=f（x）+1，f（2015）=f（2006）+1=f（1997）+2=f（1992）+3=f（8）+223=8+2+223=233，故答案为：233【点评】本题考查抽象函数的应用，考查函数的周期性，属基础题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17（10分）（2016春高安市校级期中）已知向，满足|=1，|=6，且（）=2，求：（1）与的夹角；（2）|2|的模【分析】（1）由题意，可根据题中条件求出，再由数量积公式即可求出与的夹角；（2）先对|2|平方，再将两向量的内积与模代入计算求出模【解答】解：（1）（）=2=2，又|=1，|=6=3，即|cos，=3，解得cos，=又0，所以与的夹角为（2）|2|2=424+2=28，|2|=2【点评】本题考查平面向量数量积的运算及其定义，解题的关键是根据题设条件解出两向量的内积及掌握平方法求向量的模18（12分）（2009春如东县期末）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案（2）根据定积分的定义可得答案【解答】解：（1）f（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，根据f（x）=0有两等根，得=44c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；（2）S=【点评】本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用属基础题19（12分）（2016银川校级三模）已知在递增等差数列an中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项（）求数列an的通项公式；（）若bn=，Sn为数列bn的前n项和，是否存在实数m，使得Snm对于任意的nN+恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（）存在由于bn=，利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：（）由an为等差数列，设公差为d，则an=a1+（n1）d，a3是a1和a9的等比中项，=a1a9，即（2+2d）2=2（2+8d），解得d=0（舍）或d=2，an=2+2（n1）=2n（）存在bn=，数列bn的前n项和Sn=+=，存在实数m，使得Snm对于任意的nN+恒成立【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（12分）（2016秋会宁县校级期中）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=2acosB（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；（2）利用余弦定理求出ac的值，代入三角形的面积公式即可【解答】解：（1）bcosC+c cosB=2acosB由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosBsinA=2sinAcosB，sinA0，0B，；（2），b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=（a+c）23ac即13=163ac，解得ac=1，【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键21（12分）（2016平度市三模）已知函数f（x）=sin2xcos2x，（xR）（1）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据C的范围和f（C）=0可求出角C的值，再根据两个向量共线的性质可得sinB2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值【解答】解：（1）函数f（x）=sin2xcos2x=sin2xcos2x1=sin（2x）1，x，2x，则sin（2x），1函数f（x）的最小值为1和最大值0；（2）f（C）=sin（2C）1=0，即 sin（2C）=1，又0C，2C，2C=，C=向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，sinB2sinA=0由正弦定理，得 b=2a，c=，由余弦定理得3=a2+b22abcos，解方程组，得 a=1，b=2【点评】本题主要考查了两角和与差的逆用，以及余弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题22（12分）（2016春城关区校级月考）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x1（）求函数y=f（x）图象在x=1处的切线方程；（）证明：f（x）g（x）；（）若不等式f（x）ag（x）对于任意的x（1，+）均成立，求实数a的取值范围【分析】（I）利用导数的几何意义可得切线的斜率，即可得出切线的方程（）设h（x）=f（x）g（x）=lnxx+1，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出（）x（1，+），f（x）0，g（x）0对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出【解答】解：（）f（x）=，f（1）=1，又f（1）=0，得切线l：y0=1（x1），即y=x1证明：（）设h（x）=f（x）g（x）=lnxx+1，则h（x）=1，令h（x）=0，得x=1x（0，1）1（1，+）h（x）+0极大值h（x）单调递增0单调递减h（x）h（x）max=h（1）=0，即f（x）g（x）解：（）x（1，+），f（x）0，g（x）0当a1时，f（x）g（x）ag（x）；当a0时，f（x）0，g（x）0不满足不等式；当0a1时，设u（x）=f（x）ag（x）=lnxa（x1），u（x）=a，令u（x）=0，得x=xu（x）+0u（x）单调递增0单调递减u（x）max=uu（1）=0综上所述实数a的取值范围为1，+）【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、导数的几何意义，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于难题