2022高三数学二轮复习 一题多解专题五 向量在平面几何中的应用

一题多解专题五：向量在平面几何中的应用解三角形与向量知识综合问题的方法：(1)解三角形的问题中含有向量时，通常需要把边长与向量的模相联系，三角形的内角与向 量夹角相联系，注意向量夹角与三角形内角的相等关系或互补关系.(2)应用余弦定理求出未知的边长和角，从而易于求出向量的有关问题.例：若等边ABC的边长为，平面内一点M满足，则 _.思路点拨：一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方 法是将用表示,然后用数量积的定义计算.图(1)方法一:以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图(1)所示的 平面直角坐标系，根据题设条件可知 设，则 由得： ，点M的坐标为，.方法二：由于 又是边长为的等边三角形， ，特别提醒:用向量知识解决平面几何问题的两个关注点(1)若可以建立平面直角坐标系，则建系后用向量的坐标运算较容易解决.(2)若不易建系，则先选取一组基底，基底中的向量最好可知模及两者之间的夹角，然后将 问题中出现的向量用基底表示，再用向量的运算法则、运算律等进行计算.针对性练习：1.在正三角形ABC中，D是BC边上的点，AB=3，BD=1，则=_.图（2） 解析:方法一：如图（2）所示，B=60， 由余弦定理得AD2=32+12-231cos 60=7, AD=， 再由余弦定理得cos BAD=， 所以.方法二： = =9+31.2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_.图（3）【解析】方法一：如图(3)所示，以AB，AD所在直线分别为x,y轴 建立平面直角坐标系，设E(t,0)，0t1，则 ， C(1，1)， =(t,-1), =(0,-1),=1. 方法二：选取作为基向量，设， 则=-t=0+1=1.3. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AFDE .图（2） 证明：方法一：设则 = 又且a2=b2,ab=0. =0,AFDE. 方法二：以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设AB=2,则A(0,0),E(1,0),D(0,2),F(2,1),=(2,1), =(1,-2). 又=21+1(-2)=0, AFDE.3