九章算术

1 方田: 今有田广十五步，从十六步。问为田几何？ 答曰：一亩。解读：现有一块田，宽十五步，长十六步。问这块田的面积是？答：一亩数学表达式：15*16/240 = 1(亩)2 方田: 又有田广十二步，从十四步。问为田几何？ 答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。解读：又有一块田，宽十二步，长十四步。问这块田的面积是？答：一百六十八步方田计算方法：长宽步数相乘得积步。用亩法二百四十步除之，即亩数。一百亩为一顷。3 方田: 今有田广一里，从一里。问为田几何？ 答曰：三顷七十五亩。解读：现有方田，宽一里，长一里。问这块田的面积是？答：三顷七十五亩方田术语：里法三百步数学表达式：1 * 1 * 300 * 300 / 240 = 375 (亩)，即三顷七十五亩4 方田: 又有田广二里，从三里。问为田几何？ 答曰：二十二顷五十亩。 里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。解读：又有一方田，宽两里，长三里。问此块田的面积是？答：二十二顷五十亩里田计算方法：长宽里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。数学表达式：2 * 3 *375 = 2250（里积），即二十二顷五十亩。5 方田: 今有十八分之十二。问约之得几何？ 答曰：三分之二。解读：现有十八分之十二，问约分后等于多少？答：三分之二数学表达式： 12/18 = 2/36 方田: 又有九十一分之四十九。问约之得几何？ 答曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。解读：又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？答：十三分之七约分法：即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，即可将原来的分数化为最简分数。【2】7 方田: 今有三分之一，五分之二。问合之得几何？ 答曰：十五分之十一。解读：现有三分之一和五分之二，问两数相加等于多少？答：十五分之十一。数学表达式：1/3 + 2/5 = 11/158 方田: 又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？ 答曰：得一、六十三分之五十。解读：又有三分之二、七分之四和九分之五，问这三个数相加等于多少？答：一又六十三分之五十。数学表达式：2/3 + 4/7 + 5/9 = 1+50/639 方田: 又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？ 答曰：得二、六十分之四十三。 合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。解读：又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四，问这四个数相加等于多少？答：二又六十分之四十三。合分法：两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。10 方田: 今有九分之八，减其五分之一。问余几何？ 答曰：四十五分之三十一。解读:现有九分之八，减去五分之一，问剩下多少？答：四十五分之三十一数学表达式：8 /90 - 1/5 = 31/4511 方田: 又有四分之三，减其三分之一。问余几何？ 答曰：十二分之五。 减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。解读：又有四分之三，减去三分之一，问剩下多少？答：十二分之五减分法：两分数分子与分母互乘，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。12 方田: 今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？ 答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。解读：现有八分之五，二十五分之十六，问哪个数大？大多少？答：二十五分之十六大，大二百分之三数学表达式：5/8 6/7, 8/9 - 6/7 = 2/6314 方田: 又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？几何？ 答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。解读：又有二十一分之八和五十分之十七，问哪个大？大多少？答：二十一分之八大，大一千五十分之四十三。课分法：分子互乘分母，用较大的减去较小的，余数作为分子，分母相乘之积作为分母。当分子等于分母时，值为一，即是较大的分数。15 方田: 今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？ 答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。解读：现有三分之一、三分之二、四分之三，问减多益少，16 方田: 又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？ 答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。 平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益於少，以法命平实，各得其平。17 方田: 今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？ 答曰：人得一钱、二十一分钱之四。解读：现有七个人，均分八又三分之一钱。问每人分得多少钱？答：每人得一又二十一分之四钱。18 方田: 又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？答曰：人得二钱、八分钱之一。经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。经分法：法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。【3】19 方田: 今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？ 答曰：三十五分步之十二。解读：现有方田宽为七分之四，长为五分之三。问此块田的面积为？答：三十五分之十二步20 方田: 又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？ 答曰：十一分步之七。解读：又有方田宽九分之七，长十一分之九。问该方田的面积是？答：十一分之七步21 方田: 又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？ 答曰：九分步之四。 乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。解读：又有一块方田宽为五分之四，长为九分之五。问该方田的面积是？答：九分之四步。22 方田: 今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？ 答曰：十八步。解读：现有块方田宽为三又三分之一步，长为五又五分之二步，问该块田的面积是？答：十八步。23 方田: 又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？ 