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实数教案一、单元知识网络：二、考试目标要求：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.具体目标：1.有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.2.实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方 根，会用计算器求平方根和立方根.(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一对应.(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.(5)了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结 果取近似值.三、知识考点梳理知识点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.3.有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n0)”的数叫有理数4.无理数：无限不循环小数叫无理数5.实数：有理数和无理数统称为实数知识点二、实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上， 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0可用式子表示 为：(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离距离是一个非负数，所以绝对 值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式子表示：若a是实数，则 |a|03.倒数(1)实数的倒数是；0没有倒数；(2)乘积是1的两个数互为倒数a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有 一个平方根，它是0本身；负数没有平方根a(a0)的平方根记作(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根a(a0)的算术平方根记作5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零知识点三、实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数 知识点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab.4.对于实数a，b，c，若ab，bc，则ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果 ab0，a2b2ab；或利用倒数转化：如比较 与.知识点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为04.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得05.乘方与开方(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方(3)零指数与负指数6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算8.实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc知识点六、有效数字和科学记数法1.近似数：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字3.科学记数法：把一个数用(110，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法四、规律方法指导1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口.2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏.3.从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的放矢.4.注意观察、分析、总结对于寻找规律的题目，仔细观察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.对于阅读两量大的题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路. 经典例题精析考点一、实数概念及分类1. （2010上海）下列实数中，是无理数的为（ ）A. 3.14 B. C. D. 思路点拨：考查无理数的概念.【答案】C 2.下列实数、sin60、3.14159、中无理数有( )个A1 B2 C3 D4答案：C.无理数有sin60、.总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断举一反三：【变式1】把下列各数填入相应的集合里：(1)自然数集合： (2)整数集合： (3)分数集合： (4)无理数集合： 答案：(1)自然数集合：(2)整数集合：(3)分数集合：(4)无理数集合：3（2010北京）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D请你按图中箭头所指方向(即ABCDCBABC的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）思路点拨：字母C第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3倍。【答案】B,603，6n3考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值4（2010湖南益阳）数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为（ ）A. 或 B. 6 C. D. 或思路点拨: 数轴上的点A到原点的距离是6的点有两个，原点的左边、右边各有一个。【答案】A5(1)a的相反数是，则a的倒数是_(2)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简=_思路点拨:(1)注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变 分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.由 a的相反数是，所以a=，的倒数为5.(2)此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的 数的性质符号. 由图知：答案：(1)5；(2)-a-b.举一反三：【变式1】化简-(-2)的结果是( )A-2 B C D2答案：选D.【变式2】若m+1与m3互为相反数，则m=_.思路点拨：互为相反数的两个数之和等于0.m+1+m3=0，解得m=1.答案：1.【变式3】-2的倒数是_.思路点拨：注意倒数与相反数的区别，乘积为1的两个数互为倒数.答案：.【变式4】的绝对值是( )A B C D答案：选B.【变式5】若|x-1|=1-x，则x的取值范围是( )Ax1 Bx1 Cx1答案：选B.