曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件

曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件第三章第三章 导数的应用导数的应用第四节第四节 曲线的凹凸性与拐点及函数图曲线的凹凸性与拐点及函数图形的描绘形的描绘上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件0 xy2yxyx在讨论函数图形的时候，仅仅知道函数的单调性在讨论函数图形的时候，仅仅知道函数的单调性是不够的，如图：是不够的，如图：11上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件 学习要求学习要求 能熟练地求出函数的水平渐近线和铅垂渐近线能熟练地求出函数的水平渐近线和铅垂渐近线 熟练掌握判断函数的凹向与拐点的方法熟练掌握判断函数的凹向与拐点的方法 了解函数图形描绘的步骤了解函数图形描绘的步骤上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件一、曲线凹向的定义一、曲线凹向的定义问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形位于任意点切线图形位于任意点切线的下方的下方xyo)(xfy 1x2x图形位于任意点切线图形位于任意点切线的上方的上方ABC上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件 定义定义1 1：如果在某区间内，曲线弧总位于其上任一如果在某区间内，曲线弧总位于其上任一点切线的上（下）方，则称曲线在该区间内是点切线的上（下）方，则称曲线在该区间内是上上（下）（下）凹凹的。的。上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件( ) , ,( , ),( , )(1)( )0,( ) , ;(2)( )0,( ) , .f xa ba ba bfxf xa bfxf xa b如如果果在在上上连连续续 在在内内具具有有一一阶阶和和二二阶阶导导数数 若若在在内内则则在在上上的的图图形形是是上上凹凹的的则则在在上上的的图图形形是是下下凹凹的的二、曲线凹向的判定二、曲线凹向的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递递增增)(xf abBA0 y递递减减)(xf 0 y定理定理1 1上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件例例1 13.yx判断曲线的凹向解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y(,0曲线在为下凹的；时，时，当当0 x, 0 y0,)曲线在为上凹的；(0,0).点是曲线由下凹变上凹的分界点注意到注意到,DR上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件三、曲线的拐点及其求法三、曲线的拐点及其求法1 1、定义、定义注意注意: :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .2 2、求拐点的步骤、求拐点的步骤上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件例例2 243341.yxx求曲线的拐点及凹向解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹下凹下凹上凹上凹拐点拐点拐点拐点)1 , 0()2711,32(上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件2(,0,).32 1120,33 27上凹区间为下凹区间为拐点 0，1 ， ，上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件例例3 3.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy532,9yx .,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上是上凹的曲线在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上是下凹的曲线在.)0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件xyo上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件xyo上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件.)(,)(一一条条渐渐近近线线的的就就称称为为曲曲线线那那么么直直线线趋趋向向于于零零的的距距离离到到某某定定直直线线如如果果点点移移向向无无穷穷点点时时沿沿着着曲曲线线上上的的一一动动点点当当曲曲线线xfyLLPPxfy 四、渐近线四、渐近线定义定义: :1.1.铅垂渐近线铅垂渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x000lim( )lim( )( ).xxxxf xf xxxyf x 如果或那么就是的一条铅垂渐近线上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件22123xyxx例例1：1：求求曲曲线线的的渐渐近近线线 limxf x解：221lim23xxxx2lim22xxx型lim2x型11.y 是曲线的水平渐近线上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件例例4 4.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(: D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲线的铅垂渐近线x上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形. 确定函数的定义域和值域；确定函数的定义域和值域； 讨论函数的奇偶性（对称性）、周期性；讨论函数的奇偶性（对称性）、周期性； 讨论函数的增减性和极值；讨论函数的增减性和极值； 讨论函数的凹向与拐点；讨论函数的凹向与拐点； 确定曲线的渐近线；确定曲线的渐近线； 求出曲线的一些特殊点（例如曲线与求出曲线的一些特殊点（例如曲线与x x轴、轴、y y轴轴的交点等）；的交点等）； 作出函数的图形。作出函数的图形。上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件三、作图举例三、作图举例例例5 5.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解, 0: xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得驻驻点点, 0)( xf令令. 3 x得特殊点得特殊点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx2 上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得铅垂渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹向区间及极值点和拐点凹向区间及极值点和拐点:x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点)926, 3( 上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件A:补补充充点点);0 , 31(),0 , 31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C作图作图xyo2 2111 2 3 6BC上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件2)1(4)(2 xxxf上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件例例6 6.1)(23的的图图形形作作函函数数 xxxxf解解),(: D无奇偶性及周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()( xxxf).13(2)( xxf, 0)( xf令令. 1,31 xx得得驻驻点点, 0)( xf令令.31 x得得特特殊殊点点:补补充充点点),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf )(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件123 xxxy上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件小结小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹向凹向;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法渐近线的求法渐近线的求法铅垂渐近线、水平渐近线铅垂渐近线、水平渐近线上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件单减单减函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点上凹上凹下凹下凹单增单增)(xfy 上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件思考题思考题设设)(xf在在),(ba内内二二阶阶可可导导，且且0)(0 xf，其其中中),(0bax ，则则,(0 x)(0 xf是是否否一一定定为为曲曲线线)(xf的的拐拐点点？举举例例说说明明.上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件思考题解答思考题解答因为因为0)(0 xf只是只是,(0 x)(0 xf为拐点为拐点的的必要条件必要条件，故故,(0 x)(0 xf不不一一定定是是拐拐点点.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并并不不是是曲曲线线)(xf的的拐拐点点.上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件思考题思考题 两两坐坐标标轴轴0 x，0 y是是否否都都是是函函数数xxxfsin)( 的的渐渐近近线线？上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件思考题解答思考题解答0sinlim xxx0 y是是其其图图象象的的渐渐近近线线. 0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线. 1sinlim0 xxxxxysin 上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件练练 习习 题题 上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件上一页上一页下一页下一页 返回返回曲线的凹向渐近线及图像的描绘课件作业作业书本书本P110 P110 习题习题3-4 1.13-4 1.1） 2 2）还要判断单调性）还要判断单调性