答曰：一百二十步、九分步之五。解读：又有一块方田宽为七又四分之三步，长为十五又九分之五步。问该块方田的面积是？答：一百二十又九分之五步。24 方田: 又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？ 答曰：一亩二百步、十一分步之七。 大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。解读：又有一块方田宽为十八又七分之五步，长为二十三又十一分之六步。问该块方田的面积是？答：一亩两百又十一分之七步。25 方田: 今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？ 答曰：一百二十六步。解读：现有等腰三角形田【4】边为十二步，高为二十一步。问该田面积是？答：一百二十六步。数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * 12 * 21 = 12626 方田: 又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？ 答曰：二十三步、六分步之五。术曰：半广以乘正从。解读：有等腰三角形田边长为五又二分之一步，高为八又三分之二步，问该块田的面积为多少？答：二十三又六分之五步。数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * (5+1/2) * (8+2/3) = 23 + 5/6计算方法：底边长的一半乘以高。27 方田: 今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 答曰：九亩一百四十四步。解读：现有一块直角梯形田，上底边长三十步，下底边长为四十二步，高为六十四步。问该块田的面积是多少？答：九亩一百四十四步。数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (30 + 42 ) * 64 = 2304(积步), 即九亩四十四步28 方田: 又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？答曰：二十三亩七十步。 术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。解读：又有一直角梯形田，正宽长为六十五步，一边长一百步，另一边长七十二步。问该田的面积是多少？答：二十三亩七十步。数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (100 + 72) * 65 = 5590， 即二十三亩七十步计算方法：取两边长的一半，乘以正从（宽）。也可取正从的一半做宽，再乘以两边长之和，用亩法归一制。29 方田: 今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？ 答曰：一亩一百三十五步。解读：现有一般梯形田，上底长二十步，下底长五步，高为三十步。问此块田的面积是多少？答：一亩一百三十五步数学表达式：S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (20 + 5) * 30 = 375(积步)，即一亩三十五步。30 方田: 又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？ 答曰：四十六亩二百三十二步半。 术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。解读：又有一块梯形田，上底长一百一十七步，下底长五十步，宽为一百三十五步。问该田的面积是多少？答：四十六亩二百三十二步半计算方法：取上下底长的一半，乘以高，即得面积，用亩法归一制。31 方田: 今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？ 答曰：七十五步。解读：现有圆形田，周长三十步，半径十步。问此田面积是？答：七十五步。数学表达式：S = 1/2 * l * r = 1/2 * 30 * 10 = 75（积步）32 方田: 又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？ 答曰：十一亩九十步、十二分步之一。术曰：半周半径相乘得积步。 又术曰：周径相乘，四而一。 又术曰：径自相乘，三之，四而一。 又术曰：周自相乘，十二而一。解读：又有一圆形田，周长一百八十一步，半径长六十又三分之一步。问此田的面积是？答：十一亩九十又十二分之一步计算方法：半周长乘以半径长等于积步（面积）。计算方法：周长乘以直径，取其四分之一。计算方法：直径相乘，然后乘以三，再取其四分之一。计算方法：周长相乘，取其十二分之一。数学表达式：S = 1/4 * L * r = 1/4 * 181 * (60+1/3) = 32761/12，即十一亩九十又十二分之一步。33 方田: 今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。解读：现有一侧面圆形田【5】，下半周长为三十步，半径为十六步。问此田面积是？答：一百二十步数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 30 * 16 = 120(积步)34 方田: 又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？ 答曰：五亩六十二步、四分步之一。 术曰：以径乘周，四而一。解读：又有一侧面圆形田，下周长九十九步，半径为五十一步。问此块田的面积是？答：五亩六十二又四分之一步。术语：用半径乘以周长，取其四分之一。数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 99 * 51 = 1262.25 (积步)35 方田: 今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？ 答曰：一亩九十七步半。解读：现有一弓形田，弦长为三十步，矢长为十五步。问此田的面积是？答：一亩九十七步半。数学表达式： S = 1/2 * (l *d + d*d) = 1/2 * (30*15 + 15*15) = 337.5，即一亩九十七步半。36 方田: 又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？ 答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。 术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。解读：又有一弓形田，炫长七十八又二分之一步，矢长十三又九分之七步。问此田的面积是？答：二亩一百五十五又八十一分之五十六步。计算方法：用弦长乘以矢，矢又自乘，取两者和的一半。37 方田: 今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？ 答曰：二亩五十五步。解读：现有一环形田，中周长为九十二步，外周长为一百二十二步，径长五步。问此田面积是？答：二亩五十五步。数学表达式： S = 1/2 * (l内 + l外) * d = 1/2 * (92 * 122) * 5 = 535(积步)，即535/240 = 2亩55步。38 方田: 又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。 