椭圆定义及其标准方程

椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程问题的提出：问题的提出： 若将一根细绳两端分开并且固定在平面若将一根细绳两端分开并且固定在平面内的内的 F1、F2两点，当绳长大于两点，当绳长大于F1和和F2的距离的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？椭圆的定义椭圆的定义： 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离的距离之之和和等于等于常数常数（大于（大于|F1F2|）的点）的点的轨迹叫做的轨迹叫做椭圆椭圆。n这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，n两焦点的距离叫做椭圆的两焦点的距离叫做椭圆的焦距焦距。1F2FxyO),(yxM1F2FxyO),( yxM 取过焦点取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的的垂直平分线为垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。轴，建立直角坐标系。 设设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与与F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数2a，则，则F1(-c,0)、F2(c,0)。由定义知：由定义知：aMFMF221()()222221 ycxMFycxMF-()()aycxycx22222-将方程移项后平方得：将方程移项后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-两边再平方得：两边再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-标准方程的推导标准方程的推导:()()22222222caayaxca-由椭圆定义知：由椭圆定义知：0,2222-cacaca即(): 0 222得设-bbca222222bayaxb()0 12222babyax两边同除以两边同除以 得：得：22ba这个方程叫做椭圆的标准方程，这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上。轴上。 如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：的方程为：()0 12222babxay它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。1F2FxyO),( yxM标准方程的推导标准方程的推导:椭圆的标准方程椭圆的标准方程()0 12222babyax yoF1 1F2 2Mx yxoF2 2F1 1M()0 12222babxay快速练习：快速练习：判定下列椭圆的判定下列椭圆的焦点在那条轴上焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。并指出焦点坐标。11625) 1 (22yx答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（）和（3，0）1169144)2(22yx答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（）和（0，5）判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则： 哪个分母大哪个分母大,焦点就在哪条轴上焦点就在哪条轴上,大的分母就是大的分母就是a2.例例1: 1: 已知椭圆的焦点在已知椭圆的焦点在x轴上轴上,焦距为焦距为8,椭圆上的椭圆上的点到两个焦点的距离之和为点到两个焦点的距离之和为10, 求求:该椭圆的标准该椭圆的标准方程方程 .解解:945.4, 5, 82,10222222-cabcaca1162522yx 1.确定焦点在那条轴上。确定焦点在那条轴上。 2.求出求出a,b的值。的值。求椭圆的标准方程的关键：求椭圆的标准方程的关键：x x x因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上,所以它所以它的标准方程为的标准方程为:例例2：求下列椭圆的焦点和焦距。求下列椭圆的焦点和焦距。145)1(22yx故故:所以椭圆的焦点为所以椭圆的焦点为: 焦距为焦距为2.解：因为解：因为54，所以椭圆的焦，所以椭圆的焦点在点在x轴上，并且轴上，并且4, 522 ba22 , 1, 1222-ccbac) 0 , 1 (),0 , 1(21FF -例例2：求下列椭圆的焦点和焦距。求下列椭圆的焦点和焦距。8222-bac因为因为:168,所以椭圆的焦点在所以椭圆的焦点在y轴上，并且轴上，并且所以椭圆的焦点为所以椭圆的焦点为: 焦距为焦距为: .解：将方程化成标准方程为：解：将方程化成标准方程为：故, 8,1622ba（2） 16222 yx116822yx, 8222-bac242 , 22cc)22 , 0(),220(21FF-24分组练习：分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距求椭圆的焦点坐标与焦距1615) 1 (22yx答：焦点（答：焦点（-3，0）（）（3，0） 焦距焦距 2c=6116925)2(22yx答：焦点（答：焦点（0，-12）（）（0，12） 焦距焦距 2c=24练习练习2 2：（2） ，焦点在，焦点在y轴上；轴上；15,4ca（1） ，焦点在，焦点在x轴上；轴上；1,4ba写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程:答答 案案:1116).1 (22yx1116)2(22xy小小结：结： 1、椭圆的定义、椭圆的定义. 2、字母、字母a,b,c之间的大小关系之间的大小关系.3、在求椭圆方程的关键是什么、在求椭圆方程的关键是什么?1F2FxyO),( yxM yxoF1 1F2 2M六、布置作业：六、布置作业：1).P96 习题习题8.1：1、2、3、2)预习预习:p94例例2,p95例例3