总结升华：(1)考查绝对值的意义；(2)考查绝对值的非负性，绝对值具有以下性质： |a|0，即绝对值的非负性；若|x|=a(a0)，则x=a，即绝对值的原数的双值性.【变式6】下列说法正确的是( )A-1的倒数是1B-1的相反数是-1C1的算术平方根是1D1的立方根是1思路点拨：本例考查了实数中涉及的四个重要概念：互为倒数、互为相反数、算术平方根、立方根.解答时，一方面应从概念蕴含着的数学关系式入手，可知-1的倒数是-1，-1的相反数是1；另一方面根据定义具有的双重性，可知1的算术平方根是1，1的立方根是1.答案：选C.【变式7】甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=_.解析：欲求|a-b|，首先应知道a、b的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值， 因此易得，a=0，b=1，|a-b|=|1|=1.【变式8】(长沙市)如图，数轴上表示数的点是 .思路点拨：实数与数轴上的点一一对应，表示正数的点在原点的右侧，.答案：B.考点三、近似数、有效数字、科学记数法6(1)根据统计，某市2008年财政总收入达到105.5亿元.用科学记数法(保留三位有效数字)表示105.5亿元约为( )A1.0551010元B1.061010元C1.061011元D1.051011元(2)2007年5月3日，中央电视台报道了一则激动人心的新闻，我国在渤海地区发现储量规模达10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为(单位：吨)( )A1.02107B1.02108C1.02109D1.021010思路点拨：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念.精确度的形式有两种：(1)精确到哪一位；(2)保留几个有效数字.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示.用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分，因此(1)中105.5亿元=10 550 000 000元，用科学记数法表示为1.0551010，保留三个有效数字为1.061010；(2)中应表示为1.02109.答案：(1)B；(2)C.举一反三：【变式1】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为_立方米.解：60050=30000=3104.总结升华：本题既考查有理数的乘法运算，又考查科学记数法以及分析问题的能力.从数学的角度来考查废旧电池对环境造成的危害，促使我们从小就要热爱大自然，树立环保意识.【变式2】用科学记数法表示0.00608的结果是( )A B C D思路点拨：首先选项C、D所表示的记数方法不是科学记数法，因为它们中的a不符合只有一位整数数位，B中的n值错误.科学记数法只是一种表示数的方法，并没有改变数的大小.答案：A.【变式3】近似数0.030万精确到_位，有_个有效数字，用科学记数法表示记作_万.思路点拨：带有单位或以科学记数法形式给出的近似数，首先要把它转化为以“个”为单位的数，再确定其精确的位数.如，即“1”后面的第一个“0”在十位上，因此精确到十位，而不是百位.答案：十；2；.7（2010安徽芜湖）2010年芜湖市承接产业转移示范区建设成效明显，一季度完成固定资产投资238亿元，用科学记数法可记作（ ）A238108元 B23.8109元 C2.381010元 D0.2381011元思路点拨：238亿元=23 800 000 000【答案】C8（2010山东青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8103，下列说法中正确的是（ ）A精确到十分位，有2个有效数字 B精确到个位，有2个有效数字 C精确到百位，有2个有效数字 D精确到千位，有4个有效数字 思路点拨：8.8103 =8800精确到百位，用科学记数法表示的数有效数字个数要看乘号前的。【答案】C考点四、实数的大小比较9比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与；(3)与； (4)a与(a0).思路点拨：(1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同 分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有 倒数，1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.解：(1) ， ，所以(2)因为所以；(3)，而与可以很容易进行比较得到，所以；(4)当a-1或Oa1时，a； 当-1a1时，a； 当a=1或-1时，a=1/a. 总结升华：第(4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.考点五、快速准确地进行实数运算10计算：.思路点拨：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算解： 总结升华：本题考点是实数的混合运算.易错点是忘记负整数指数(0指数)幂的意义， 而使举一反三：【变式1】填空：-1-1-1-1=_；=_；=_；(为正整数)=_；=_；=_；=_.思路点拨：(1)根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值.(2)多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方为 正，奇次方为负，先乘方，再乘除.(3)合理运用乘法分配律和使用可使运算显得更加简便.答案：-4、+1、-1、-5、-6、4096、.【变式2】计算：(1)(2)(3)思路点拨：(1)题可将改写成，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便得结 果；(2)题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便；(3)题注意混合运算的顺序，不能先算.答案：(1)11109；(2)-110；(3).11已知：x，y是实数，若axy-3x=y，则实数a的值是_.思路点拨：此题考查的是非负数的性质.解：即两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时是0，(y-3)2=0， x=， y=3又axy-3x=y， a=.举一反三：【变式1】已知，求的值.思路点拨：利用0，0，0(为自然数)等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、的值，再代入后本题得以解决.答案：-3.考点六、探索与创新12计算：思路点拨：近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高.解：设n=2001，则原式=(把n2+3n看作一个整体)=n2+3n+1=n(n+3)+1=20012004+1=4010005.13. 下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现： (1)第四个图形中火柴棒的根数是_；(2)第个图形中火柴棒的根数是_.思路点拨：观察各个图形的根数与图形个数之间的关系，并由此归纳出第个图形中火柴棒的根数.