术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。解读：又有一环形田，中周长为六十二又四分之三步，外周长为一百一十三又二分之一步，径长为十二又三分之二步。问此田面积是？答：四亩一百五十六又四分之一步。计算方法：中外周长相加取半，然后乘以径长，就是积步。1 方田: 今有田广十五步，从十六步。问为田几何？ 答曰：一亩。解读：现有一块田，宽十五步，长十六步。问这块田的面积是？答：一亩数学表达式：15*16/240 = 1(亩)2 方田: 又有田广十二步，从十四步。问为田几何？ 答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。解读：又有一块田，宽十二步，长十四步。问这块田的面积是？答：一百六十八步方田计算方法：长宽步数相乘得积步。用亩法二百四十步除之，即亩数。一百亩为一顷。3 方田: 今有田广一里，从一里。问为田几何？ 答曰：三顷七十五亩。解读：现有方田，宽一里，长一里。问这块田的面积是？答：三顷七十五亩方田术语：里法三百步数学表达式：1 * 1 * 300 * 300 / 240 = 375 (亩)，即三顷七十五亩4 方田: 又有田广二里，从三里。问为田几何？ 答曰：二十二顷五十亩。 里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。解读：又有一方田，宽两里，长三里。问此块田的面积是？答：二十二顷五十亩里田计算方法：长宽里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。数学表达式：2 * 3 *375 = 2250（里积），即二十二顷五十亩。5 方田: 今有十八分之十二。问约之得几何？ 答曰：三分之二。解读：现有十八分之十二，问约分后等于多少？答：三分之二数学表达式： 12/18 = 2/36 方田: 又有九十一分之四十九。问约之得几何？ 答曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。解读：又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？答：十三分之七约分法：即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，即可将原来的分数化为最简分数。【2】7 方田: 今有三分之一，五分之二。问合之得几何？ 答曰：十五分之十一。解读：现有三分之一和五分之二，问两数相加等于多少？答：十五分之十一。数学表达式：1/3 + 2/5 = 11/158 方田: 又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？ 答曰：得一、六十三分之五十。解读：又有三分之二、七分之四和九分之五，问这三个数相加等于多少？答：一又六十三分之五十。数学表达式：2/3 + 4/7 + 5/9 = 1+50/639 方田: 又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？ 答曰：得二、六十分之四十三。 合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。解读：又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四，问这四个数相加等于多少？答：二又六十分之四十三。合分法：两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。10 方田: 今有九分之八，减其五分之一。问余几何？ 答曰：四十五分之三十一。解读:现有九分之八，减去五分之一，问剩下多少？答：四十五分之三十一数学表达式：8 /90 - 1/5 = 31/4511 方田: 又有四分之三，减其三分之一。问余几何？ 答曰：十二分之五。 减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。解读：又有四分之三，减去三分之一，问剩下多少？答：十二分之五减分法：两分数分子与分母互乘，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。12 方田: 今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？ 答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。解读：现有八分之五，二十五分之十六，问哪个数大？大多少？答：二十五分之十六大，大二百分之三数学表达式：5/8 6/7, 8/9 - 6/7 = 2/6314 方田: 又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？几何？ 答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。解读：又有二十一分之八和五十分之十七，问哪个大？大多少？答：二十一分之八大，大一千五十分之四十三。课分法：分子互乘分母，用较大的减去较小的，余数作为分子，分母相乘之积作为分母。当分子等于分母时，值为一，即是较大的分数。15 方田: 今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？ 答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。解读：现有三分之一、三分之二、四分之三，问减多益少，16 方田: 又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？ 答曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。 平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益於少，以法命平实，各得其平。17 方田: 今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？ 答曰：人得一钱、二十一分钱之四。解读：现有七个人，均分八又三分之一钱。问每人分得多少钱？答：每人得一又二十一分之四钱。18 方田: 又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？答曰：人得二钱、八分钱之一。经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。经分法：法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。【3】19 方田: 今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？ 答曰：三十五分步之十二。解读：现有方田宽为七分之四，长为五分之三。问此块田的面积为？答：三十五分之十二步20 方田: 又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？ 答曰：十一分步之七。解读：又有方田宽九分之七，长十一分之九。问该方田的面积是？答：十一分之七步21 方田: 又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？ 答曰：九分步之四。 乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。解读：又有一块方田宽为五分之四，长为九分之五。问该方田的面积是？答：九分之四步。22 方田: 今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？ 答曰：十八步。解读：现有块方田宽为三又三分之一步，长为五又五分之二步，问该块田的面积是？答：十八步。23 方田: 又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？ 答曰：一百二十步、九分步之五。解读：又有一块方田宽为七又四分之三步，长为十五又九分之五步。问该块方田的面积是？答：一百二十又九分之五步。24 方田: 又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？ 答曰：一亩二百步、十一分步之七。 大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。解读：又有一块方田宽为十八又七分之五步，长为二十三又十一分之六步。问该块方田的面积是？答：一亩两百又十一分之七步。25 方田: 今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？ 答曰：一百二十六步。解读：现有等腰三角形田【4】边为十二步，高为二十一步。问该田面积是？答：一百二十六步。数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * 12 * 21 = 12626 方田: 又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？ 答曰：二十三步、六分步之五。术曰：半广以乘正从。解读：有等腰三角形田边长为五又二分之一步，高为八又三分之二步，问该块田的面积为多少？答：二十三又六分之五步。数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * (5+1/2) * (8+2/3) = 23 + 5/6计算方法：底边长的一半乘以高。27 方田: 今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？ 答曰：九亩一百四十四步。解读：现有一块直角梯形田，上底边长三十步，下底边长为四十二步，高为六十四步。问该块田的面积是多少？答：九亩一百四十四步。数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (30 + 42 ) * 64 = 2304(积步), 即九亩四十四步28 方田: 又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？答曰：二十三亩七十步。 术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。解读：又有一直角梯形田，正宽长为六十五步，一边长一百步，另一边长七十二步。问该田的面积是多少？答：二十三亩七十步。数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (100 + 72) * 65 = 5590， 即二十三亩七十步计算方法：取两边长的一半，乘以正从（宽）。也可取正从的一半做宽，再乘以两边长之和，用亩法归一制。29 方田: 今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？ 答曰：一亩一百三十五步。解读：现有一般梯形田，上底长二十步，下底长五步，高为三十步。问此块田的面积是多少？答：一亩一百三十五步数学表达式：S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (20 + 5) * 30 = 375(积步)，即一亩三十五步。30 方田: 又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？ 答曰：四十六亩二百三十二步半。 术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。解读：又有一块梯形田，上底长一百一十七步，下底长五十步，宽为一百三十五步。问该田的面积是多少？答：四十六亩二百三十二步半计算方法：取上下底长的一半，乘以高，即得面积，用亩法归一制。31 方田: 今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？ 答曰：七十五步。解读：现有圆形田，周长三十步，半径十步。问此田面积是？答：七十五步。数学表达式：S = 1/2 * l * r = 1/2 * 30 * 10 = 75（积步）32 方田: 又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？ 答曰：十一亩九十步、十二分步之一。术曰：半周半径相乘得积步。 又术曰：周径相乘，四而一。 又术曰：径自相乘，三之，四而一。 又术曰：周自相乘，十二而一。解读：又有一圆形田，周长一百八十一步，半径长六十又三分之一步。问此田的面积是？答：十一亩九十又十二分之一步计算方法：半周长乘以半径长等于积步（面积）。计算方法：周长乘以直径，取其四分之一。计算方法：直径相乘，然后乘以三，再取其四分之一。计算方法：周长相乘，取其十二分之一。数学表达式：S = 1/4 * L * r = 1/4 * 181 * (60+1/3) = 32761/12，即十一亩九十又十二分之一步。33 方田: 今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。解读：现有一侧面圆形田【5】，下半周长为三十步，半径为十六步。问此田面积是？答：一百二十步数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 30 * 16 = 120(积步)34 方田: 又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？ 答曰：五亩六十二步、四分步之一。 术曰：以径乘周，四而一。解读：又有一侧面圆形田，下周长九十九步，半径为五十一步。问此块田的面积是？答：五亩六十二又四分之一步。术语：用半径乘以周长，取其四分之一。数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 99 * 51 = 1262.25 (积步)35 方田: 今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？ 答曰：一亩九十七步半。解读：现有一弓形田，弦长为三十步，矢长为十五步。问此田的面积是？答：一亩九十七步半。数学表达式： S = 1/2 * (l *d + d*d) = 1/2 * (30*15 + 15*15) = 337.5，即一亩九十七步半。36 方田: 又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？ 答曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。 术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。解读：又有一弓形田，炫长七十八又二分之一步，矢长十三又九分之七步。问此田的面积是？答：二亩一百五十五又八十一分之五十六步。计算方法：用弦长乘以矢，矢又自乘，取两者和的一半。37 方田: 今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？ 答曰：二亩五十五步。解读：现有一环形田，中周长为九十二步，外周长为一百二十二步，径长五步。