答案：(1)13；(2).14细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出S12+S22+S32+S102的值.思路点拨：近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.(1)由题意可知，图形满足勾股定理， (2)因为OA1=，OA2=，OA3=， 所以OA10=(3)S12+ S22+ S32+ S102 .15（2010山东日照）如果=（a，b为有理数），那么等于（ ）（A）2 （B）3 （C）8 （D）10思路点拨：=6+ 4，a=6,b=4, =10.【答案】D 16（2010安徽蚌埠）若表示不超过的最大整数（如等），则_。思路点拨：= , = 1，= , = 1， = 1，原式=2000个1相加=2000【答案】2000中考题萃：实数一、考试目标：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系。了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。二、中考真题：1 （2010北京）2的倒数是（ ）A B C2 D 22. （2010四川内江）的倒数是（ ）A2010 B2010 C D3(河北省)(2分)的相反数是( )A7 B C D 4. （2010山东济宁)若，则的值为 （ ）A1 B1 C7 D75. （2010湖南怀化）若，则、的大小关系是（ ）A B C D6(北京)(4分)国家游泳中心-“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外 层膜的展开面积 约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为( )A0.26106 B26104 C2.6106 D2.61057. （2010 山东省德州）德州市2009年实现生产总值（GDP）1545.35亿元，用科学记数法表示应 是（结果保留3个有效数字）（ ）A 元 B元C元 D元8(河北省)(2分)据2007年5月27日中央电视台“朝闻天下”报道，北京市目前汽车拥有量约为3 100 000辆则3 100 000用科学记数法表示为( )A0.31107 B31105 C3.1105 D3.11069. （2010年连云港）今年1季度，连云港市高新技术产业产值突破110亿元，同比增长59%数据 “110亿”用科学记数可表示为（ ）A1.11010 B111010 C1.1109 D1110910. （2010四川成都）上海“世博会”吸引了来自全球众多国家数以千万的人前来参观据统计，2010年5月某日参观世博园的人数约为256 000，这一人数用科学记数法表示为（ ）A B C D11(湖南邵阳)(3分)如图是一台计算机D盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小，请用科学记数法将该硬盘容量表示为_字节(保留3位有效数字) A B C D12. (河北省)( 2分)我国古代的“河图”是由33的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是( ) 13（2010湖北恩施）如图3，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果层六边形点阵的总点数为331，则等于_.14(河北省)(3分)比较大小：7_(填“”、“”或“”) 15（2010江苏盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是( ) A38 B52 C66 D7416(安徽省)(5分)的整数部分是_.17(广东省)(4分)池塘中放养了鲤鱼8000条，鲢鱼若干。在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼320条，鲢鱼400条.估计池塘中原来放养了鲢鱼_条.18(北京)(4分)在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，其中a，b，c是三个连续偶数(ab)，d，e是两个连续奇数(de)，且满足a+b+c=d+e，例如 .请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：.19(江苏盐城)根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为_.20(河北省)(3分)已知，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时，a3=0； 则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为_21(北京)(5分)计算：.22(广东省)(6分)计算：.23(成都市)(7分)计算：24(山东)(10分)根据以下10个乘积，回答问题：1129； 1228； 1327； 1426； 1525；1624； 1723； 1822； 1921； 2020.(1)试将以上各乘积分别写成一个“2-2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论。(不要求证明)25(广东省)(9分)已知等边OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1，A1B1与OB相交于点A2.(1)求线段OA2的长；(2)若再以 OA2为边按逆时针方向作等边 OA2B2，A2B2与 OB1相交于点 A3，按此作法进行下去，得到 OA3B3，OA4B4，OAnBn(如图).求OA6B6的周长.答案解析：1A2B3A4C5C6D7D8D9A10. A 11B12C 1311 14 15. D【解析】810=m+6 m=74162 1710000 18194 20621. 解：原式.22. 解：原式.23. 解：原式24. 解：(1)1129=202-92；1228=202-82； 1327=202-72；1426=202-62； 1525=202-52；1624=202-42； 1723=202-32；1822=202-22； 1921=202-12；2020=202-02； 例如：1129；假设1129=2-2； 因为 2-2=(+)(-) 所以，可以令-=11，+=29 解得，=20，=9，故1129=202-92 (或1129=(20-9)(20+9)=202-92) (2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 1129122813271426152516241723182219212020.(3)若a+b=40,a,b是自然数， 则 ab202=400. 若a+b=40，则ab202=400. 若a+b=m，a，b是自然数，则 若a+b=m，则 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40，且 |a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则 a1b1a2b2a3b3anbn. 若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m，且 |a1-b1|a2-b2|a3-b3|an-bn|， 则 a1b1a2b2a3b3anbn.25. 解：(1)(2)依题意， 以此类推， ，即OA6B6的周长为21
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