问此田面积是？答：二亩五十五步。数学表达式： S = 1/2 * (l内 + l外) * d = 1/2 * (92 * 122) * 5 = 535(积步)，即535/240 = 2亩55步。38 方田: 又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。 术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。解读：又有一环形田，中周长为六十二又四分之三步，外周长为一百一十三又二分之一步，径长为十二又三分之二步。问此田面积是？答：四亩一百五十六又四分之一步。计算方法：中外周长相加取半，然后乘以径长，就是积步。一今有田广十五步，从十六步。问为田几何？荅曰：一亩。二又有田广十二步，从十四步。问为田几何？荅曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。三今有田广一里，从一里。问为田几何？荅曰：三顷七十五亩。四又有田广二里，从三里。问为田几何？荅曰：二十二顷五十亩。里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。五今有十八分之十二。问约之得几何？荅曰：三分之二。六又有九十一分之四十九。问约之得几何？荅曰：十三分之七。约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。七今有三分之一，五分之二。问合之得几何？荅曰：十五分之十一。八又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？荅曰：得一、六十三分之五十。九又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？荅曰：得二、六十分之四十三。合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。一0今有九分之八，减其五分之一。问余几何？荅曰：四十五分之三十一。一一又有四分之三，减其三分之一。问余几何？荅曰：十二分之五。减分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。一二今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。一三又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？荅曰：九分之八多，多六十三分之二。一四又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。一五今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。一六又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三。平分术曰：母互乘子，副并为平实，母相乘为法。以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法，以平实减列实，余，约之为所减。并所减以益于少，以法命平实，各得其平。一七今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？荅曰：人得一钱、二十一分钱之四。一八又有三人，三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？荅曰：人得二钱、八分钱之一。经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。一九今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？荅曰：三十五分步之十二。二0又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？荅曰：十一分步之七。二一又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？荅曰：九分步之四。乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。二二今有田广三步、三分步之一，从五步、五分步之二。问为田几何？荅曰：十八步。二三又有田广七步、四分步之三，从十五步、九分步之五。问为田几何？荅曰：一百二十步、九分步之五。二四又有田广十八步、七分步之五，从二十三步、十一分步之六。问为田几何？荅曰：一亩二百步、十一分步之七。大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法。实如法而一。二五今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？荅曰：一百二十六步。二六又有圭田广五步、二分步之一，从八步、三分步之二。问为田几何？荅曰：二十三步、六分步之五。术曰：半广以乘正从。二七今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？荅曰：九亩一百四十四步。二八又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？荅曰：二十三亩七十步。术曰：并两邪而半之，以乘正从若广。又可半正从若广，以乘并，亩法而一。二九今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？荅曰：一亩一百三十五步。三0又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？荅曰：四十六亩二百三十二步半。术曰：并踵舌而半之，以乘正从。亩法而一。三一今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？荅曰：七十五步。三二又有圆田，周一百八十一步，径六十步、三分步之一。问为田几何？荅曰：十一亩九十步、十二分步之一。术曰：半周半径相乘得积步。又术曰：周径相乘，四而一。又术曰：径自相乘，三之，四而一。又术曰：周自相乘，十二而一。三三今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？荅曰：一百二十步。三四又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？荅曰：五亩六十二步、四分步之一。术曰：以径乘周，四而一。三五今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？荅曰：一亩九十七步半。三六又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。问为田几何？荅曰：二亩一百五十五步、八十一分步之五十六。术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。三七今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？荅曰：二亩五十五步。三八又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。问为田几何？荅曰：四亩一百五十六步、四分步之一。术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，内分子。以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。以亩法除之，即亩数也。